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江苏省苏州市62025届九上数学开学监测试题【含答案】
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这是一份江苏省苏州市62025届九上数学开学监测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
2、（4分）如果aA．a+23、（4分）若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6、（4分）下列式子：①y=3x﹣5；②y=；③y=；④y2=x；⑤y=|x|，其中y是x的函数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7、（4分）下列说法不正确的是( )
A．四边都相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
8、（4分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外体育占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小彤的这三项成绩（百分制）分别为95分，90分，88分，则小彤这学期的体育成绩为（）
A．89分B．90分C．92分D．93分
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）关于的函数（其中）是一次函数，那么=_______。
10、（4分）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____．
11、（4分）如图，点D是直线外一点，在上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是：_________________________
.
12、（4分）当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2的值是_____．
13、（4分）已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为___________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且，过点C作，且．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N.
（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．
求证：①；
②；
（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求与的和的度数．
15、（8分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
16、（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．
17、（10分）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为、，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当是等腰三角形时，点Р的坐标为_______________．
18、（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠AOD=120°，AB=3，求AC的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，点A是反比例函数y=(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=(k≠0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，点C，点D在x轴上．若S▱ABCD＝5，则k＝____．
20、（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠B= 度．
21、（4分）已知一组数据4，，6，9，12的众数为6，则这组数据的中位数为_________.
22、（4分）已知：，则=_____．
23、（4分）如图，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝8，DC＝6，则BE的长为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）我们给出如下定义，如果一个四边形有一条对角线能将其分成一个等边三角形和一个直角三角形，那么这个四边形叫做等垂四边形，这条对角线叫做这个四边形的等垂对角线.
（1）已知是四边形的等垂对角线，，均为钝角，且比大，那么________.
（2）如图，已知与关于直线对称，、两点分别在、边上，，，.求证：四边形是等垂四边形。
25、（10分）疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表：
（1）已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，用64元购买到A种口罩的数量和144元购买到B种口罩的数量相同，求A种口罩和B种口罩每包售价．
（2）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的5倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？
26、（12分）据某市交通运管部门月份的最新数据，目前该市市面上的共享单车数量已达万辆，共享单车也逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表．
（1）求这天部分出行学生使用共享单车次数的平均数，中位数和众数．
（2）若该校这天有名学生出行，估计使用共享单车次数在次以上（含次）的学生数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：分式有意义，
，
解得：．
故选：．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2、C
【解析】
根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】
解：A.，，选项结论正确，不符合题意；
B.，，选项结论正确，不符合题意；
C.，，选项结论错误，符合题意；
D.，，选项结论正确，不符合题意．
故选：C．
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3、B
【解析】
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠-1
故选B．
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
4、A
【解析】
根据平方差公式的特点，两平方项符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、-m2与n2符号相反，能运用平方差公式，故本选项正确；
B、有三项，不能运用平方差公式，故本选项错误；
C、m2与n2符号相同，不能运用平方差公式，故本选项错误；
D、-a2与-b2符号相同，不能运用平方差公式，故本选项错误．
故选：A．
本题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
5、D
【解析】
利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
【详解】
∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
6、C
【解析】
根据函数的定义逐一进行判断即可得.
【详解】
①y=3x﹣5，y是x的函数；
②y=，y是x的函数；
③y=，y是x的函数；
④y2=x，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
⑤y=|x|，y是x的函数，
故选C．
本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
7、C
【解析】
由平行四边形的判定可求解．
【详解】
解：A、四边都相等是四边形是菱形，也是平行四边形；故该选项不合题意；
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不是平行四边形，故该选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故该选项不合题意；
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是本题的关键．
8、B
【解析】
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】
】解：根据题意得：
95×20%+90×30%+88×50%=90（分）．
即小彤这学期的体育成绩为90分．
故选：B．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是题的关键，是一道常考题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、、、
【解析】
根据一次函数的定义解答．
【详解】
依题意得：（k-1）（k-2）（k-2）+1=1或k=1，
所以（k-1）（k-2）（k-2）=1或k=1，
当k=2时，不是一次函数，
故k≠2，
所以，k-1=1或k-2=1或k=1，
所以k=1或k=2或k=1．
故答案是：1或1或2．
考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠1，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
10、1
【解析】
【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义进行求解即可得．
【详解】∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，
∴x=5，
则这组数据为1、3、3、5、5、6，
∴这组数据的中位数为=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键.
11、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【解析】
先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断四边形ABCD是平行四边形．
【详解】
解：根据尺规作图的作法可得，AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
12、24
【解析】
将原式化为x2+2x+1+1的形式并运用完全平方公式进行求解.
【详解】
解：原式=(x+1)2+1=(﹣1+1)2+1=23+1=24，
故答案为24.
观察并合理使用因式分解的相关公式可以大大简化计算过程.
13、矩形
【解析】
直接利用小明的作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．
【详解】
解：根据小明的作图方法可知：AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，
∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形．
本题主要考查了复杂作图，正确掌握平行四边形的判定方法和矩形的判定方法是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）①见解析；②见解析；（2）
【解析】
（1）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，可知①∠BAE＝∠DAF是否成立；可知②DN⊥AE是否成立；
（2）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，求出∠EAC与∠ADN的和的度数.
【详解】
（1）证明：①在正方形ABCD中，
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴.
②∵M是AF的中点，
∴，
由①可知.
∵.
∵
∴
∴
（2）解：延长AD至H，使得，连结FH，CH.
∵，
∴.
在正方形ABCD屮，AC是对角线，
∴.
∴.
∴.
∴
又∵，
∴.
∴
∵M是AF的中点，D是AH的中点，
∴.
∴
∴
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的应用，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算.
15、证明：（1）见解析
（2）见解析
【解析】
（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．
（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
【详解】
证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，
在△ABC和△BAD中，∵ AC="BD" ，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°，
∴△ABC≌△BAD（HL）．∴BC=AD．
（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．
∴△OAB是等腰三角形．
16、10+1．
【解析】
先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=1．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【详解】
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=1．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD==1．
∵D是BC的中点，
∴BC=1CD=2．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==1．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=2．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+1．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．
17、，，，；
【解析】
题中没指明△ODP的腰长与底分别是哪个边,故应该分情况进行分析,从而求得点P的坐标.
【详解】
（1）OD是等腰三角形的底边时,此时P（2.5,4）；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时:
①若点O是顶角顶点时,P点就是以点O为圆心,以5为半径的弧与CB的交点，在直角∆OPC中，CP===3，则P的坐标是(3,4)；②若D是顶角顶点时,P点就是以点D为圆心,以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角∆PDM中,PM==3，当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是(2,4);当P在M的右侧时，CP=5+3=8,则P的坐标是(8,4)；故P的坐标为: （2.5,4）；(3,4)； (2,4)或(8,4).
故答案为: （2.5,4）；(3,4)；(2,4)或(8,4)
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用解答,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况是解题的关键.
18、1
【解析】
依据矩形的性质可知△AOB是等边三角形，所以AO=AB=3，则AC=2AO=1．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，
∴AO=BO=CO=DO．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=10°．
∴△AOB是等边三角形．
∴AO=AB=3，
∴AC=2AO=1．
本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线相等且互相平分，则其分成的四条线段都相等．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
设点A（x，），表示点B的坐标，然后求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
设点A（x，），则B（，），
∴AB=x-，
则（x-）•=5，
k=-1．
故答案为：-1．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A，B的横坐标之差表示出AB的长度是解题的关键．
20、1．
【解析】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°，
∴∠B=1°．
故答案为1．
21、1
【解析】
根据众数的定义求出x，然后根据中位数的概念求解．
【详解】
解：∵数据4，x，1，9，12的众数为1，
∴x＝1，
则数据重新排列为4，1，1，9，12，
所以中位数为1，
故答案为：1．
本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
22、
【解析】
直接利用已知用同一未知数表示出x，y，z的值，进而代入化简即可．
【详解】
∵，∴设x=4a，则y=3a，z=2a，则原式==．
故答案为．
本题考查了比例的性质，正确用一个未知数表示出各数是解题的关键．
23、
【解析】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°．
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠D′AC=∠ACB．
∴AE=EC．
设BE=x，则EC=8-x，AE=8-x．
∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
∴62+x2=（8-x）2，解得x=，即BE的长为.
故答案是：.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）110°或150°；（2）见解析.
【解析】
（1）由题意分∠D=90°与∠DCA=90°两种情况，并利用四边形内角和定理求解即可；
（2）连接，先利用SAS证明，再证明是等边三角形，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可.
【详解】
解：（1）或.
如图1，当∠D=90°时，设=x°，则=(x－10)°，根据四边形内角和定理可得：
x+x－10+90+60=360，解得x=110，即110°；
如图2，当∠DCA=90°时，60°+90°=150°；
故答案为或.
（2）证明：如图3，连接.
∵和关于对称，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴四边形是等垂四边形.
本题考查了轴对称的性质、四边形的内角和、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理和对新定义问题中等垂四边形的理解，弄清等垂四边形的定义、熟练掌握等边三角形的判定和性质与勾股定理的逆定理是解题的关键.
25、（1）种口罩每包售价16元，种口罩每包售价36元；（2）822包
【解析】
（1）设种口罩每包售价元，则种口罩每包售价元，根据等量关系：用64元购买到A种口罩的数量和144元购买到B种口罩的数量相同，列出方程并解方程即可.
（2）设种口罩买包，种口罩买包，则种口罩买包，根据等量关系：三种口罩共花费12000元，得到，进而得出总数量关于n的函数关系式，根据一次函数的最值求解即可.
【详解】
解：（1）设种口罩每包售价元，则种口罩每包售价元，依题意，得：
解得：
经检验：是原方程的解
∴，∴（元）
答：种口罩每包售价16元，种口罩每包售价36元
（2）设种口罩买包，种口罩买包，则种口罩买包
则
∵是5的倍数，∴
总数量为
∵，∴取最大值时，值最小
又∵
∴当时，总口罩最少为
（包）
∴该店至少可以购买进三种口罩共822包.
本题考查分式方程的实际应用及一次函数的实际应用，准确找到等量关系列出分式方程及一次函数解析式是解题的关键.
26、（1）中位数是次,众数是次;（2）人．
【解析】
（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在2次以上（含2次）的学生所占比例即可得．
【详解】
（1）
（次）
次数从小到大排列后，中间两个数是与
中位数是次
共享单车的使用次数中，出现最多的是次
众数是次
（2）
即该校这天使用共享单车次数在次以上（含 次）的学生约有人．
本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
使用次数
人数
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
2、（4分）如果a
A．B．C．D．
4、（4分）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6、（4分）下列式子：①y=3x﹣5；②y=；③y=；④y2=x；⑤y=|x|，其中y是x的函数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7、（4分）下列说法不正确的是( )
A．四边都相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
8、（4分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外体育占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小彤的这三项成绩（百分制）分别为95分，90分，88分，则小彤这学期的体育成绩为（）
A．89分B．90分C．92分D．93分
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）关于的函数（其中）是一次函数，那么=_______。
10、（4分）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____．
11、（4分）如图，点D是直线外一点，在上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是：_________________________
.
12、（4分）当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2的值是_____．
13、（4分）已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为___________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且，过点C作，且．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N.
（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．
求证：①；
②；
（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求与的和的度数．
15、（8分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
16、（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．
17、（10分）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为、，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当是等腰三角形时，点Р的坐标为_______________．
18、（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠AOD=120°，AB=3，求AC的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，点A是反比例函数y=(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=(k≠0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，点C，点D在x轴上．若S▱ABCD＝5，则k＝____．
20、（4分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠B= 度．
21、（4分）已知一组数据4，，6，9，12的众数为6，则这组数据的中位数为_________.
22、（4分）已知：，则=_____．
23、（4分）如图，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝8，DC＝6，则BE的长为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）我们给出如下定义，如果一个四边形有一条对角线能将其分成一个等边三角形和一个直角三角形，那么这个四边形叫做等垂四边形，这条对角线叫做这个四边形的等垂对角线.
（1）已知是四边形的等垂对角线，，均为钝角，且比大，那么________.
（2）如图，已知与关于直线对称，、两点分别在、边上，，，.求证：四边形是等垂四边形。
25、（10分）疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表：
（1）已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，用64元购买到A种口罩的数量和144元购买到B种口罩的数量相同，求A种口罩和B种口罩每包售价．
（2）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的5倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？
26、（12分）据某市交通运管部门月份的最新数据，目前该市市面上的共享单车数量已达万辆，共享单车也逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表．
（1）求这天部分出行学生使用共享单车次数的平均数，中位数和众数．
（2）若该校这天有名学生出行，估计使用共享单车次数在次以上（含次）的学生数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：分式有意义，
，
解得：．
故选：．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2、C
【解析】
根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】
解：A.，，选项结论正确，不符合题意；
B.，，选项结论正确，不符合题意；
C.，，选项结论错误，符合题意；
D.，，选项结论正确，不符合题意．
故选：C．
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3、B
【解析】
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠-1
故选B．
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
4、A
【解析】
根据平方差公式的特点，两平方项符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、-m2与n2符号相反，能运用平方差公式，故本选项正确；
B、有三项，不能运用平方差公式，故本选项错误；
C、m2与n2符号相同，不能运用平方差公式，故本选项错误；
D、-a2与-b2符号相同，不能运用平方差公式，故本选项错误．
故选：A．
本题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
5、D
【解析】
利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
【详解】
∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
6、C
【解析】
根据函数的定义逐一进行判断即可得.
【详解】
①y=3x﹣5，y是x的函数；
②y=，y是x的函数；
③y=，y是x的函数；
④y2=x，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
⑤y=|x|，y是x的函数，
故选C．
本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
7、C
【解析】
由平行四边形的判定可求解．
【详解】
解：A、四边都相等是四边形是菱形，也是平行四边形；故该选项不合题意；
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不是平行四边形，故该选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故该选项不合题意；
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是本题的关键．
8、B
【解析】
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】
】解：根据题意得：
95×20%+90×30%+88×50%=90（分）．
即小彤这学期的体育成绩为90分．
故选：B．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是题的关键，是一道常考题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、、、
【解析】
根据一次函数的定义解答．
【详解】
依题意得：（k-1）（k-2）（k-2）+1=1或k=1，
所以（k-1）（k-2）（k-2）=1或k=1，
当k=2时，不是一次函数，
故k≠2，
所以，k-1=1或k-2=1或k=1，
所以k=1或k=2或k=1．
故答案是：1或1或2．
考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠1，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
10、1
【解析】
【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义进行求解即可得．
【详解】∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，
∴x=5，
则这组数据为1、3、3、5、5、6，
∴这组数据的中位数为=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键.
11、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【解析】
先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断四边形ABCD是平行四边形．
【详解】
解：根据尺规作图的作法可得，AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
12、24
【解析】
将原式化为x2+2x+1+1的形式并运用完全平方公式进行求解.
【详解】
解：原式=(x+1)2+1=(﹣1+1)2+1=23+1=24，
故答案为24.
观察并合理使用因式分解的相关公式可以大大简化计算过程.
13、矩形
【解析】
直接利用小明的作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．
【详解】
解：根据小明的作图方法可知：AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，
∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形．
本题主要考查了复杂作图，正确掌握平行四边形的判定方法和矩形的判定方法是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）①见解析；②见解析；（2）
【解析】
（1）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，可知①∠BAE＝∠DAF是否成立；可知②DN⊥AE是否成立；
（2）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，求出∠EAC与∠ADN的和的度数.
【详解】
（1）证明：①在正方形ABCD中，
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴.
②∵M是AF的中点，
∴，
由①可知.
∵.
∵
∴
∴
（2）解：延长AD至H，使得，连结FH，CH.
∵，
∴.
在正方形ABCD屮，AC是对角线，
∴.
∴.
∴.
∴
又∵，
∴.
∴
∵M是AF的中点，D是AH的中点，
∴.
∴
∴
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的应用，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算.
15、证明：（1）见解析
（2）见解析
【解析】
（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．
（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
【详解】
证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，
在△ABC和△BAD中，∵ AC="BD" ，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°，
∴△ABC≌△BAD（HL）．∴BC=AD．
（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．
∴△OAB是等腰三角形．
16、10+1．
【解析】
先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=1．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【详解】
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=1．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD==1．
∵D是BC的中点，
∴BC=1CD=2．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==1．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=2．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+1．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．
17、，，，；
【解析】
题中没指明△ODP的腰长与底分别是哪个边,故应该分情况进行分析,从而求得点P的坐标.
【详解】
（1）OD是等腰三角形的底边时,此时P（2.5,4）；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时:
①若点O是顶角顶点时,P点就是以点O为圆心,以5为半径的弧与CB的交点，在直角∆OPC中，CP===3，则P的坐标是(3,4)；②若D是顶角顶点时,P点就是以点D为圆心,以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角∆PDM中,PM==3，当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是(2,4);当P在M的右侧时，CP=5+3=8,则P的坐标是(8,4)；故P的坐标为: （2.5,4）；(3,4)； (2,4)或(8,4).
故答案为: （2.5,4）；(3,4)；(2,4)或(8,4)
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用解答,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况是解题的关键.
18、1
【解析】
依据矩形的性质可知△AOB是等边三角形，所以AO=AB=3，则AC=2AO=1．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，
∴AO=BO=CO=DO．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=10°．
∴△AOB是等边三角形．
∴AO=AB=3，
∴AC=2AO=1．
本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线相等且互相平分，则其分成的四条线段都相等．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
设点A（x，），表示点B的坐标，然后求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
设点A（x，），则B（，），
∴AB=x-，
则（x-）•=5，
k=-1．
故答案为：-1．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A，B的横坐标之差表示出AB的长度是解题的关键．
20、1．
【解析】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°，
∴∠B=1°．
故答案为1．
21、1
【解析】
根据众数的定义求出x，然后根据中位数的概念求解．
【详解】
解：∵数据4，x，1，9，12的众数为1，
∴x＝1，
则数据重新排列为4，1，1，9，12，
所以中位数为1，
故答案为：1．
本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
22、
【解析】
直接利用已知用同一未知数表示出x，y，z的值，进而代入化简即可．
【详解】
∵，∴设x=4a，则y=3a，z=2a，则原式==．
故答案为．
本题考查了比例的性质，正确用一个未知数表示出各数是解题的关键．
23、
【解析】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°．
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠D′AC=∠ACB．
∴AE=EC．
设BE=x，则EC=8-x，AE=8-x．
∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
∴62+x2=（8-x）2，解得x=，即BE的长为.
故答案是：.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）110°或150°；（2）见解析.
【解析】
（1）由题意分∠D=90°与∠DCA=90°两种情况，并利用四边形内角和定理求解即可；
（2）连接，先利用SAS证明，再证明是等边三角形，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可.
【详解】
解：（1）或.
如图1，当∠D=90°时，设=x°，则=(x－10)°，根据四边形内角和定理可得：
x+x－10+90+60=360，解得x=110，即110°；
如图2，当∠DCA=90°时，60°+90°=150°；
故答案为或.
（2）证明：如图3，连接.
∵和关于对称，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴四边形是等垂四边形.
本题考查了轴对称的性质、四边形的内角和、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理和对新定义问题中等垂四边形的理解，弄清等垂四边形的定义、熟练掌握等边三角形的判定和性质与勾股定理的逆定理是解题的关键.
25、（1）种口罩每包售价16元，种口罩每包售价36元；（2）822包
【解析】
（1）设种口罩每包售价元，则种口罩每包售价元，根据等量关系：用64元购买到A种口罩的数量和144元购买到B种口罩的数量相同，列出方程并解方程即可.
（2）设种口罩买包，种口罩买包，则种口罩买包，根据等量关系：三种口罩共花费12000元，得到，进而得出总数量关于n的函数关系式，根据一次函数的最值求解即可.
【详解】
解：（1）设种口罩每包售价元，则种口罩每包售价元，依题意，得：
解得：
经检验：是原方程的解
∴，∴（元）
答：种口罩每包售价16元，种口罩每包售价36元
（2）设种口罩买包，种口罩买包，则种口罩买包
则
∵是5的倍数，∴
总数量为
∵，∴取最大值时，值最小
又∵
∴当时，总口罩最少为
（包）
∴该店至少可以购买进三种口罩共822包.
本题考查分式方程的实际应用及一次函数的实际应用，准确找到等量关系列出分式方程及一次函数解析式是解题的关键.
26、（1）中位数是次,众数是次;（2）人．
【解析】
（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在2次以上（含2次）的学生所占比例即可得．
【详解】
（1）
（次）
次数从小到大排列后，中间两个数是与
中位数是次
共享单车的使用次数中，出现最多的是次
众数是次
（2）
即该校这天使用共享单车次数在次以上（含 次）的学生约有人．
本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
使用次数
人数
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