海南省海南中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题Word版附解析

这是一份海南省海南中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题Word版附解析，共20页。试卷主要包含了 函数的图像是，已知函数有唯一零点，则a的值为，已知幂函数， 三等内容，欢迎下载使用。


海南中学2025届高三年级第2次月考
数学试题
时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x|2x-3>0},N={y|y=+1},则 ( )
A. B. C. D.
2.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D 是A的 ( ) 条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 函数的图像是( )
A. B. C. D.
4.已知 a,b,c 满足,bln2=1,, 则 （ ）
A.a>b>c B.a>c>b C. b>c>a D.b>a>c
若在用二分法寻找函数（x>0）零点的过程中，依次确定了零点所在区间为则实数a 和b 分别等于( )
A. B. C. D.
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6.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图像如图所示，已知两图像 有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1),则( )
A. 函数y=f(x)+x的最大值为1 B. 函数的最小值为1
C.函 数y=的最大值为1 D. 函数的最小值为1
7.已知椭圆的左、右焦点分别为是C 上一点，且PF₂⊥, H是线段上靠近的四等分点，且=0,则C的离心率为( )
B. C. D.
8.已知函数有唯一零点，则a的值为( )
A.2 B. C. D.-1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知幂函数（），下列关于的结论正确的是（ ）
A.m,n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数
m是奇数，n 是偶数时，幂函数f(x)是偶函教
m是偶数，n 是奇数时，幂函数f(x)是偶函数
D.时，幂函数f(x)在(0,+00)上是增函数
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10.已知函数f(x)的定义为(-00,0),其导函数f’(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则下列不等式 中正确的是( )
A.f(-2)<2f(-1) B.f(-2)>4f(-1)
C.f(-4)>4f(-2) D.f(-4)<4f(-2)
11.已知函数f(x)=,g(x)=x²+ax(a∈R),h(x)=(k∈R), 给出下列
四个命题，其中真命题为( )
A.存在实数k,使得方程f(x)=h(x)恰有两个根； B.存在实数k,使得方程|f(x)=h(x)恰有三个根；
C. 任意实数a, 存在不相等的实数x,x₂,使得f(x)-f(x)=g(x₂)-g(x):
D.任意实数a,存在不相等的实数x,x₂,使得f(x)-f(x)=g(x)-g(x₂). 三。填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若代数式有意义，则 .
13.函数y=f(x)的定义域为R.若对满足(t>0)的任意,均有f(x₂)-f()>t,则称函数y=f(x)具有“P(t)性质”,已知f(x)=,且函数y=f(x)具有P(t)性质，则实数a的取值范围为 .
14.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,A(,y₁),B(x₂,y₂),D(,y₃)为抛物线C上的任意三点(异于坐标原点O),,且|FA|+|FB|+|FD|=6,若直线AB,AD,BD的斜率分别为, 则p的值为
四。解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或推算步骤。
15. (13分)已知a、b、c分别是△ABC 三个内角A、B、C的对边，且.
(1)求角A;
(2)若a= ,△ABC的面积为 ，求b, c.
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海南中学2025届第二次月考数学试题
16.(15分)已知数列{an }是公差为3的等差数列，数列{bn }满足
(1)求数列{an },{bn }的通项公式；
(2)求数列{}的前2n项和。
17. (15分)已知f(x)=,。
(1)求曲线y=g(x)在点(l,g(1))处的切线方程；
(2)讨论是否存在a<0,使函数h(x)=2f(x)-g(x)有极小值?并说明理由。
18.(17分)已知函数f(x)= (1)若a=2,求函数f(x)的定义域；
(2)若a≠0,若f(x)=a有2个不同实数根，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a,使得函数f(x) 在定义域内具有单调性?若存在，求出a的取值范围.
19.(17分)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离
之和相等，则称l为多边形的一条“等线”。双曲线E:的左、右焦点分别
为 ,其离心率为2,且点P 为双曲线E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P,
且与E的渐进线交于A,B两点，且点A在点B上方。当 ⊥x轴时，直线y=1为△ 的等线。已知双曲线E ：在其上一点P() 处的切线方程为。
(1)求双曲线E 的方程；
(2)若y=√2x是四边形的等线，求四边形的面积；
(3)已知O为坐标原点，设, 点G的轨迹为曲线，证明：在点G处的切线n为 △的等线。
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海南中学 2025 届高三年级第2 次月考
数学答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.【答案】C 【详解】:M = {x 2x - 3 > 0} = (|( , +∞), ，N = {y y > 1} = (1, +∞) ，因M ∩ N = 故 A 项错误；由M N = (1, +∞) ，知 B 项错误；因M ≤ N ，故 C 项正确, 由cNM = 项错误.
2.【答案】B【解析】由题意得 A ，B ，C ，D 间的关系如图．故 D 是 A 的必要不充分条件.
3. 【答案】D
= 3x2 + > 0 ，函数f在 上单调递增，且f (1) = f (-1) = 0 。
因为2a = 3 ，b ln 2 = 1 ，3c = 2 ，所以a = lg2 3 ，b = = lg2 e ，
c = lg3 2 < lg3 3 = 1 ，因为y = lg2 x 在定义域上单调递增，所以lg2 3 > lg2 e > lg2 2 = 1
所以a > b > 1 ，c < 1 ，所以a > b > c ，故选：A
5.【答案】B【详解】由函数 = ex - = ex - 2 -
根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数f (x) 在(1, +∞) 上为单调递增函数， 所以函数f (x) 在(1, +∞) 至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为
[a, b],EQ \* jc3 \* hps29 \\al(\s\up 7(「),L)| , b,|EQ \* jc3 \* hps26 \\al(\s\up 7(「4),L3) a, b- ，可得 ，即 0 ，得a = .故选 B.
6 ．【答案】B
【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在 x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一
个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y = f, (x) ，实线部分为y = f (x)，
对于 A, y, = f, (x)+1 > 0恒成立，故y = f (x )+ x 在 R 上单调递增，则 A 显然错误，
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 1 页 共 11 页
对于 C, y, = f,(x).ex + f( x) .ex = ( f,( x) + f( x)) . ex > 0 恒成立， 故y = f (x ). ex 在 R 上单调递增，则 C 显然错误，
对于 D ，y, = 由图像可知 ，y, = > 0 恒成立，故
单调递增，当x ∈ , y, = < 0 ，y = f 单调递减，
所以函数y = 在x = 0 处取得极大值，也为最大值， = 1 ，D 错误 B 正确.故选：B
7.【答案】C【解析】由题意，不妨设点 P 在第一象限，如图.
因为PF2 丄 F1F2 ，则iPF2 i = ， = 2a - iHF1 i = iPF1 i = .
---→ ---→
因为OH . PF1 = 0 ，则OH 丄 PF1 ，可知△PF1F2 ∽△OF1H ，
2 2
则 即 整理得c2 - 22ac + a2 = 0 .
a
由 得e2 - 22e +1 = 0 ，解得2 ±1（舍去 +1），
所以 C 的离心率为 2 - 1.故答案为：C.
8.【答案】A 【详解】f(x) = x2 - 4x + a(ex-2 + e-x+2 ) = (x - 2)2 - 4 + a(ex-2 + e-x+2 )
设t = x - 2 ，则f (t ) = t2 - 4 + a (et + e-t )
定义域为R ，f (-t) = (-t)2 - 4 + a (e-t + et ) = f (t )
所以f (t ) 为偶函数，所以f (x ) 的图像关于x =2 成轴对
要使f (x ) 有唯一零点，则只能f (2) = 0 ，即-4 + 2a = 0 ，解得a = 2 ，故答案为：2 .
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二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
对 A ，当 m ，n 是奇数时，f (x) 的定义域为R ，关于原点对称，
xn = -f 则幂函数f (x) 是奇函数，故 A 中的结论正确；
对 B ，当 m 是奇数，n 是偶数时，f (x) 的定义域为R ，关于原点对称，
xn = f 则幂函数f (x) 是偶函数，故 B 中的结论正确；
对 C ，当 m 是偶数，n 是奇数，幂函数f (x) 在x < 0 时无意义，故 C 中的结论错误；
对 D ，0 < <1 时，幂函数f (x) 在(0, +∞) 上是增函数，故 D 中的结论正确；故选：ABD.
10.【答案】BC【详解】 由题意知， 当 x ∈(-∞, 0) 时， xf, (x)- 2f (x) > 0 ，
所以 g(x)在(-∞, 0) 上单调递减，
- 4 < -2 → g → → f ； 选：BC.
11.【答案】ABC 【详解】画出f (x ) = ex - 2 的函数图象，如图：
f (x)
= h (x) 恰有两个
h (x ) = kx - 2k +1 经过定点(2, 1) ，从图中可以看出存在实数 k，使得方程
根；A 正确；
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 3 页 共 11 页
存在实数 k ，使得方程 f (x) = h (x) 恰有三个根，B 正确；
要想对任意实数 a ，存在不相等的实数x1 , x2 ，使得f (x1 )-f (x2 ) = g (x2 )-g (x1 ) ，即
f (x1 ) -f (x2 ) = - g (x1 ) - g (x2 ) ，只需f (x) = ex - 2 与-g (x) = -x2 - ax ，无论 a 取何值，都
有两个交点，其中-g = -x2 - ax = - 开口向下，且有最大值为 且恒过 (0, 0) ，画出两函数图象如下，其中-g = -x2 - ax = - 为一组抛物线，用虚线表
示：无论 a 取何值，都有两个交点，C 正确；
要想对任意实数 a ，存在不相等的实数x1 , x2 ，使得f (x1 )-f (x2 ) = g (x1 )-g (x2 ) ，只需函数
f (x) = ex - 2 ，g (x) = x2 + ax（a ∈ R ）始终有两个交点，当a = 1 时，g = x2 + x =
3
开口向上，且最小值为 ，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显
4
然此时两函数只有一个交点，故 D 错误；
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.【答案】1
〔x -1≥ 0
【解析】由题意得：{l2 - x ≥ 0 ，解得：1 ≤ x ≤ 2 ，故
+
x2 - 2x +1
=
4 (x - 2)4
·( )
+
2 x -1
=
4(x - 2)4
| x -1| + | x - 2 |
= x -1 + 2 - x = 1 ，故答案为：1 .
13.【答案】a > 4 【解析】由题意x2 - x1 = 1, x2 = x1 +1，
则f(x2 ) -f(x1 ) = ax23 - ax13 = a(x1 +1)3 - ax13 = a(3x12 + 3x1 +1) > 1 恒成立，故有a > 0 时，
且x1 = - 取最小值 ，即有 > 1, a > 4 。
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 4 页 共 11 页
( p )
14.【答案】2， 0 【解析】F 为 △ABD 的重心，F |( 2 , 0, ，
所以x1 + x2 + x3 = , y1 + y2 + y3 = 0 ，
又 FA + FB + F = x1 + x2 + x3 + = 6 ，即p = 2 ，
因为y12 = 4x1 ，y22 = 4x2 ，两式相减,得：(y1 + y2 )(y1 - y2 ) = 4 (x1 - x2 ) ,
所以kAB = 同理可得kBD = , kAD = 所以
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）【解析】（1）已知 asin C -c csA -c = 0 ，
根据正弦定理，即为 3 sin Asin C -sin C cs A -sin C = 0 .
cs A- 1 = 0
,
因为在△ABC 中，sin C > 0 ，所以 3 sin A
即 ，因为0 < A < π , 0 < A - 所以A - = ，即A = ； ……6 分
（2）解法一：由A = bc sin A = 3 ，得bc = 2 .
由余弦定理，得a2 = b2 + c2 - 2bc cs A ，
因为a = ，A = ，bc = 2 ，所以2 = b2 + c2 - 2，b2 + c2 = 4 ，
又bc = 2 ，解得b = c = 或b = c = - （舍）． 所以b = c = ……13 分
（2）解法二：由A = bc sin A = 3 ，得bc = 2 .
由余弦定理，得a2 = b2 + c2 - 2bc csA = (b+ c)2 - 2bc - 2bc csA，
因为a = s2 ，A = ，bc = 2 ，所以(b + c )2 - 2 × 2 - 2 × 2 cs = 2 ，:b, c > 0 ，有b + c = 2 · ,
又bc = 2 ，解得b = c = · 或b = c = -v2 （舍）． 所以b = c = · 。 ……13 分
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16.（15 分）
解析 （1）设数列{an } 的公差为d , d = 3 ，
anbn+1 + bn+1 = nbn 中，令n = 1 ，有a1b2 + b2 = b1 ，代入b1 = 1, b2 = ，得a1 = 2 ，
所以数列{an } 是首项为2 ，公差为3 的等差数列，通项公式为an = 2 + 3(n -1) = 3n -1；
将an = 3n -1 代入anbn+1 + bn+1 = nbn ，得3nbn+1 = nbn , n ∈ N * ，故有
因此{bn } 是首项为1 ，公比为EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(1),3) 的等比数列，
bn = 1 × n-1 = n-1 。 ……8 分
（2）设cn = (-1)n an = (-1)n (3n -1) ，
n 为奇数时，cn + cn+1 = (-1)n (3n -1) + (-1)n+1(3n + 2) = -(3n -1) + (3n + 2) = 3 ，
: S2n = (c1 + c2 ) + (c3 + c4 ) +…… + (c2n -1 + c2n ) + (b1 + b2 +…… + b2n )
……15 分
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17.（15 分）
因为g ，所以g 定义域为
有g (1) = 0 ，且g ' (1) = 1 ，
所以曲线y = g (x) 在点(1, g(1)) 处的切线方程为y - 0 = 1.(x -1) ，即y = x -1 。 ……5 分
则h (x) 定义域为 令 = ln x +1+ 2ax ，则m, + 2a ，
因为a<0 ，所以令+ 2a = 0 得x = -
当0 < x < - 21a 时，m' (x) > 0 ，m (x) 单调递增， 当x > - 21a 时，m' (x) < 0 ，m (x) 单调递减，
所以当取得最大值+ 1+ 2a
即a ≤ - EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(1),2) 时，m (x)≤0 ，即h,(x) ≤ 0 恒成立，
所以h (x) 在(0,+∞) 单调递减，此时函数h (x)无极小值，舍去；
即- EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(1),2) < a < 0 时，
由于当x → 0 时，m (x) → -∞ , 当x → +∞ 时，m (x) → -∞ ,
所以m (x) = 0 有两个解，即h,(x) = 0 有两个解x1，x2 ，且0 < x1 < - < x2 ，列表得
所以存在 ，使得h存在极小值h (x1 ) . ……15 分
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x
(0, x1 )
x1
(x1, x2 )
x2
(x2, +∞)
h, (x)
-
0
+
0
-
h (x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
18.（17 分）
解析 当a = 2 时，f |x+2|-2 - x ，由| x + 2 | -2≥0 ，得| x + 2 | ≥2 ， 即x + 2 ≤ -2或x + 2≥ 2 解得x ≤ -4 或x ≥ 0 .
所以，函数的定义域为(-∞ , -4] U [0 ，+∞) ； ……4 分
（2）解法一 |x+a|-a = x + a ，
设x + a =t≥0 ，转化为 t - a = t 有两个不同实数根，整理得a = t - t2 ，t≥0 ，
所以， t≥0 ，
由二次函数的图象与性质，当且仅当0≤a < 4 时，方程有 2 个不同实数根，
又a ≠ 0 ，所以，a 的取值范围是(0, 4 ) ； ……10 分
解法二|x+a|-a = x + a 有解，则有x + a ≥ 0, x ≥ -a，| x + a |= x + a ， 由f(x) = a → (x + a) - a = x + a → x = x + a(x ≥ 0且x ≥ -a ，a ≠ 0)
令t = x ，得 a = t - t2 = -
函数g 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为t = EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 8(1),2) ，函数零点为 0 和 1，
①a < 0 时，f(x) 的定义域为[-a,+∞) ，则t ≥ - a > 0 ，
由f(x)= a 有 2 个不同实数根，得a = g(t) 在[ - a，+ ∞) 上有 2 个不同实数根，
应有 不等式组无解，故舍去。
②a > 0 时，f(x) 的定义域为[0,+∞) ，则t ≥ 0 ，
由f(x)= a 有 2 个不同实数根，得a = g(t) 在[0，+ ∞) 上有 2 个不同实根，
1 1
应有0 ≤ a < 4 ，又a ≠ 0 ，所以，a 的取值范围是(0, 4 ) ；
1
综上，实数a 的取值范围是(0, ) . ……10 分
4
1
1
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（3） |x+a|-a - x 中，有| x + a |≥ a ，
① a ≤ 0 时，| x + a |≥ a 恒成立，函数f(x) 的定义域为
易知x < -a 时，f(x) 在(-∞,-a) 上单调递减，
若存在实数a ，使得函数f(x) 在定义域内具有单调性，
应有x ≥ -a 时，f - x = - 在 上单调递减，
令t = x ，t = x 在[-a,+∞) 上单调递增，由复合函数同增异减，
得 在[ - a ,+∞) 上单调递减， 故有，- a ≥ 即
② a > 0 时，| x + a |≥ a → x + a ≤ -a或x + a ≥ a → x ≤ -2a或x ≥ 0 ， 函数f(x) 的定义域为{x | x ≤ -2a或x ≥ 0}，
x ≥ 0 时，f - x = - 在[0, EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 8(1),4)] 上单调递增，在 上单调递减，
不合题意，舍去；
综上：a ≤ - . ……17 分
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19.（17 分）
中，令x = c ，解得y = ± 2 ，
因为直线y = 1 为△PF1F2 的等线，显然点 P 在直线y = 1 的上方，故有P 又 ，有 -1 = 2, e = = 2, c2 = a2 + b2 ，
解得a = 1，b = 3 ，所以E 的方程为 ……4 分
（2）设P(x0, y0 ) ，由题意有m 方程为x0x -
渐近线方程为y = ± 3x ，联立得xA = , xB =
所以P 是线段 AB 的中点，因为F1, F2 到过原点O 的直线距离相等， 则过原点O 点的等线必定满足:A, B 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP 的方程为y = 2x ，
由 x= 1 ，解得{〔lEQ \* jc3 \* hps28 \\al(\s\up 11(x),y) EQ \* jc3 \* hps28 \\al(\s\up 11(3),6) ，故P( 3, 6 ) .所以
所以yA - yB = 6 ，所以SABCD = lF1F2 . yA - yB = 2 yA - yB = 12 . ……10 分
1
2
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设G ，由 ，所以x0 = 3x, y0 = 3y ，
故曲线Γ 的方程为9x2 - 3y2 = 1(x > 0)
由（*）知切线为 n ，也为 = 1 ，即x0 x - ，即3x0x - y0 y -1 = 0
易知 A 与F2 在n 的右侧，F1 在n 的左侧，分别记F1, F2, A 到n 的距离为d1 , d2 , d3 ，
由（2）知xA = ，
由 x0 ≥1 得d1 = = , d2 = = 因为d2 + d3 = ，
所以直线n 为△AF1F2 的等线 . ……17 分
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