上海市浦东新区建平中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份上海市浦东新区建平中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如果，那么等于（ ）
A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9
2．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
3．（4分）已知△ABC的三边长分别为：6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm
4．（4分）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A．1B．C．D．5
5．（4分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF＝3FC，连接AE、AF、EF，那么下列结论中：①△ABE与△EFC相似；②△ABE与△AEF相似；③△ABE与△AFD相似：④△AEF与△EFC相似；⑤∠AEF＝90°；其中错误的有（ ）个．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）线段a＝2cm，线段b＝8cm，线段a、b的比例中项是线段c，则线段c＝ cm．
8．（4分）在比例尺为1：1000000的地图上量得港珠澳大桥长5.5厘米，则大桥的实际长度为 千米．
9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝ ．（保留根号）
10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，则a+b﹣c＝ ．
11．（4分）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ．
12．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的长为 ．
13．（4分）如图，G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么MN：BC＝ ．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，连接AC，点E是AD上一点，AE：DE＝1：2，连接BE交AC于点F，若S△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是 ．
15．（4分）如图，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，点P是线段DB上一动点，当DP＝ 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，G为线段CD上一动点，连接BG，交AE于点F，若＝m+1，则的值为 ．
17．（4分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，∠BED＝90°，EB＝ED，连接AE，若BC＝3，则△ABE的面积为 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、BA的中点，联结DE．将△BDE绕点B顺时针方向旋转，点D、E的对应点分别是点D1、E1．如果点E1落在线段AC上，那么线段CD1＝ ．
三、解答题：（19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，满分78分）
19．（10分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB＝120°，求证：△ACP∽△PDB．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC、AB上的点，EC和BD相交于点O，且∠ABD＝∠ACE，连接DE．若，求的值．
21．（10分）有一块三角形余料ABC，它的边长BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？
22．（10分）如图，△ABC中，M为AC边的中点，E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的延长线于D，求证：BC＝2CD（请用4种方法解决）．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2＝BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，且∠BAF＝∠ADB，求证：＝．
24．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是（1，0），连接BC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果动点D在直线BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；
（3）如果动点P在直线y＝x+3上，且△ABC与△POB相似，求点P的坐标．
25．（14分）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．
（1）求证：AE＝AC；
（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．
2024-2025学年上海市浦东新区建平中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果，那么等于（ ）
A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9
【考点】比例的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出b＝a，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴b＝a，
∴＝＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
【考点】比例线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，据此即可求解．
【解答】解：∵AC：BC＝3：1，
∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，
则AB：BC＝2：1．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，正确设出线段的长度是关键．
3．（4分）已知△ABC的三边长分别为：6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm
【考点】相似三角形的判定．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中为4cm边长的对应边可能是6cm或7.5cm或9cm，所以有三种情况．
【解答】解：设△DEF的另两边为x cm，y cm，
若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，
则：，
解得：x＝5，y＝6；
若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，
则：，
解得：x＝3.2，y＝4.8；
若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，
则：，
解得：x＝，y＝；
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意△DEF中为4cm边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．
4．（4分）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A．1B．C．D．5
【考点】平行线分线段成比例；实数与数轴．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【解答】解：如图，OB＝1.5，OA＝3，OC＝10，
∵PB∥AC，
∴，
∴，
∴OP＝5．
∴点P表示的数是5．
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5．（4分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：∵，
∴DE∥BC，故A正确；
∵，
∴DE∥BC，故B正确；
∵，
∴DE∥BC，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF＝3FC，连接AE、AF、EF，那么下列结论中：①△ABE与△EFC相似；②△ABE与△AEF相似；③△ABE与△AFD相似：④△AEF与△EFC相似；⑤∠AEF＝90°；其中错误的有（ ）个．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】相似三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可．
【解答】解：设正方形的边长为4a，则AB＝BC＝CD＝AD＝4a，
∵E为BC中点，DF＝3FC，
∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴，，，
∵AE2+EF2＝AF2＝25a2，
∴△AEF为直角三角形，∠AEF＝90°，故⑤正确；
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，故①正确；
∵，
∴△ABE∽△AEF，故②正确；
∵，
∴△ABE和△AFD不相似，故③错误；
④正确；
∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）线段a＝2cm，线段b＝8cm，线段a、b的比例中项是线段c，则线段c＝ 4 cm．
【考点】比例线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2＝ab，则c2＝2×8，
解得c＝±4，（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
8．（4分）在比例尺为1：1000000的地图上量得港珠澳大桥长5.5厘米，则大桥的实际长度为 55 千米．
【考点】比例尺．
【专题】实数；运算能力．
【答案】55．
【分析】依据题意，根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可．
【解答】解：由题意，根据比例尺的性质可得，
大桥的实际长度为：5.5÷＝5500000（cm）．
∴5500000cm＝55km．
故答案为：55．
【点评】本题主要考查了比例尺，解题时要能熟练掌握并能灵活根据题意列出关系式计算是关键．
9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝ ﹣1 ．（保留根号）
【考点】黄金分割．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP＞BP；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP；
则AP＝AB＝×2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，则a+b﹣c＝ 2 ．
【考点】比例的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由a：b：c＝2：3：4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后由a+b+c＝18，即可求得a，b，c的值，继而求得a+b﹣c的值．
【解答】解：∵a：b：c＝2：3：4，
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝6，c＝8，
∴a+b﹣c＝4+6﹣8＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了比例的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握由a：b：c＝2：3：4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k的解题方法．
11．（4分）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 6 ．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】6．
【分析】先求出相似三角形的相似比，再求出两三角形的周长比，代入求出即可．
【解答】解：设较大的三角形的周长为x，
∵两个相似三角形的面积的比是4：9，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形的周长比为2：3，
∵较小的三角形的周长为4，
∴，
∴x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解题时注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
12．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的长为 5 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD＝12，DF＝4，
∴，
∴BC＝3CE，
∴BE＝4CE，
∵BE＝20，
∴CE＝BE＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，熟平行线分线段成比例定理是解题的关键．
13．（4分）如图，G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么MN：BC＝ 1：6 ．
【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到AM是△ABC的中线，MG：GA＝1：2，根据平行线的性质计算．
【解答】解：∵G为△ABC的重心，
∴AM是△ABC的中线，MG：GA＝1：2，
∴BM＝MC，MG：MA＝1：3，
∵GN∥AC，
∴MN：MC＝MG：MA＝1：3，
∴MN：BC＝1：6，
故答案为：1：6．
【点评】本题考查的是三角形的重心，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，连接AC，点E是AD上一点，AE：DE＝1：2，连接BE交AC于点F，若S△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是 11 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】11．
【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由AE：DE＝1：2得AE：BC＝1：3，证明△AFE∽△CFB得，进而得到△AFB，△AEF的面积，即可得△ABC的面积，再根据平行四边形的性质即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE：DE＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∵AD＝BC，
∴AE：BC＝1：3，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴，
∴，＝3，
∵S△BCF＝9，
∴S△AEF＝1，
∴S△ACD＝S△ABC＝S△BCF+S△AFB＝12，
∴S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1＝11．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
15．（4分）如图，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，点P是线段DB上一动点，当DP＝ 2或12或5.6 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】2或12或5.6．
【分析】分别从若△PCD∽△APB与若△PCD∽△PAB去分析求解，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵①若△PCD∽△APB，则，
即，
解得DP＝2或12；
②若△PCD∽△PAB，则，
即，
解得DP＝5.6．
∴DP＝2或12或5.6．
故答案为：2或12或5.6．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，G为线段CD上一动点，连接BG，交AE于点F，若＝m+1，则的值为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】过E作EH∥AB，EH交BG于H，根据相似三角形的判定得出△HEF∽△BAF，△BEH∽△BCG，根据相似得出比例式，求出AB和CG，再求出DG，即可求出答案．
【解答】解：过E作EH∥AB，EH交BG于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴EH∥CD∥AB，
∴△HEF∽△BAF，△BEH∽△BCG，
∴＝，＝，
∵点E是BC边上的中点，＝m+1，
∴AB＝mEH，CG＝2EH，
∴CD＝mEH，
∴DG＝CD﹣CG＝mEH﹣2EH＝（m﹣2）EH，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出△HEF∽△BAF和△BEH∽△BCG是解此题的关键．
17．（4分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，∠BED＝90°，EB＝ED，连接AE，若BC＝3，则△ABE的面积为 ．
【考点】射影定理；等腰直角三角形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】作EF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质得到EF＝BD，根据射影定理得到BD•AB＝BC2＝18，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：作EF⊥AB于点F，
∵∠BED＝90°，EB＝ED，EF⊥AB，
∴EF＝BD，
∵∠BCA＝90°，CD⊥AB，
∴BD•AB＝BC2＝18，
∴△ABE的面积＝•AB•EF＝×AB×BD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是射影定理、等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、BA的中点，联结DE．将△BDE绕点B顺时针方向旋转，点D、E的对应点分别是点D1、E1．如果点E1落在线段AC上，那么线段CD1＝ ．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△E1CB，可得CE1＝BD＝1，通过证明△BCD1∽△BAE1，即可求解．
【解答】解：∵点D、E分别是边BC、BA的中点，
∴DE＝AC＝2，BD＝CD＝1，DE∥AC，
∴DE＝BC＝2，∠BED＝∠BAC，∠BDE＝∠BCA＝90°，
∵将△BDE绕点B顺时针方向旋转，
∴BE＝BE1，∠BE1D1＝∠BED＝∠BAC，∠BD1E1＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E1BD1，
∴∠CBD1＝∠ABE1，
在Rt△BDE和Rt△E1CB中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△E1CB（HL），
∴CE1＝BD＝1，
∴AE1＝3，
∵∠BD1E1＝∠BDE＝90°＝∠BCA，
∴点B，点D1，点C，点E1四点共圆，
∴∠BCD1＝∠BE1D1＝∠BAC，
∴△BCD1∽△BAE1，
∴＝，
∴CD1＝×3＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题：（19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，满分78分）
19．（10分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB＝120°，求证：△ACP∽△PDB．
【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．
【解答】证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质、相似三角形的判定，能够证明两个三角形有两组角对应相等是解题的关键．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC、AB上的点，EC和BD相交于点O，且∠ABD＝∠ACE，连接DE．若，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】．
【分析】先证明△ABD∽△ACE，再证明△AED∽△ACB，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠ACE，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∵，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（10分）有一块三角形余料ABC，它的边长BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？
【考点】相似三角形的应用；列代数式．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】矩形零件的两条边长分别为mm，mm．
【分析】由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，由相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝，
∴PN＝×2＝（mm）．
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式是解题的关键．
22．（10分）如图，△ABC中，M为AC边的中点，E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的延长线于D，求证：BC＝2CD（请用4种方法解决）．
【考点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到＝，加上AM＝MC，则AE＝EF，由于AE＝AB，所以EF＝AB，BF＝AB，则BF＝2EF，然后由CF∥DE得到＝＝2，所以BC＝2CD；
方法二：过E作EN∥AC，交BD于N，如图，证明方法与方法一类似；
方法三：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，证明方法与方法一类似；
方法四：过E点作EQ∥BD，交AC于Q，如图，证明方法与方法一类似．
【解答】证明：方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，
∵ME∥CF，
∴＝，
而M为AC边的中点，
∴AM＝MC，
∴AE＝EF，
∵AE＝AB，
∴EF＝AB，BF＝AB，
∴BF＝2EF，
∵CF∥DE，
∴＝＝2，
∴BC＝2CD；
方法二：过E作EN∥AC，交BD于N，如图，
∵EN∥AC，
∴＝＝，
∵AE＝AB，
∴BE＝AB，
∴＝＝，
∴BC＝4NC，
∵AC＝2MC，
∴＝，
∵MC∥EN，
∴＝＝，
∴DC＝2NC，
∴BC＝2CD；
方法三：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，
∵PC∥AE，
∴＝，
而AM＝CM，
∴PC＝AE，
∵AE＝AB，
∴CP＝AB，
∴CP＝BE，
∵CP∥BE，
∴＝＝，
∴BD＝3CD，
∴BC＝2CD；
方法四：过E点作EQ∥BD，交AC于Q，如图，
∵EQ∥BC，
∴＝＝＝，
∴BC＝4EQ，AC＝4AQ，
∵AM＝CM，
∴CM＝2MQ，
∵EQ∥CD，
∴＝＝2，
∴CD＝2EQ，
∴BC＝2CD．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2＝BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，且∠BAF＝∠ADB，求证：＝．
【考点】相似三角形的判定与性质；直角梯形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）由AD∥BC，∠BCD＝90°，得∠CDA＝∠BCD，由∠CED＝90°，得∠ACB＝∠CDB＝90°﹣∠ACD，则∠DAC＝∠CDB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△DAC∽△CDB，得＝，所以CD2＝BC•AD；
（2）先由∠BAF＝∠ADB，∠ABG＝∠DBA，证明△BAG∽△BDA，得＝＝，再将＝两边分别平方得＝，由＝，得AB2＝BG•BD，将AB2＝BG•BD代入＝并化简，即可得到＝．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB，∠CDA＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠CDA＝∠BCD，
∵AC⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°﹣∠ACD，
∴∠DAC＝∠CDB，
∴△DAC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝BC•AD．
（2）∵∠BAF＝∠ADB，∠ABG＝∠DBA，
∴△BAG∽△BDA，
∴＝＝，
∴＝，AB2＝BG•BD，
∴＝＝．
【点评】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△DAC∽△CDB及△BAG∽△BDA是解题的关键．
24．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是（1，0），连接BC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果动点D在直线BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；
（3）如果动点P在直线y＝x+3上，且△ABC与△POB相似，求点P的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）点D的坐标为（，）或（，﹣）；
（3）点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣，）．
【分析】（1）根据一次函数的性质得出AC＝OA+OC＝4，进而可以求出△ABC的面积；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∠CBO＝∠CAD，分两种情况：①点D在x轴上方，②点D在x轴下方，分别求解即可；
（3）过点P作PE⊥y轴于点E，根据P在直线y＝x+3上，设P（x，x+3），可得PE＝BE＝|x|，所以PB＝|x|，分两种情况讨论：①当△ABC∽△BOP时，②当△ABC∽△BPO时，分别列式计算求出x的值，即可求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
令，y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵点C的坐标是（1，0），
∴OC＝1，
∴AC＝OA+OC＝4，
∴△ABC的面积＝AC•OB＝4×3＝6；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∵B（0，3），点C的坐标是（1，0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
∠CBO＝∠CAD，分两种情况：
①当点D在x轴上方时，如图1，设AD与y轴交于点E，
∵OA＝OB＝3，∠COB＝∠EOA，
又∵∠CBO＝∠CAD，
∴△CBO≌△EAO（ASA），
∴OE＝OC＝1，
∴E（0，1），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+1，
联立y＝﹣3x+3得，
解得，
∴点D的坐标为（，）；
②当点D在x轴下方时，如图2，设AD与y轴交于点E′，
同理得，E′（0，﹣1），
直线AE′的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立y＝﹣3x+3解得，
∴点D的坐标为（，﹣）；
综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）；
（3）如图，过点P作PE⊥y轴于点E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴PE＝BE，
∵P在直线y＝x+3上，
设P（x，x+3），
∴PE＝BE＝|x|，
∴PB＝|x|，
①当△ABC∽△BOP时，
∴，
∴，
∴x＝±2，
∵﹣3＜x＜0，
∴x＝﹣2，
∴P（﹣2，1）；
②当△ABC∽△BPO时，
∴，
∴，
∴x＝±，
∵﹣3＜x＜0，
∴x＝﹣，
∴P（﹣，）．
综上所述：点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣，）．
【点评】本题属于一次函数的综合题，考查了三角形的面积，待定系数法，两直线的交点，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
25．（14分）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．
（1）求证：AE＝AC；
（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）y＝（0＜x＜）；
（3）BC＝或．
【分析】（1）将AB2＝BC•BD转化为，进而根据勾股定理和比例性质推出，进而△ABC∽△DAB，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；
（2）作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，推出△FBE∽△FGA和cs∠ABC＝，再根据比例性质求得结果；
（3）两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y＝1求得结果，当△ACB∽△FED时，推出DF∥AB，从而＝，根据△ABE∽△DBA，推出BD＝，进而可求得结果．
【解答】（1）证明：∵AB2＝BC•BD，
∴，
∴＝，
∴＝，
即：＝，
∴，
∵∠C＝∠BAD＝90°，
∴△ABC∽△DAB，
∴∠ADB＝∠BAC，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB，
∴∠BAE＝∠BAC，
∵∠AEB＝∠C，AB＝AB
∴△BAE≌△BAC（AAS），
∴AE＝AC；
（2）如图1，
作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，
∴△FBE∽△FGA，∠ABE＝∠BAG，
∴，
由（1）得，∠EAB＝∠BAC，
∵∠AEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠BAG，
∴AG＝BG，
∴BH＝AH＝AB＝，
∵cs∠ABC＝，
∴，
∴BG＝，
∴AG＝，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∴y＝（0＜x＜）；
（3）如图2，
当△ACB∽△DEF时，∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠DEA，DE＝DE，
∴△DEF≌△DEA（ASA），
∴EF＝AE，
∴y＝1，
∴＝1，
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴BC＝，
如图3，
当△ACB∽△FED时，∠BAC＝∠DFE，
∵∠BAE＝∠BAC，
∴∠DFE＝∠BAE，
∴DF∥AB，
∴＝，
∵△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴BD＝，
∴DE＝BD﹣BE＝﹣x，
∴＝，
∴x＝，
∴BC＝，
综上所述：BC＝或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键