海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第二次月考试题 数学 Word版含解析

这是一份海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第二次月考试题 数学 Word版含解析，共13页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知函数f＝ ，则f 的值为，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 分值：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数z满足 （i为虚数单位），则z的模 |z|＝（ ）
A． B．1 C． D．5
3．“” 是 “” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)＝ ，则f (2024)的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．已知，，，则（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a > c>b
6．已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－b有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）
A．(0，1]B．[0，1] C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
7．若α∈，tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α) ，则tan α＝（ ）
A． eq \f(\r(15),15) B． eq \f(\r(5),5) C． eq \f(\r(5),3) D． eq \f(\r(15),3)
8．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）
A．11
B．12
C．13
D．14
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是4B．的最大值是1
C．的最小值是1D．的最大值是
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数图象向右平移个单位后得到
函数的图像
D．函数在区间上是减函数
11．对于已知函数，下列论述正确的有（ ）
A．若，则函数的单调递减区间为
B．若函数在区间上是增函数，则
C．当，时，函数图像的对称轴为
D．当，时，函数图像的对称中心为

第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分）
12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则＝ 。
13．如图是某个函数的图象在的一段
图像。写出函数在时满足图像的
一个解析式＝__________（写出一个即可）。
14．设（其中，为任意角），则求下列：
（1）当时，且时，的取值范围为__________；
（2）当时，且时，的取值范围为__________。
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分13分）
某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路。为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2∶3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意。
（1）请完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?
（2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客，再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为。求出的分布列及数学期望。
参考公式：，其中.
参考数据：
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到 的图像。则当时，求使得时所有的取值。
17.（本小题满分15分）
在锐角△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知
（1）求角C；
（2）若，AB边上的中线长为，求△ABC的面积S.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线的斜率为，求弦长；
（3）记直线的斜率分别为，
证明：是定值。
19.（本小题满分17分）
已知函数，
（1）若，时，求的极值；
（2）若时，
①证明：有唯一零点，且；
②若我们任取开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；……。
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
设，求的解析式(用表示)；
并证明：当，总有.
满意
不满意
总计
男游客
35
女游客
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
2024—2025学年度第一学期高三第二次月考答案
数 学
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【部分选择题解析】
4．因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－1，x>0，,－lnx＋e＋2，x≤0，))所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1. 故选C.
5．由题得a>1 ，b<0. 06．依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，
即f(x)＝b有三个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有三个交点，
由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；
当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；
当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；
当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．
结合图象，可知实数b的取值范围为(1，＋∞)．故选D
7．∵tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α) ∴tan 2α＝ eq \f(sin 2α,cs 2α) ＝ eq \f(2sin αcs α,1－2sin 2α) ＝ eq \f(cs α,2－sin α) ，
∵α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，∴cs α≠0，∴ eq \f(2sin α,1－2sin 2α) ＝ eq \f(1,2－sin α) ，解得sin α＝ eq \f(1,4) ，
∴cs α＝ eq \r(1－sin 2α) ＝ eq \f(\r(15),4) ，∴tan α＝ eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(\r(15),15) .
8．分针的角速度v1=π30rad/min, 时针的角速度v1=π360rad/min ,
所以2nπ=π30−π360t⇒t=72011n，
因为14小时为14×60=840min，72011n≤840⇒n≤776<13 。 故重合12次
9．对于A：因为正数x，y满足x+y=2，
所以1x+1y=12x+y1x+1y=122+yx+xy≥122+2yx⋅xy=2，
当且仅当yx=xy，即x=y=1时取等号，故A错误；
对于B：x+y=2≥2xy，所以xy≤1，
当且仅当x=y=1时等号成立，故B正确；
对于C：因为x+y=2，即y=2−x，
且0由抛物线的性质可得，当x=1时，最小值为2，故C错误；
对于D：由C可得xy+1=−x2+3x=−x−322+94，当x=32时，
最大值为94，故D正确；故选：BD
10．由图可得，A=2，π3−π12=14×2πω，解得， 又函数图象经过点(π12,2)，
则2sin(2×π12+φ)=2，即sin(π6+φ)=1，
因φ<π2，故π6+φ=π2，解得φ=π3，故fx=2sin(2x+π3). 故A错误；
对于B，当x=−512π时，2x+π3=−π2，此时函数取得最小值，故B正确；
对于C，gx=2sin2x−π3=2csπ2−2x−π3=2cs(2x−5π6)，故C正确；
对于D，将函数fx=2sin(2x+π3)在区间x∈(π12+kπ,7π12+kπ)上是减函数，
当时，，故D正确。
11．A,f,x=3x2−2x−3<0⇒−1f,x≥0在区间(0,+∞)上恒成立，即a≥−3x−12+3 即a≥3, 故B错；
三次函数图像没有对称轴，故C错；对于D有两种解法：
解法一：函数，为奇函数，则
关于（0,0）对称，所以关于（1,0）对称，故D对。
解法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f'(x)=3x2−6x，f″(x)=6x−6，由f″(x)=0⇔x=1，
于是该三次函数的对称中心为1,f1，由题意(1,f(1))也是对称中心，
故f1=−2⟹b=0，故D对。
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分）
12．−2 13．34x2，38x3，316x4, 2x−1或者xlg23(写一个，答案不唯一)
14．−12,1 −516,1
【部分填空题解析】
（1）当x=4时，fα=cs4α−sin4α=cs2α−sin2α=cs2α,
因为α∈0,π3，则2α∈0,2π3，fα∈−12,1，
（2）当x=8时，



令t= cs2α, α∈0,π3,则t∈−12,1,则fα=y=12t3+12t∈−516,1
四、解答题（本题共5小题，共77分。）
15．解：（1）因为调查的男游客人数为：22+3×100=40，
所以，调查的女游客人数为100−40=60，
于是可完成2×2列联表如下：
………………（2分 错1个扣1分）
零假设为H0：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，得：
………………（5分，公式给1分）
根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关…（6分）
（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人， ……（7分）
依题意可知的可能取值为0，1，2， ……（8分）
并且服从超几何分布，即P(X=0)=C20C33C53=110，P(X=1)=C21C32C53=610，
P(X=2)=C22C31C53=310. …………（11分 每对一个给1分）
所以的分布列为：
…………（12分）
E(X)=0×110+1×610+2×310=65. …………（13分）
16．解：（1）因为fx=csx23sinx+csx−sin2x
=23sinxcsx+cs2x−sin2x …………（1分）
=3sin2x+cs2x …………（2分）
=232sin2x+12cs2x …………（3分）
=2sin2x+π6， …………（4分）
所以fx的最小正周期T=2π2=π， …………（5分）
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z， …………（7分）
所以函数的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ，k∈Z. …………（7分）
（2）由已知可得gx=2sin2x−π6+1 …………（8分）
gx=2⇒sin2x−π6=12， …………（9分）
解得2x−π6=2kπ+π6或2x−π6=2kπ+5π6 k∈Z …………（10分）
x=kπ+π6或x=kπ+π2 …………（11分）
k=0时，x=π6，x=π2 k=1时，x=7π6，x=3π2 （15分，对1个1分）
17．解：（1）由 2acsB+bcsA=ccsC得2sinAcsB+sinBcsA=sinCcsC（2分）
所以2sinB+A=sinCcsC，…………（3分）
即2sinC=sinCcsC…………（4分）
又sinC≠0，所以csC=12，…………（5分）
又，得…………（7分）
（2）由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcsC，
即12=a2+b2−ab①，…………（9分）
设AB的中点为D，则2CD=CA+CB两边同时平方
可得4CD2=(CA+CB)2 …………（10分）
即：4|CD|2=a2+b2+2abcsC，即：28=a2+b2+ab② …（12分）
由①可得：ab=8， …………（13分）
于是：△ABC的面积S=12absinC=12×8×32=23 ……（15分）
18.（1）解：由双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的焦距为，得a2+1=(5)2，
解得a2=4，所以双曲线C的方程为…………（4分）
（2）解：设直线MN的方程为y=32(x−4), M(x1,y1),N(x2,y2)
与双曲线的方程联立得： x2−12x+26=0…………（5分）
则x1+x2=12，x1x2=26 …………（7分）
所以：MN=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=70. …………（9分）
（3）证明：方法不唯一，可消x，也可消y
消x的方法：
依题意，设直线l的方程为
x=my+4，M(x1,y1),N(x2,y2)，
T
由x=my+4x2−4y2=4消去x并整理得
(m2−4)y2+8my+12=0，…（10分）
由直线l与双曲线的右支交于M,N两点，
得可得Δ=64m2−48(m2−4)>0m2−4≠0y1y2=12m2−4<0 ，
解得−2则y1+y2=−8mm2−4，y1y2=12m2−4，即2my1y2=−3(y1+y2)…（13分）
而A1−2,0,A22,0，
所以k1k2=y1x1+2y2x2−2=y1x2−2y2x1+2=y1my2+2y2my1+6 …………（14分）
=my1y2+2y1my1y2+6y2=−32y1+y2+2y1−32y1+y2+6y2=12y1−32y2−32y1+92y2 …………（16分）
=−13为定值. …………（17分）
消y的方法：
若直线MN斜率不存在，则方程为x=4,
与双曲线的方程联立得：M4,3,N4,−3.
所以k1=36,k2=−32，所以k1k2=−13 …………（10分）
若直线MN斜率存在，设直线MN的方程为y=k(x−4),
与双曲线的方程联立得：
1−4k2x2+32k2x−64k2−4=0
则x1+x2=−32k21−4k2，x1x2=−64k2+41−4k2 …………（11分）
∆=322k4+41−4k264k2+4>01−4k2≠0x1x2>0,所以k>12 或k<−12（12分）
k1k2=y1x1+2y2x2−2=y1x2−2y2x1+2=k(x1−4)x2−2k(x2−4)x1+2=x1x2−2x1+x2−2x2+8x1x2+2x1+x2−6x1−8 ……（14分）
因为，x2=−32k21−4k2−x1，代入得到：k1k2=−13…………（17分）
19.（1）解：fx=lnx−x−3 f'x=1x−1=1−xx=0,则x=1…………（1分）
f'x>0⇒01…………（3分）
故当x=1时，fx有极大值f1=−4 无极小值 …………（4分）
（2）①证明：fx=lnx+2x−b(b>2)，定义域为0,+∞，
所以，f'x=1x+2>0在0,+∞上恒成立，
所以fx在0,+∞上单调递增。…………（5分）
因为f1=ln1+2−b=2−b<0b>2,…………（6分）
fb=lnb+2b−b=lnb+b>0(b>2)， …………（7分）
所以，存在唯一a∈1,b，使得fa=0，
即：fx有唯一零点a，且a∈1,b. …………（8分）
②解：由已知f'x=1x+2，
所以，曲线fx在xn,fxn处的切线斜率为kn=1xn+2，……（9分）
所以，曲线fx在xn,fxn处的切线方程为
y−fxn=f'xnx−xn，
即y=1+2xnxnx+lnxn−b−1 …………（10分）
令y=0得x=−xnlnxn+b+1xn1+2xn …………（11分）
所以，切线与x轴的交点−xnlnxn+b+1xn1+2xn,0，即xn+1=−xnlnxn+b+1xn1+2xn，
所以，gxn=−xnlnxn+b+1xn1+2xn.…………（12分）
对任意的xn∈0,+∞，由已知，曲线fx在xn,fxn处的切线方程为：
y=1+2xnxnx+lnxn−b−1，故令ℎx=1+2xnxnx+lnxn−b−1，
令F(x)=f(x)−ℎ(x)=lnx−1xnx−lnxn+1.
所以，F'(x)=1x−1xn=xn−xxnx，
所以，当x∈(0,xn)时，F'(x)>0,F(x)单调递增，
当x∈(xn,+∞)时，F'(x)<0,F(x)单调递减；
所以，恒有F(x)≤F(xn)=0，
即f(x)≤ℎ(x)恒成立，当且仅当x=xn时等号成立， ………（14分）
另一方面，由（i）知，xn+1=xn−f(xn)f'(xn)，且当xn≠a时，xn+1≠xn，
（若xn=a，则f(xn)=f(a)=0，
故任意xn+1=xn=，显然矛盾）
因为xn+1是ℎx的零点，所以f(xn+1)<ℎ(xn+1)=f(a)=0,
因为fx为单调递增函数，
所以，对任意的xn≠a时，总有xn+1又因为x1所以，f'(xn)>0,f(xn)所以xn+1=xn−f(xn)f'(xn)>xn，
综上，当x1∈1,a，总有xn题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
D
D
A
B
题号
9
10
11
答案
BD
BCD
A D
满意
不满意
总计
男游客
35
5
40
女游客
45
15
60
合计
80
20
100
0
1
2
P
110
610
310