2024-2025学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为( )
A. −1或2B. 0或2C. 2D. −1
2.若直线l：y=kx− 3与直线x+y−3=0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A. {θ|0°<θ<60°}B. {θ|30°<θ<60°}
C. {θ|30°<θ<90°}D. {θ|60°<θ<90°}
3.若圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，且圆心在直线l：3x−y−3=0上，则圆C的方程为( )
A. (x−2)2+(y−3)2=4B. (x−2)2+(y−3)2=8
C. (x−3)2+(y−6)2=2D. (x−3)2+(y−6)2=10
4.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=4相切的直线有( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条
5.已知圆C：x2+y2+2x−2my−4−4m=0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. 5B. 6C. 5−1D. 5+1
6.作圆C：(x−2)2+(y−1)2=25上一点P(−2,4)处的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
7.我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若x2+y2−2x−2=0，则yx+1的取值范围为( )
A. [−2 33,2 33]
B. [− 33, 33]
C. [−2 3,2 3]
D. [− 3, 3]
8.设点P(a,1)，若在圆O：x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则a的取值范围是( )
A. [− 33, 33]B. [− 32, 32]C. [−12,12]D. [−13,13]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知直线l过点P(2,3)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y−5=0
B. 直线 3x−y+1=0的倾斜角为60°
C. a，b∈R，“直线ax+2y−1=0与(a+1)x−2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件
D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为−23
10.已知圆C1：(x−3)2+y2=1，C2：x2+y2=a2(a>0)，则下列结论正确的有( )
A. 若圆C1和圆C2相交，则2B. 若圆C1和圆C2外切，则a=2
C. 当a=52时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D. 当a=3时，圆C1和圆C2相交弦长为 353
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A. 轨迹C的方程为(x+4)2+y2=9
B. 在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|=12
C. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D. 在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1经过点A(3,a)，B(a−2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(−1,a−2)，若l1⊥l2，则a的值为______．
13.已知圆x2+y2+2x−4y+1=0关于直线2ax−by+2=0(a,b∈R)对称，则下列结论正确的是______.(填序号)
①圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心是(−1,2)；②圆x2+y2+2x−4y+1=0的半径是2；③a+b=1；④ab的取值范围是(−∞,14]．
14.已知半径为 2的圆C经过点A(−3,2)，则圆心C到直线l：7x−y+13=0的距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
直线l1：ax+3y−1=0，直线l1的一个方向向量为(−2,6)，直线l2：4x+by−2=0与已知直线2x−y+5=0垂直．
(1)求a，b的值；
(2)已知点P(−1,−3)，求点P到直线l1的距离及点P关于直线l2对称的点的坐标．
16.(本小题15分)
已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4．
(1)若直线l过定点A(1,3)，且与圆C相切，求l的方程；
(2)若圆D的半径为1，圆心在直线m：x+y−4=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
17.(本小题15分)
已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|=|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
18.(本小题17分)
已知直线l：(2λ+1)x+(λ+1)y−7λ−4=0(λ∈R)和以点C为圆心的圆(x−4)2+y2=4．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求λ的值以及最短弦长；
(3)设l恒过定点A，点P满足|PA||PO|= 2，记以点P、O(坐标原点)、A、C为顶点的四边形为Γ，求四边形Γ面积的最大值，并求取得最大值时点P的坐标．
19.(本小题17分)
已知圆O：x2+y2=2与圆C外切，点C在第一象限，直线OC与直线l：x−y−4=0平行，且圆C与直线l相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l′与圆O及直线l从上到下依次交于点A(−1,1)，B，P，当|AP|+|PC|最小时，求|AB|．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.D
6.A
7.D
8.A
9.BCD
10.ABD
11.BC
12.0或5
13.①②③④
14.2 2
15.解：(1)直线l1的一个方向向量为(−2,6)，所以l1的斜率为k1=−3，所以−a3=−3，故a=9．
直线l2：4x+by−2=0与已知直线2x−y+5=0垂直，则4×2+b×(−1)=0，故b=8．
(2)点P到直线l1的距离d=|−9−9−1| 92+32=19 1030，
设过点P与直线l2垂直的直线方程为：2x−y+m=0，故−2+3+m=0，解得m=−1，
故直线方程为2x−y−1=0，
2x−y−1=04x+8y−2=0，解得x=12y=0，故该直线与直线l2的交点坐标为(12,0)，
设对称点的坐标为(x0,y0)，故x0−12=12y0−32=0，解得x0=2y0=3，
故对称点为(2,3)．
16.解：由圆C：(x−3)2+(y−4)2=4得圆心C(3,4)，半径r=2，
(1)设l：y−3=k(x−1)，即kx−y+3−k=0，
所以|3k−4+3−k| k2+1=2，解得k=−34，
所以切线为3x+4y−15=0，
经验证x=1也是圆C的切线，
所以直线l的方程为：3x+4y−15=0或x=1；
(2)设D(a,b)，则a+b−4=0 (a−3)2+(b−4)2=1+2，
解得a=0，b=4；或a=3，b=1，
故所求圆D的方程为x2+(y−4)2=1或(x−3)2+(y−1)2=1．
17.解：(1)圆C：x2+y2+2x−4y+3=0的标准方程为：(x+1)2+(y−2)2=2，其圆心坐标C(−1,2)，半径r= 2，
①当C的切线在x轴和y轴上的截距相等都为0时，设切线方程为y=kx，即kx−y=0，
则圆心到切线的距离d=|−k−2| 1+k2= 2，即k2−4k−2=0，解得k=2± 6，
所以这时切线的方程为：y=(2± 6)x；
②当C的切线在x轴和y轴上的截距相等且不为0时，设切线方程为x+y−a=0，
则圆心到切线的距离d=|−1+2−a| 2= 2，即|a−1|=2，
解得：a=3或a=−1，
所以这时切线的方程为：x+y−3=0或x+y+1=0；
(2)设P(x1,y1)，因为PM是圆C的切线，所以△PMC为直角三角形，
又因为|PM|=|PO|，所以|PM|2=|PO|2=|PC|2−r2，
即x12+y12=(x1+1)2+(y1−2)2−2，整理可得P的轨迹方程是直线l为：2x1−4y1+3=0，
即2x−4y+3=0，
所以|PM|的最小值即是|PO|的最小值，也就是O到直线l：2x−4y+3=0的距离，
所以|PM|min=d=3 22+(−4)2=3 510，
当|PM|最小值时，即是OP⊥l，
所以直线OP的方程为：4x+2y=0即2x+y=0，
联立2x+y=02x−4y+3=0，解得：x=−310，y=35，
所以点P(−310,35).
18.解：(1)证明：将直线/的方程化为λ(2x+y−7)+x+y−4=0，
由2x+y−7=0x+y−4=0，可得x=3y=1，故直线恒过定点A(3,1)．
(2)当AC⊥l时，圆心C(4,0)到直线l的距离达到最大值，
此时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时kAC=1−03−4=−1，
所以直线l的斜率为−2λ+1λ+1=1，解得λ=−23，且|AC|= (1−0)2+(3−4)2= 2，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，且其最小值为2 4−2=2 2．
(3)由(1)可知，点A(3,1)，设点P(x,y)，
则|PA||PO|= (x−3)2+(y−1)2 x2+y2= 2，整理可得(x+3)2+(y+1)2=20，
由(x+3)2+(y+1)2=20，可得(y+1)2≤20，解得−1−2 5≤y≤2 5−1，
又因为点C(4,0)，由下图可知，
当点P的坐标为(−3,−2 5−1)时，点P到x轴的距离最大，
此时，△OPC的面积最大，此时，四边形Γ的面积取最大值，
即四边形Γ的面积S=S△POC+S△OAC=12|OC|⋅|yP|+12|OC|⋅|yA|≤12×4×(2 5+1+1)=4 5+4，

故当点P的坐标为(−3,−2 5−1)时，四边形Γ的面积取最大值，且最大值为4 5+4．
19.解：(1)设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(a>0,b>0,r>0)，则圆心C(a,b)，
因为直线OC与直线l：x−y−4=0平行，则kOC=ba=1，所以b=a①，
又圆O：x2+y2=2与圆C外切，所以 a2+b2=r+ 2②，
因为圆C与直线l相切，所以|a−b−4| 2=r③，
解得r=2 2，所以a=b=3，
则圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=8；
(2)设点C关于直线l的对称点为C′(m,n)，
则n−3m−3=−1m+32−n+32−4=0，解得m=7n=−1，所以C′(7,−1)，
根据对称性可得|PC|=|PC′，
所以|AP|+|PC|=|AP|+|PC′|≥|AC′|，当且仅当A、P、C′三点共线时取等号，
所以直线AC′的斜率为−1−17−(−1)=−14，
所以直线AC′的方程为：y−1=−14(x+1)，即直线l′的方程为x+4y−3=0，
所以圆心O到直线AC′的距离为d=3 12+42=3 1717，
所以|AB|=2 2−d2=10 1717．