江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌八上数学第2周创优班数学试题【含答案】

这是一份江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌八上数学第2周创优班数学试题【含答案】，共16页。


A．50°B．40°C．35°D．30°
2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上AB⊥x轴，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，）B．（3，﹣）C．（﹣，1）D．（1，﹣）
二．填空题（共9小题）
4．如图，在扇形OBA中，∠AOB＝90°，C、D分别是OA，OB的中点，连接AD和BC交于点E，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
5．如图，正方形ABCD的边长为5，E是边AD上一动点，将正方形沿CE翻折，点D的对应点为D'，过点D'作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M，N（点M在点N上方），若2AM＝CN，则DE的长为 ．
6．已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是 ．
7．甲、乙两筐苹果各有若干千克，从甲筐拿出20%到乙筐后，又从乙筐拿出25%到甲筐，这时甲、乙两筐苹果的质量相等，则原来乙筐的苹果质量是甲筐的 %．
8．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．若∠MON＝48°，∠BOC＝14°，则∠AOD＝ ．
9．如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm．瓶内溶液的体积为 升．
10．为了庆祝中共二十大胜利召开，某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．若某参赛同学有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了 道题．
11．《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）
大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有 升酒．
12．学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完．已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为 人．
三．解答题（共5小题）
13．国家“双减”政策实施后．某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和围棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋．已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元．
（1）求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元．
（2）在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款．
若该校共需购买40副围棋和x（x≥10）副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算．
14．已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象；
（2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积；
（3）根据图象，不等式≥ax+b的解集．
15．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中P与q都是两位数，p与q的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数M为“好数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“好分解”，例如：139＝112+18，11与18的十位数字相同，1+8＝9，所以139是“好数”；470＝212+29，21与29的十位数字相同，但1+9≠9，所以470不是“好数”．
（1）判断268，1061是否是“好数”？并说明理由；
（2）把一个四位“好数”M进行“好分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被4整除，且N的各个数位数字之和能被5整除，求出所有满足条件的M．
16．设a，b，c，d为自然数，且a＜b＜c＜d，，求a，b，c，d．
17．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4即＝4
∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝35°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝85°﹣35°＝50°，
故选：A．
2．【解答】解：解不等式x+5＞2，得x＞﹣3；
解不等式1﹣3x≥x﹣7，得x≤2；
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故选：A．
3．【解答】解：连接OB，过点C作CP⊥OA，垂足为P，如图所示，
∵AB＝CB＝2，OA＝OC，OB＝OB，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴，
在Rt△AOB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴，
∴，
在Rt△COP中，，
∴，
∴点C的坐标为，
∵每次旋转90°，360°÷90°＝4，
∴每旋转4次为一个循环．
∵2023÷4＝505⋅⋅⋅3，
∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位㨁相同，
∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选：B．
二．填空题（共9小题）
4．【解答】解：如图，连接OE，
∵OA＝2，点C是OA的中点，点D是OB的中点，
∴OC＝OD＝1，S△ACE＝S△OEC，S△OED＝S△BED，
∵∠AOD＝90°＝∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠CAE＝∠DBE，
∵∠AEC＝∠BED，AC＝BD＝1，
∴△AEC≌△BED（AAS），
∴S△ACE＝S△OEC＝S△OED＝S△BED＝S△AOD＝××2×1＝，
∴S阴影部分＝S扇形AOB﹣4S△DOE
＝﹣4×
＝，
故答案为：．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为5的正方形，
∴AD＝5，AD∥BC，
∵MN∥CE，
∴四边形CEMN为平行四边形，
∴∠D′ME＝∠ECN，CN＝EM，
∵2AM＝CN，
∴EM＝2AM，
设AM＝x，则EM＝2x，
∴DE＝AD﹣AM﹣EM＝5﹣3x，
根据折叠的性质可得，DE＝D′E＝5﹣3x，∠DEC＝∠D′EC，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECN＝∠D′ME，
∵MN∥CE，
∴∠D′EC＝∠MD′E，
∴∠D′ME＝∠MD′E，
∴EM＝D′E，
∴2x＝5﹣3x，
解得：x＝1，
∴DE＝5﹣3x＝2．
故答案为：2．
6．【解答】解：2007的质因数分解式是2007＝3×3×223，3+3+223＝229，还需要补2007﹣229＝1778个1；1778+3＝1781，那么n的值最大是1781．
故答案为：1781．
7．【解答】解：设甲、乙两筐苹果各有xkg、ykg，
从甲筐拿出20%到乙筐后，
甲、乙两筐苹果分别为：80%xkg，（y+20%x ）kg，
从乙筐拿出25%到甲筐后，
甲、乙两筐苹果分别为：80%x+25%×（y+20%x）＝，75%×（y+20%x）＝，
由题意可知：＝，
解得：y＝，
则原来乙筐的苹果质量是甲筐的：×100%＝×100%＝140%．
8．【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠AOB＝2∠BOM，∠COD＝2∠CON，
∵∠MON＝48°，∠BOC＝14°，
∴∠BOM+∠CON＝∠MON﹣∠BOC＝48°﹣14°＝34°，
∴∠AOB+∠COD＝2（∠BOM+∠CON）＝2×34°＝68°，
∴∠AOB+∠COD+∠BOC＝68°+14°＝82°，
∵∠AOD＝∠AOB+∠COD+∠BOC，
∴∠AOD＝82°，
故答案为：82°．
9．【解答】解：设瓶子的底面积为Scm2，1升＝1000cm3，
根据题意列方程得，20S+5S＝1000，
解得S＝40，
40×20＝800（cm2），
800cm3＝0.8L，
故答案为：0.8．
10．【解答】解：设该同学一共答对了x道题，
∵一共有25道题，有1道题没有作答，
∴该同学答错了（25﹣1﹣x）道题，
由题意，得：4x﹣（25﹣1﹣x）×1＝86，
解得：x＝22；
∴该参赛同学一共答对了22道题；
故答案为：22．
11．【解答】解：设壶中原有x升酒，
根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，
解得：x＝．
答：壶中原有升酒．
故答案为：．
12．【解答】解：由题可知每人每天除草量是一定的，
设此次参加社会实践活动的人数为x人，每人每天除草量为y，
则上午在大片草地除草量为0.5xy，
下午在大片草地除草量为0.5×0.5xy，
下午在小片草地除草量为0.5×0.5xy，
一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为y，又因为大片地的面积是小片地的2倍，列出方程，
0.5xy+0.5×0.5xy＝2×（0.5×0.5xy+y），
0.5xy+0.25xy＝0.5xy+2y，
0.75xy﹣0.5xy＝2y，
0.25xy＝2y，
0.25x＝2，
x＝8．
答：此次参加社会实践活动的人数为8人．
故答案为：8．
三．解答题（共5小题）
13．【解答】解：（1）设每副中国象棋的价格是a元，每副围棋的价格是b元．
依题意有，
解得：，
答：每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元；
（2）设选择方案一所需的费用为y1元，选择方案二所需的费用为y2元．
根据题意得：y1＝40×30+（x﹣20）×15＝15x+900；
y2＝（15x+30×40）×0.8＝12x+960．
若y1＜y2，则15x+900＜12x+960，解得x＜20；
若y1＝y2，则15x+900＝12x+960，解得x＝20；
若y1＞y2，则15x+900＞12x+960，解得x＞20．
∵x≥20，
∴若y1＜y2，则10≤x＜20．
答：当10≤x＜20时，该校选择方案一更划算；当x＞20时，该校选择方案二更划算；当x＝20时，该校选择两种方案一样划算．
14．【解答】解：（1）∵点A（1，﹣5））和B（m，）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×（﹣5）＝m＝﹣5，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，m＝﹣3；
∴点B的坐标为（﹣3，）．
将A（1，﹣5），B（﹣3，）代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣；
图象如图1所示：
（2）如图2，∵点A的坐标为（1，﹣5），点C与点A关于原点成中心对称，
∴点C的坐标为（﹣1，5），
∵点B的坐标为（﹣3，），
∴S△ABC＝4×10﹣×4×（5+）﹣×2×10﹣×＝．
（3）观察函数图象，可知：当x≥1或﹣3≤x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式≥ax+b的解集是x≥1或﹣3≤x＜0．
15．【解答】解：（1）268不是“好数”，1061是“好数”；
理由：268不是268＝162+12，16和12的十位数相同，但是2+6≠9，所以268不是“好数”；
1061＝322+37，32与37的十位数字相同，2+7＝9，所以1061是“好数”；
（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是m，个位数是9﹣n，
∴N的各位数字之和是m+n+m+9﹣n＝2m+9，
∵N的各个数位数字之和能被5整除，
∴m＝3或8，
当m＝3时，N＝1000m+100n+100m+9﹣n＝1010m+99n+9＝3039+99n，
∵N能被4整除，
∴n＝3或7，
∴M＝332+36＝1125或M＝372+32＝1401，
即M＝1125或1401；
当m＝8时，N＝1010m+99n+9＝8089+99n，
∵N能被4整除，
∴n＝1或5或9，
∴M＝812+88＝6649或M＝852+84＝7309或M＝892+80＝8001，
即M＝6649或7309或8001；
综上所述：满足条件的M有1125或1401或6649或7309或8001．
16．【解答】解：∵a＜b＜c＜d，
∴，
∴1＝＜＝，
∴a＜4，
∵a，b，c，d为自然数，
∴a＝2或3，
当a＝2时，＜，
∴b＜6，
∴b＝3或4或5，
当b＝3时，＜，
∴c＜12，
∴c＝4或5或6或7或8或9或10或11．
由，依次代入经过计算可得，
（a，b，c，d）＝（2，4，6，12），（2，4，5，20），（2，3，7，42），（2，3，8，24），（2，3，9，18），（2，3，10，15）．
当a＝3时，＜，
∴b＜4.5，
∴b＝4，
此时，
∴c＜4.8，
∵c＞b，故不存在这样的自然数c，故a＝3舍去．
综上：（a，b，c，d）＝（2，4，6，12），（2，4，5，20），（2，3，7，42），（2，3，8，24），（2，3，9，18），（2，3，10，15）．
17．【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）设，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，
∴；
（3）设，
∴①，
②，
③，
①+②+③，得
，
④，
④﹣①，得：，
④﹣②，得：，
④﹣③，得：，
∴，，，
∵
∴，
∴，
解得，k＝4，
∴，，，
∴．
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