福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年高一上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年高一上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,又,那么集合P的真子集共有( )
A.3个B.7个C.8个D.9个
2．已知集合,集合,若,则( )
A.B.0C.1D.2
3．下列对应关系:
①,,的平方根;
②,,的倒数;
③,,;
④,,.
其中f是A到B的函数的是( )
A.①③B.②④C.②③D.③④
4．已知实数,则函数的最小值为( )
A.5B.6C.7D.8
5．下列说法正确的是( ).
A.若,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
6．设函数，则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
7．区间是关于x的一元二次不等式的解集,则的最小值是( )
A.B.C.D.
8．已知函数，，若对于任意的实数x，与至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列四个结论中,正确的结论是( )
A.与表示同一个函数.
B.“”的充分不必要条件是“”.
C.已知,,则的取值范围的取值范围是.
D.函数的值域为.
10．下列说法正确的有( )
A.的最小值为2.
B.函数的最小值为2.
C.若x,y为正实数,若,则的最小值为3.
D.设x,y为正实数,若,则的最大值为.
11．对,表示不超过x的最大整数,如,,我们把,叫做取整函数,也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题,其中是真命题有( )
A.,,
B.,,若,则
C.,
D.不等式的解集为
三、填空题
12．若函数的定义域是,则函数的定义域是________.
13．已知函数,若关于x的不等式恰有两个整数解,则实数m的取值范围是________.
四、双空题
14．已知命题,,则p的否定是_________,命题p是_________（填入“真”或“假”）命题.
五、解答题
15．已知全集,集合,
（1）若,求;
（2）若“”是“”充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16．已知,.
（1）若不等式对于一切实数x恒成立,求实数的取值范围;
（2）求不等式的解集.
17．某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目,全年需投入固定成本万元,若该项目在2024年有x万人游客,则需另投入成本万元,且,该游玩项目的每张门票售价为60元.
（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）;
（2）当2024年的游客为多少时,该项目所获利润最大?最大利润是多少.
18．已知函数.
（1）求函数的解析式;
（2）设,若存在使成立,求实数k的取值范围.
19．取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明:对于满足一定条件的图象连续不间断的函数,在其定义域内存在一点,使得,则称为函数的一个“不动点”.若,则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即,,.已知函数.
（1）当时,求函数的不动点;
（2）若对于任意,函数恒有两个相异的不动点,求实数m的取值范围;
（3）若时,且,求实数n的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
又,所以,
所以集合的真子集有:
,,,,,,共7个.
故选B.
2．答案：A
解析：因为,且集合中,
所以集合A中的元素,解得,
又因为,所以,所以或,
若,解得或,
经检验,时,与集合中元素的互异性矛盾,时,满足题意,
若,由上述过程可知,不满足题意;
综上,所以,
故选:A.
3．答案：D
解析：对于①,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是函数.
对于②,集合A中有一个元素0,在B集合中没有对应元素,不是函数.
对于③,集合A中任一元素,都有B中唯一确定的元素与之对应,是函数.
对于④,集合A中任一元素,都有B中唯一确定的元素与之对应,是函数.
故选D.
4．答案：B
解析：实数,
,
当且仅当,即时等号成立,
函数的最小值为6.
故选:B.
5．答案：D
解析：对于A,若,不一定有,如当时,故A错误;
对于B,因为,所以,
又因为,所以,故B错误;
对于C,若,,则不一定成立,
如当,,时,,此时,故C错误;
对于D,,
因为,,所以,
所以,故,故D正确.
故选:D.
6．答案：B
解析：因为，所以，
不等式等价于或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：B
7．答案：A
解析：由题意知a,b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根,
则有,,,所以,且a,b是两个不同的正数,
则有,
当且仅当时,,,等号成立,
故的最小值是.
故选:A.
8．答案：B
解析：当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向上，所以或，
解得或，所以；
当时，，不恒成立，故不符合；
当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合；
综上可得.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于A,的定义域为,与的定义域为相同,
而,解析式相同,故表示同一个函数,故A正确;
对于B,满足的数不一定满足,满足的数一定满足,
故B不符合题意.
对于C:因为,,又,则,
所以,所以,所以的取值范围的取值范围是,故C正确;
对于D,令,则,因为,,
所以,即函数的值域为,故D错误;
故选:AC.
10．答案：CD
解析：对于A,取,得,A错误;
对于B,,
但时,方程无解,所以“=”取不到,最小值不是2,所以B错.
对于C,若为正实数,由,得,
则,
当且仅当,即时取等号,C正确.;
对于D,由,得,
则,解得,当且仅当时取等号,D正确.
故选:CD
11．答案：ABD
解析：对于A,,,,所以A为真命题;
对于B,因为,
所以,,
所以,B为真命题;
对于C,,,所以C为假命题;
对于D,解不等式,
得或,
所以不等式的解集为,D为真命题.
故选:.
12．答案：
解析：由题意可得中,,,
故的定义域为,
故,故,故的定义域为,
故答案为:
13．答案：
解析：由于函数,作出图象如图所示:
由可得:.
当时,,不等式无解;
当时,由得:,
若不等式恰有两个整数解,由于,,,
则整数解为0和1,又,
;
当时,由得:,
若不等式恰有两个整数解,由于,则整数解为和,
又,,,
综上所述:实数m的取值范围为:.
故答案为:.
14．答案：,;假
解析：命题p的否定是：,
当,且不为0时,有,所以命题p是假命题.
故答案为：,;假.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,,
因为,所以;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,即,
当时,,此时,满足,
当时,则,解得:,且和不能同时成立,
综上所述:实数a的取值范围为
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为,
则不等式,可化为,
即对于任意的实数x恒成立,
当时,即时,不等式为,解得,不符合题意;
当时,则满足,解得,
综上可得,实数a的取值范围为.
（2）由不等式,可得,即,
①当时,不等式可化为,解得
当时,方程的解,或,
②当时,,或;
③当时,
（i）当时,即,;
（ii）当时不等式的解集为,
（iii）当时,,,
综上可得:
当时,原不等式的解集为;
当,原不等式的解集为,
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
17．答案：（1）
（2）游客为30万人时利润最大,最大为205万.
解析：（1）依题意,
又,
所以,
即;
（2）当时,单调递增,且当时,
所以,
当时,,
则在上单调递增,所以,
当时,,
当且仅当即时等号成立,故,
,
综上,游客为30万人时利润最大,最大为205万.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,则,又,则;
（2）,又存在使成立,即在上有解,
令,设,易得在单减,则,
即,故实数k的取值范围为.
19．答案：（1）为函数的不动点
（2）
（3）
解析：（1）当时,,
设为不动点,因此,解得或,
所以1,2为函数的不动点.
（2）因为恒有两个不动点,
即恒有两个不等实根,
整理为,
所以且恒成立.
即对于任意,恒成立.
令,,,
故或,又,
.
（3）时,
,有实根,
,
记,则关于x的方程的解为方程组的解x的值,
两式相减可得,
,即要使与有相同的解,
则与的x的解集相同,
所以方程无解或其解与相同,
即无解或其解为,
所以,,
综上,所以实数n的取值范围是.