2024-2025学年福建省泉州市安溪一中高一（上）第一次学情调研数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年福建省泉州市安溪一中高一（上）第一次学情调研数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|0A. {x|12.命题“∀x≥2，x2−4<0”的否定是( )
A. ∃x≥2，x2−4≥0B. ∃x<2，x2−4≥0
C. ∀x≥2，x2−4≥0D. ∀x<2，x2−4<0
3.已知x>y>z且x+y+z=0，则下列不等式中恒成立的是( )
A. xy>yzB. xz>yzC. xy>xzD. x|y|>z|y|
4.已知集合{a,b,c}={0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0，有且只有一个正确，则100a+10b+c=( )
A. 12B. 21C. 102D. 201
5.设U={不大于10的正整数}，A={10以内的质数}，B={1,3,5,7,9}，则∁UA∩∁UB是( )
A. {2,4,6,8,9}B. {2,4,6,8,9,10}C. {1,2,6,8,9,10}D. {4,6,8,10}
6.同时满足①M⊆{1,2,3,4,5}； ②若a∈M，则(6−a)∈M，的非空集合M有( )
A. 16个B. 15个C. 7个D. 8个
7.一元二次方程ax2+2x+1=0，(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A. a<0B. a>0C. a<−1D. a>1
8.不等式t( x+ y)≤ 2x+2y对所有的正实数x，y恒成立，则t的最大值为( )
A. 2B. 2C. 24D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列结论中，正确的有( )
A. x2=9是x3=−27的必要不充分条件
B. 在△ABC中，“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C. 若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件
D. 若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
10.已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc=1，则下列说法正确的是( )
A. (a+c)2>1bB. 1a−c<1b−c
C. a2>b2D. (a2b−1)(ab2−1)>0
11.下列说法正确的是( )
A. 若x>1，则y=3x+1x−1的最小值为2 3+3
B. 已知x>−1，y>0，且x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为92
C. 已知m≥0，n≥0，且m+n=1，则m2m+2+n2n+1的最小值为415
D. 若x>0，y>0，z>0则x2+y2+z23xy+4yz的最小值为25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集U是实数集R，M={x|x<−2或x>2}，N={x|113.命题“∀x∈R，使得不等式mx2+mx+1≥0”是真命题，则m的取值范围是．
14.已知x>0，y>0，x+2y=2，则x2+5y2+2x+4yxy的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|0<2x+a≤3}，B={y|−12(1)当a=1时，求(∁RB)∪A；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
设命题p：实数x满足a0，命题q：实数x满足2(1)若a=1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x、y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合A是“好集”．
(1)分别判断集合A={−1,0,1}是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A是“好集”，求证：若x、y∈A，则x+y∈A；
(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、y∈A，则必有2xy∈A．
18.(本小题17分)
中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a>0)；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
若实数x，y，m满足|x−m|>|y−m|，则称x比y远离m．
(1)若2比3x−4远离1，求x的取值范围；
(2)设y=x+2x+1，其中x∈(0, 2)∪( 2,+∞)，判断：x与y哪一个更远离 2？并说明理由．
(3)若x+y=2，试问：y与x2+y2哪一个更远离12？并说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.D
6.C
7.C
8.D
9.AD
10.ABD
11.ABD
12.{x|113.[0,4]
14.4+6 2
15.解：(1)当a=1时，A={x|−12∴(∁RB)∪A={x|x≤1，或x≥2}；
(2)∵A={x|−a2当A=⌀时，−a2≥3−a2；
即0≥3，不成立；
∴A≠⌀；
∴−a2≥−123−a2<2，解得−1∴a的取值范围为(−1,1]．
16.解：(1)由a当a=1时，1即p为真命题时，
实数x的取值范围是1又q为真命题时，
实数x的取值范围是2所以，当p，q均为真命题时，
有1所以实数x的取值范围是{x|2(2)￢p是￢q的充分不必要条件，
即￢p⇒￢q且￢q推不出￢p．
设A={x|x≤a或x≥3a}，B={x|x≤2或x>3}，
所以03，即1所以实数a的取值范围是{a|117.解：(1)集合A不是“好集”，理由是−1∈A，1∈A，而−1−1=−2∉A，所以A不是“好集”；
(2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A，
若x，y∈A，则0−y∈A，即−y∈A，
所以x−(−y)∈A，即x+y∈A；
(3)证明：对任意一个“好集”A，任取x、y∈A；
若x、y中有0和1时，显然xy∈A；
下设x、y均不含0，1，由定义得x−1，1x−1，1x∈A，
所以1x−1−1x=1x(x−1)∈A，所以x(x−1)∈A，
由(2)得x(x−1)+x=x2∈A，同理y2∈A，
若x+y=0或x+y=1，显然(x+y)2∈A；
若x+y≠0，且x+y≠1，则(x+y)2∈A；
所以2xy=(x+y)2−x2−y2∈A．
18.解：(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)，
则屋子前面新建墙体长为12xm，
则y=3(150×2x+400×12x)+7200=900(x+16x)+7200≥900×2× x×16x+7200=14400，
当且仅当x=16x，即x=4时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
(2)由题意可得，900(x+16x)+7200>900a(1+x)x对任意的x∈[2,6]恒成立，即(x+4)2x>a(1+x)x，
所以(x+4)2x+1>a，即x+1+9x+1+6>a恒成立，
因为x+1+9x+1+6≥2 (x+1)⋅9x+1+6=12，仅当x+1=9x+1，即x=2时，等号成立，
所以0故a的取值范围为(0,12)．
19.解：(1)根据题意可得：|2−1|>|3x−4−1|，
所以|3x−5|<1，解得43故x的取值范围为(43,2)；
(2)x比y更远离 2，
理由如下：要证x比y更远离 2，只要证|x− 2|>|x+2x+1− 2|，
即证|x− 2|>|(1− 2)(x− 2)x+1|，
因为x∈(0, 2)∪( 2,+∞)，所以|x− 2|>0，
所以只要证1> 2−1|x+1|，即证|x+1|> 2−1，
因为x∈(0, 2)∪( 2,+∞)，所以x+1∈(1, 2+1)∪( 2+1,+∞)，
所以|x+1|>1> 2−1，
所以x比y更远离 2；
(3)因为x2+y2≥(x+y)22=2，当且仅当x=y=1时等号成立，
所以|x2+y2−12|=x2+y2−12，从而|y−12|−|x2+y2−12|=|y−12|−(x2+y2−12)，
①y≥12，|y−12|−|x2+y2−12|=y−12−(x2+y2−12)=y−x2−y2
=y−(2−y)2−y2=−2y2+5y−4=−2(y−54)2−78<0，
即|y−12|<|x2+y2−12|；
②y<12时，|y−12|−|x2+y2−12|=(12−y)−(x2+y2−12)=−y−x2−y2+1，
=−y−(2−y)2−y2+1=−2y2+3y−3=−2(y−34)2−158<0，
即|y−12|<|x2+y2−12|，
综上：|y−12|<|x2+y2−12|，即x2+y2比y更远离12．