初中数学沪教版（五四制）（2024）九年级上册24.1 放缩与相似形精品课时训练

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1． 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）合比性质：如果
如果
（3）等比性质：如果
（4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项．
．
过关检测
一、单选题
1．下列关于“相似形”的说法中正确的是（ ）
A．相似形形状相同、大小不同B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形D．相似形是全等形的特例
【答案】B
【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．
【解析】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；
B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；
C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；
D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．
【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识．
2．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两个菱形一定相似B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两个矩形一定相似D．两个周长相等的三角形一定相似
【答案】B
【分析】两个边数相同的多边形，如果对应边成比例，对应角相等，则称这两个多边形是相似多边形，根据相似多边形概念即可得出答案．
【解析】A：两个菱形不一定相似，因为不能保证对应角相等，故A不正确；
B：两个等腰直角三角形一定相似，因为两边成比例及其夹角相等，故B正确；
C：两个矩形不一定相似，因为不能保证对应边成比例，故C不正确；
D：两个周长相等的三角形不一定相似，因为不能保证对应边成比例、对应角相等，故D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查命题真假的判断以及相似图形的判定，熟知相似多边形的概念是解题的关键．
3．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（ ）
A．边的长度B．图形的周长C．图形的面积D．角的度数
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质解答．
【解析】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数，
故选：．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，正确理解图形的相似是解题的关键．
4．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（ ）
A．放大后，是原来的2倍
B．放大后，各边长是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
【答案】A
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
【解析】解：因为放大前后的三角形相似，
放大后三角形的内角度数不变，
面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
故选A．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
5．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
【答案】D
【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键.
6．下列判断中，正确的是（ ）
A．所有等边三角形都相似B．有一个角是40°的等腰三角形都相似
C．所有矩形都相似D．所有菱形都相似
【答案】A
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【解析】解：A．任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，A正确；
B．各有一个角是40°的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，B错误；
C．任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，C错误；
D．任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．
7．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙
【答案】B
【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断．
【解析】解：∵，
∴是相似形的是甲和丙
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键．
8．两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．不能确定
【答案】B
【分析】根据相似多边形的定义即可解答．
【解析】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似．
故选B．
【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键．
9．把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，根据相似长方形的性质列式计算求得，再计算即可求解．
【解析】解：原长方形的长和宽分别为和，由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
经检验，是分式方程的解，
∴扩张后的长方形长为，
原长方形的周长为，扩张后长方形的周长为，
，
∴这根铁丝需增加，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键．
10．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解．
【解析】因为两个图形相似：
解得：
A选项正确，不符合题意；
B选项错误，符合题意；
C选项正确，不符合题意；
，
D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质；根据性质求出对应边和对应角是解题的关键．
二、填空题
11．形状相同的图形叫做_________．
两个图形相似是指它们的_________相同，与它们的位置无关；
__________是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
【答案】 相似图形 形状 全等图形
【解析】略
12．在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是_____，不是相似形的是_____．
【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4）
【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可．
【解析】解：根据相似图形的定义可知：
（3），（5），（6）是相似图形，
（1），（2），（4）不是相似图形．
故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）
【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键．
13．相似的两个图形，它们的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．
【答案】不一定
【分析】根据相似图形的定义判断即可．
【解析】相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况．
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查相似图形，明确相似图形的定义是解题的关键．
14．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25º、55º，则另一个三角形的最大内角的度数为__________．
【答案】
【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．
【解析】解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，
∴第三个角，即最大角为180°-（25°+55°）=100°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大内角度数为100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质．
15．如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则__．
【答案】
【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．
【解析】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键．
16．下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的是____．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据相似图形的定义一一分析．
【解析】①两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
②两个等边三角形，角都是60°，故相似；
③两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．
④两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；
⑤两个等腰梯形不一定对应角相等，对应边成比例，故不相似．
故答案为：②③④．
【点睛】考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等．
17．已知五边形五边形，，，，，则_______．
【答案】
【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答．
【解析】解：∵五边形五边形，
∴，，
又∵五边形的内角和为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等．
18．将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张，得到新的六边形，它们的对应边的距离均为．
（1）新的六边形与原六边形_____；（填“相似”或“不相似”）
（2）扩张后六边形的周长比原来增加了______．
【答案】 相似 12
【分析】（1）根据相似多边形的判定方法和正六边形的性质求解即可；
（2）作交于点B，根据三角函数求出，然后求出原正六边形和新正六边形的周长，进而求解即可．
【解析】解：（1）∵正六边形的内角都等于，
∴原正六边形和新正六边形的内角都对应相等，
∵正六边形的边长都相等，
∴原正六边形和新正六边形的边长都对应成比例，
∴新的六边形与原六边形相似；
（2）如图所示，作交于点B，作交于点F，
由正六边形的性质可得，，，
∴，
由题意可得，，，
∴，
∴新六边形的周长为，
∵原六边形的边长，
∴，
∴扩张后六边形的周长比原来增加了12．
【点睛】此题考查了相似多边形的判定，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
三、解答题
19．观察图中①~⑩的图形，其中哪些图形分别与（1），（2），（3），（4）相似？

（1） （2） （3） （4）

① ② ③ ④ ⑤

⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
【答案】与（1）相似的图形是⑦；与（2）相似的图形是①⑧；与（3）相似的图形是②④；与（4）相似的图形是⑩．
【分析】如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，根据相似图形的定义即可求解．
【解析】解：与（1）相似的图形是⑦；
与（2）相似的图形是①⑧；
与（3）相似的图形是②④；
与（4）相似的图形是⑩．
【点睛】本题主要考查的是相似图形的判断，利用相似图形的性质即可正确的判断出相似图形，掌握这个知识点是解题的关键．
20．小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：
小刚：图乙、丙是相似形而图甲不是相似形是全等形．
小华：图甲、乙、丙都是相似形．
小红：图甲、丙是相似形．
以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？
【答案】小华的判断是正确的
【分析】根据相似图形和全等形的定义进行判断即可.
【解析】小华的判断是正确的.
因为相似形包括全等形，而全等形指的是形状、大小完全相同的图形，相似形只是要求形状相同，大小可以不相同也可以相同．
【点睛】本题考查相似图形和全等图形的关系，熟练掌握相似形与全等形的定义是关键.
21．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应．
(1)已知，，，求的度数；
(2)已知，，，，，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可；
（2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形与四边形相似，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形与四边形相似，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形的周长
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
22．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
【答案】x=24，y=28，α=75°
【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．
【解析】∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α= =75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键．
23．如图，四边形ABCD∽四边形．
(1)α＝________，它们的相似比是________；
(2)求边x的长度．
【答案】(1)，3∶2；
(2)
【分析】（1）根据相似多边形的性质求出∠A′、∠B′，以及相似比，根据四边形的内角和定理求出∠C′；
（2）根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形，
∴∠A′＝∠A＝64°，∠B′＝∠B＝75°，
∴∠C′＝360°−64°−75°−140°＝81°，
它们的相似比为：，
故答案为：81°；；
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴，
解得x＝．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．
24．在直角坐标系中描出下列各点：、、、，用线段依次联接点、、、、．
（1）你能得到什么图形？试说明理由．
（2）如果将上述四个点的横坐标不变，纵坐标均加上1，并且按同样的方式连接各点，你能得到一个什么图形？
（3）如果将上述四个点的纵坐标不变，横坐标均乘以，你能得到一个什么图形？
（4）上面三个图形中，哪些图形的形状相同？
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）得到一个一样大小的平行四边形，图形向上平移了1个单位；（3）得到一个平行四边形，与原图形关于轴对称；（4）上面三个图形形状均相同．
【分析】（1）根据题意做出图形进行判断即可；
（2）根据题意改变坐标，连接各点后进行判断；
（3）根据题意改变坐标，连接各点后进行判断；
（4）根据相似图形的定义进行判断.
【解析】（1）平行四边形．理由：
如图所示，
∵点A、C纵坐标相同，
∴AC∥x轴，
同理可知BD∥x轴，
∴AC∥BD，
又∵AC=BD=2
∴四边形ADBC是平行四边形.
（2）将上述四个点的横坐标不变，纵坐标均加上1，得到A1（2,4），B1（-2,0），C1（4,4），D1（-4,0），连接后如图所示，
得到一个一样大小的平行四边形，图形向上平移了1个单位.
（3）将上述四个点的纵坐标不变，横坐标均乘以，得到A2（-2,3），B2（2,-1），C2（-4,3），D2（4,-1），连接后如图所示，
得到一个平行四边形，与原图形关于轴对称．
（4）上面三个图形形状均相同．
【点睛】本题考查网格作图，根据坐标变化找出对应点是解决本题的关键.
25．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【答案】(1)不相似；证明过程见详解
(2)
【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
【解析】（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
26．如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形．
(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空）
请你继续解决下列问题：
(2)当矩形的长和宽分别为7和 1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；
(3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，理由见解析；
(3)不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据题意所列方程，解一元二次方程可得 从而可得答案；
（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，再判断方程是否有解即可得到结论；
（3）利用两个正方形是相似图形，则周长之比与面积之比不相等，从而可得答案．
【解析】（1）解：由题意，得，消去y得：
，
则，
∴
∴，；
当时，
当时，，
所以方程组的解为：或
∴满足要求的矩形B存在，边长分别为：．
（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，
消去y可得，
∵，
∴，
∴
∴存在“减半”矩形；
（3）不存在．理由如下：
因为两个正方形是相似图形，
当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，方程组的解法，相似图形的判定与性质，理解题意，建立合适的数学模型解题是解本题的关键．