北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.10一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】专题特训（学生版+教师版）

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专题2.10 一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10677" 【考点1 一元二次方程】  PAGEREF _Toc10677 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23900" 【题型1 根据一元二次方程的定义求值】  PAGEREF _Toc23900 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15024" 【题型2 根据实际问题列一元二次方程】  PAGEREF _Toc15024 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15024" 【题型3 根据一元二次方程的根代入求值】  PAGEREF _Toc15024 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22346" 【考点2 解一元二次方程】  PAGEREF _Toc22346 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc19305" 【题型4 一元二次方程的解法】  PAGEREF _Toc19305 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc6709" 【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】  PAGEREF _Toc6709 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc20875" 【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】  PAGEREF _Toc20875 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc4299" 【题型7 配方法的应用】  PAGEREF _Toc4299 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc29168" 【考点3 实际问题与一元二次方程】  PAGEREF _Toc29168 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc17859" 【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】  PAGEREF _Toc17859 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc10417" 【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】  PAGEREF _Toc10417 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc22565" 【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】  PAGEREF _Toc22565 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc9919" 【题型11 列一元二次方程解决销售利润问题】  PAGEREF _Toc9919 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc13053" 【题型12 一元二次方程与动点综合应用】  PAGEREF _Toc13053 \h 12【考点1 一元二次方程】（1）一元二次方程的定义等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程。（2） 一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。（3）一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据。【题型1 根据一元二次方程的定义求值】【例1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程a+5x2+4ax+a2−25=0有一个根为0，则a= ．【变式1-1】（23-24九年级·云南曲靖·期中）关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，则（     ）A．a>0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0【变式1-2】（23-24九年级·广西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ）A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2+x=1 D．x2+1x=1【变式1-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）若方程m+2xm2−2+m−1x−2=0是关于x的一元二次方程，则m= ．【题型2 根据实际问题列一元二次方程】【例2】（23-24九年级·贵州贵阳·期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步?利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ，化为一般形式 ．【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ．【变式2-2】（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ．【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2023千克．已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率．若设：出油率的增长率为x，则根据题意，可列方程为： ．【题型3 根据一元二次方程的根代入求值】【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）已知a是方程x2−2x−2024=0的根，则代数式2a2−4a−2的值为 .【变式3-1】（2024·北京东城·模拟预测）若x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，则6a−2b+2023的值为 ．【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程x2+x−1012=0的一个根，则2024−2m2−2m的值是 ．【变式3-3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，恰有一个公共实数根，则a2bc+b2ca+c2ab的值为 ．【考点2 解一元二次方程】（1） 直接开平方法解一元二次方程如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=a,x2=-a、直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。（2）配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。①把常数项移到等号的右边； ②方程两边都除以二次项系数；③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。（3） 公式法解一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=−b±b2−4ac2a，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。（4）一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac、一元二次方程根的判别式：△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 （5） 因式分解法解一元二次方程把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；④解一元一次方程即可的到原方程的解。（6） 一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q;若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2则有x1+x2=-pa , x1x2=ca.【题型4 一元二次方程的解法】【例4】（23-24九年级·北京·期中）方程x2−8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ．【变式4-1】（23-24九年级·广西崇左·期中）用适当的方法解下列方程(1)x2+5x=0(2)x2−2x+1=0(3)y+12+2y+1=3(4)2x2−5x+3=0【变式4-2】（23-24九年级·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b=a2−b2，根据这个规则，方程x−3#5=0的解为 ．【变式4-3】（2024·北京东城·模拟预测）如果x=5是关于x的一元二次方程x−mx−4+m=n的一个根，那么关于x的一元二次方程x+m−1x+3−m=n的解为（    ）A．x1=−4,x2=2 B．x1=−2,x2=4 C．x1=−1,x2=3 D．x1=−3,x2=1【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】【例5-1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的一元二次方程m−12x2+2m−1x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）A．m>34 B．m>34且m≠1 C．m≥34 D．m≥34且m≠1【例5-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程mx2−3m−1x+2m−3=0（m为实数）(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数m，n定义一种新运算：m★n=mm−n，若关于x的方程x★2=k（k为整数）有两个相等的实数根，则k的值为 ．【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−m−1x−3m+6=0．(1)利用判别式判断方程实数根的情况；(2)若该方程只有一个根小于2，求m的取值范围．【变式5-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（    ）A．若﹣1＜a＜0，则ka>kb B．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则kaβ是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，sn=αn+βn，根据根的定义，有α2−α−1=0，β2−β−1=0，将两式相加，得α2+β2−α+β−2=0，于是，得s2−s1−2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想sn，sn−1，sn−2之间满足的数量关系，并给出证明．【变式6-2】（23-24九年级·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足a2−a=3，b2−b=3，则代数式a3+ab+4b的值为 ．【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程x2+bx+c=0（x为实数），请你解答下列问题：(1)若b=2,c=−1，解此方程；(2)若b−c=1，求证：此方程至少有一个实数根；(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为x1,x2．若c=2，求证：x12+x22>4．【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的两根之和x1+x2与两根之积，x1⋅x2分别是另一个一元二次方程a2x2+b2x+c2=0的两个根，则一元二次方程a2x2+b2x+c2=0称为一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的“再生韦达方程”，一元二次方程a1x2+b1x+c1=0称为“原生方程”．比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x1=3,x2=−1，则x1+x2=2,x1⋅x2=−3，所以它的“再生韦达方程”为x2+x−6=0．(1)已知一元二次方程x2−5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；(2)已知“再生韦达方程”x2+x−30=0，求它的“原生方程”．【题型7 配方法的应用】【例7-1】（23-24九年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：x2+2x+2=x2+2x+1−1+2=x+12+1≥1，所以x+2x+2的最小值为1，此时x=−1．(1)尝试：①2x2−4x+5=2x2−2x+1−1+5=2x−12+3，因此当x= 时，代数式2x2−4x+5有最小值，最小值是 ；②−x2−2x=−x2−2x−1+1=−x+12+1≤1，所以当x= 时，代数式−x2−2x有最 （填“大”或“小”）值．(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【例7-2】（23-24九年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】：（1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)；①10      ②24     ③34    ④60【探究问题】：（2）若y=x2−4x+13可配方成y=(x−m)2+n2 (m，n为常数)，则mn的值为_____；（3）已知S=a2+4ab+5b2−2b+k (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；【拓展应用】：（4）已知实数x，y均满足x−y2=3，求代数式x2+2y2−4x+2032的最小值．【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则a,b,c之间的大小关系是（    ）A．a0，由一元二次方程的定义可得m≠0，由此即可求得m的取值范围；（2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．【详解】（1）解：Δ=b2−4ac=−3m−12−4m2m−3=m−32，∵方程有两个不相等的实数根，∴m−32>0且m≠0，∴m≠3且m≠0，∴m的取值范围是m≠3且m≠0；（2）解：由求根公式得x=−b±b2−4ac2a=3m−1±m−32m，∴x1=3m−3+m−32m=2m−3m=2−3m，x2=3m−3−m+32m=1，∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1 ．【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数m，n定义一种新运算：m★n=mm−n，若关于x的方程x★2=k（k为整数）有两个相等的实数根，则k的值为 ．【答案】−1【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得xx−2=k，即得x2−2x−k=0，再根据Δ=0即可求解，理解新定义运算是解题的关键．【详解】解：∵m★n=mm−n，∴x★2=xx−2=k，整理得，x2−2x−k=0，∵关于x的方程x2−2x−k=0有两个相等的实数根，∴Δ=−22−4×1×−k=0，解得k=−1，故答案为：−1．【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−m−1x−3m+6=0．(1)利用判别式判断方程实数根的情况；(2)若该方程只有一个根小于2，求m的取值范围．【答案】(1)方程有两个实数根(2)m≥0【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式．（1）根据根的判别式可得出Δ， 利用偶次方的非负性即可判断；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1=−3,x2=m+2，结合该方程只有一个根小于 2可得出m+2≥2，解之即可得出m的取值范围．【详解】（1）解：b2−4ac=(m−1)2−4(−3m−6)=(m+5)2≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：x2−m−1x−3m+6=0，故(x+3)(x−m−2)=0，∴x+3=0,x−m−2=0，解得，x=m+2或x=−3，∵方程只有一个根小于2 ，∴m+2≥2，解得：m≥0．【变式5-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（    ）A．若﹣1＜a＜0，则ka>kb B．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka0，即−1a(a−1)>0， ∴a（a-1）0a−14．【答案】(1)x1=−1+2,x2=−1−2(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．（1）将b=2,c=−1代入x2+bx+c=0，利用配方法求解方程即可；（2）利用一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac=b2−4c，结合b−c=1，得到Δ=b2−4b+4=b−22，根据b−22≥0，即可证明；（3）根据题意原方程为x2+bx+2=0，由一元二次方程根与系数的关系的到x1+x2=−b,x1x2=2，再根据完全平方公式变形得到x12+x22=x1+x22−2x1x2，从而得到x12+x22=b2−4，根据根的判别式得到b2−8>0即可证明结论．【详解】（1）解：∵ b=2,c=−1，∴原方程为x2+2x−1=0，∴x+12=2解得：x1=−1+2,x2=−1−2；（2）证明：x2+bx+c=0中，∴ Δ=b2−4ac=b2−4c，∵ b−c=1，∴ Δ=b2−4b+4=b−22，∵ b−22≥0，∴ Δ≥0，∴此方程至少有一个实数根；（3）证明：根据题意原方程为x2+bx+2=0，且方程有两个不相等的实数根分别为x1,x2，∴ x1+x2=−b,x1x2=2，Δ=b2−8>0∵ x12+x22=x1+x22−2x1x2，∴ x12+x22=b2−4，∴ b2−8+4>0+4即b2−4>0，∴ x12+x22>4．【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的两根之和x1+x2与两根之积，x1⋅x2分别是另一个一元二次方程a2x2+b2x+c2=0的两个根，则一元二次方程a2x2+b2x+c2=0称为一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的“再生韦达方程”，一元二次方程a1x2+b1x+c1=0称为“原生方程”．比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x1=3,x2=−1，则x1+x2=2,x1⋅x2=−3，所以它的“再生韦达方程”为x2+x−6=0．(1)已知一元二次方程x2−5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；(2)已知“再生韦达方程”x2+x−30=0，求它的“原生方程”．【答案】(1)x2−11x+30=0(2)y2+6y+5=0或y2−5y−6=0【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=5,x1⋅x2=6，然后根据新定义求解即可；（2）令它的“原生方程”两根分别为y1,y2，根据题意得出y1+y2=−6,y1⋅y2=5，或y1+y2=5,y1⋅y2=−6，然后求解即可．【详解】（1）解：解x2−5x+6=0得x1=2,x2=3，则x1+x2=5,x1⋅x2=6，      所以一元二次方程x2−5x+6=0的“再生韦达方程”为x2−(5+6)x+5×6=0，即x2−11x+30=0；（2）解x2+x−30=0得x1=−6,x2=5，令它的“原生方程”两根分别为y1,y2，则y1+y2=−6,y1⋅y2=5，或y1+y2=5,y1⋅y2=−6．当y1+y2=−6,y1⋅y2=5，则所求“原生方程”为y2+6y+5=0；          当y1+y2=5,y1⋅y2=−6，则所求“原生方程”为y2−5y−6=0．综上所述，它的“原生方程”为y2+6y+5=0或y2−5y−6=0．【题型7 配方法的应用】【例7-1】（23-24九年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：x2+2x+2=x2+2x+1−1+2=x+12+1≥1，所以x+2x+2的最小值为1，此时x=−1．(1)尝试：①2x2−4x+5=2x2−2x+1−1+5=2x−12+3，因此当x= 时，代数式2x2−4x+5有最小值，最小值是 ；②−x2−2x=−x2−2x−1+1=−x+12+1≤1，所以当x= 时，代数式−x2−2x有最 （填“大”或“小”）值．(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)①1，3；②−1，大；(2)当AB为92米，BC为9米时，面积最大为812平方米．【分析】（1）①根据配方后的结果即可求解；②根据配方后的结果即可求解；（2）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为18−2xm，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解；本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键．【详解】（1）解：①∵2x2−4x+5=2x−12+3， ∴当x=1时，代数式2x2−4x+5有最小值，最小值为3，故答案为：1，3；②∵−x2−2x=−x+12+1≤1，∴当x=−1时，代数式−x2−2x有最大值，故答案为：−1，大；（2）解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为18−2xm，根据题意得，S=x18−2x=−2x2+18x=−2x−922+812，当x=92时，S有最大值，最大值为812，∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长92m时，能使花圃面积最大，最大面积是812m2．【例7-2】（23-24九年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】：（1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)；①10      ②24     ③34    ④60【探究问题】：（2）若y=x2−4x+13可配方成y=(x−m)2+n2 (m，n为常数)，则mn的值为_____；（3）已知S=a2+4ab+5b2−2b+k (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；【拓展应用】：（4）已知实数x，y均满足x−y2=3，求代数式x2+2y2−4x+2032的最小值．【答案】（1）①③；（2）±6；（3）k=1，理由见解析；（4）2029【分析】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义是解题的关键．（1）根据“完美数”的定义，判断各数是否能写成a2＋b2的形式即可；（2）通过配方将y=x2−4x+13变形，求出m和n的值，代入求解即可；（3）通过配方将S=a2+4ab+5b2−2b+k变形为S=a+2b2+(b−1)2+k−1，对照“完美数”的定义即可求解；（4）通过配方将x2+2y2−4x+2032变形为(x−1)2+2025，根据x−y2=3求出x的取值范围，根据增减性即可求解【详解】解：（1）10=12+32，34=32+52，24和60不能写成a2+b2的形式，∴10和34是“完美数”， 24和60不是“完美数”，故答案为：①③；（2）y=x2−4x+13=x2−4x+4+9=x−22+32，∴ m=2，n=±3，∴ mn=±6，故答案为：±6；（3）当k=1时，S是“完美数”，理由如下：S=a2+4ab+5b2−2b+k=a2+4ab+4b2+b2−2b+1+k−1=a+2b2+(b−1)2+k−1，当k=1时，S=a+2b2+(b−1)2，∵a，b是整数，∴a+2b和b−1也是整数，∴当k=1时，S是“完美数”；（4）解：∵x−y2=3，∴y2=x−3，                                                       ∴原式=x2+2(x−3)−4x+2032=x2+2x−6−4x+2032=x2−2x+2026=(x−1)2+2025，                                                       ……又∵y2=x−3≥0，∴x≥3，∵1>0，∴当x≥3时，原式的值随着x的增大而增大，∴当x=3时，原式取最小值，最小值为：(3−1)2+2025=2029．【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则a,b,c之间的大小关系是（    ）A．a