2024-2025学年宁夏石嘴山一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏石嘴山一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−30，m>0，则b+ma+m>ba
D. 若−10)关于直线y=−2x对称，且过点P(0,8)．
(1)求证：圆C与直线x+2y−16=0相切；
(2)若直线l过点(1,0)与圆C交于A、B两点，且|AB|=4，求此时直线l的方程．
17.(本小题12分)
已知点P(2,2)，圆C：x2+y2−8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
18.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一点，PE⊥AD．
(1)若F是PE中点，证明：BF//平面PCD．
(2)若AB⊥平面PED，求面PAB与面PCD夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A和B(点A在点O、点B之间)，它们到平台O的距离分别为1海里和4海里，记海平面上到两观测站的距离|PA|，|PB|之比为12的点P的轨迹为曲线E，规定曲线E及其内部区域为安全预警区(如图)．
(1)以O为坐标原点，1海里为单位长度，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求曲线E的方程；
(2)海平面上有巡航观察点Q可以在过点B垂直于AB的直线L上运动．
(i)若M为PB的中点，求|PM|+|PQ|的最小值；
(ii)过Q作直线QC，QD与曲线E相切于点C，D.证明：直线CD过定点．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.D
6.D
7.D
8.CD
9.ABD
10.BC
11.AD
12.(x−1)2+(y−1)2=1
13.12
14.4
15.解：(1)由题知，ca= 33,a= 3c,b= 2c，
所以椭圆C为x23c2+y22c2=1，
由点(2,2 33)在椭圆上得43c2+23c2=1，解得c2=2，
故椭圆方程为x26+y24=1；
(2)设P(0,t)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x26+y24=1y=kx+1，得(2+3k2)x2+6kx−9=0，Δ=36k2+36(2+3k2)=144k2+72>0，
所以x1+x2=−6k2+3k2,x1x2=−92+3k2，
所以PB⋅PM=PB⋅(PA+AM)=PB⋅PA+PB⋅AM=PB⋅PA=(x1,y1−t)⋅(x2,y2−t)=x1x2+(kx1+1−t)(kx2+1−t)=(1+k2)x1x2+k(1−t)(x1+x2)+(1−t)2=(1+k2)(−92+3k2)+k(1−t)⋅(−6k2+3k2)+(1−t)2=−9+2(1−t)2+(3t2−12)k22+3k2，
所以3t2−123=−9+2(1−t)22，解得t=14，
所以存在定点P(0,14)，使得PB⋅PM为定值−6316．
16.(1)证明：圆C：x2+y2+ax−by=0化为标准方程，可得(x+a2)2+(y−b2)2=a2+b24．
因为圆C关于直线y=−2x对称，所以b2=−2(−a2)，解得b=2a，
由圆C：x2+y2+ax−by=0过点(0,8)，得82−b×8=0，解得b=8，所以a=12b=4，
圆C方程为C：x2+y2+4x−8y=0，即(x+2)2+(y−4)2=20，圆心坐标为(−2,4)，半径r=2 5．
故点C到直线x+2y−16=0的距离d=|−2+8−16| 5=2 5=r，可知圆C与直线x+2y−16=0相切．
(2)解：设圆心C到直线1的距离为d，则|AB|=2 r2−d2=4，即 20−d2=2，解得d=4(舍负)．
①当直线l过点(1,0)，且斜率不存在时，方程为x=1，
直线x=1与圆C相交截得的弦长等于2 11，不符合题意；
②若直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k(x−1)，即kx−y−k=0，
所以点C(−2,4)到直线l的距离d=|−2k−4−k| k2+1=4，整理得7k2+24k=0，解得k=0或247．
所以直线l的方程为y=0或y=247(x−1)，即y=0或24x−7y−24=0．
综上所述，直线l的方程为y=0或24x−7y−24=0．
17.解：(1)由圆C：x2+y2−8y=0，得x2+(y−4)2=16，
∴圆C的圆心坐标为C(0,4)，半径为4．
设M(x,y)，则CM=(x,y−4)，MP=(2−x,2−y)．
由题意可得：CM⋅MP=0．
即x(2−x)+(y−4)(2−y)=0．
整理得：(x−1)2+(y−3)2=2．
∴M的轨迹方程是(x−1)2+(y−3)2=2．
(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心， 2为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
∵kON=3，∴直线l的斜率为−13．
∴直线l的方程为y−2=−13(x−2)，即x+3y−8=0．
则O到直线l的距离为|−8| 12+32=4 105．
又N到l的距离为|1×1+3×3−8| 10= 105，
∴|PM|=2 2−( 105)2=4 105．
∴S△POM=12×4 105×4 105=165．
18.(1)证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，
因为F是PE中点，所以FM//ED，且FM=12ED，
因为AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，
所以四边形ABCE为平行四边形，BC/​/ED，且BC=12ED，
所以FM/​/BC，且FM=BC，
即四边形BCMF为平行四边形，
所以BF//CM，
因为BF⊄平面PCD，CM⊂平面PCD，
所以BF/​/平面PCD．
(2)解：因为AB⊥平面PED，
所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，
所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,−2)，CD=(−1,2,0)，
设平面PAB的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅AB=x1=0m⋅AP=y1+2z1=0，取z1=−1，则m=(0,2,−1)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅PC=x2−2z2=0n⋅CD=−x2+2y2=0，取z2=1，则n=(2,1,1)，
设平面PAB与平面PCD夹角为θ，
则csθ=m⋅n|m|⋅|n|=2−1 5× 6=1 30= 3030．
19.解：(1)设P(x,y)，则由题意A(1,0)，B(4,0)，
根据题意可知|PA||PB|=12，
∴2|PA|=|PB|，
∴2 (x−1)2+y2= (x−4)2+y2，
故曲线E的方程为：x2+y2=4；
(2)(i)直线L的方程为x=4，
若M为PB的中点，
则|PM|=12|PB|=|PA|，
|PM|+|PQ|=|PA|+|PQ|≥|AQ|≥AB=3，
当A，P，Q三点共线且Q，B重合时，|PM|+|PQ|的最小值为3；
(ii)极点(x0,0)关于圆x2+y2=4的极线为x0x+0y=4，即x=4x0=4，x0=1，
由此猜想：直线CD过定点A(1,0)，
证明如下：
设Q(4,t)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，
切线CQ为x1x+y1y=4，
∵Q(4,t)∈CQ，∴4x1+ty1=4，
同理可得，4x2+ty2=4，
则直线CD的方程为4x+ty=4，
∴CD过定点A(1,0)．