北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.8一元二次方程章末拔尖卷专题特训(原卷版+解析)

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第2章 一元二次方程章末拔尖卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（    ）A．x2−3x−1=0 B．2x2−5x+2=0C．x2−4x+4=0 D．4x−1x+3=−52．（3分）（2023春·山东威海·九年级统考期中）关于x的一元二次方程x2+ax−6=0的解为x1=2，x2=b，则代数式2a+b2023的值为（    ）A．1 B．0 C．−1 D．520233．（3分）（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是x=m，则方程x2+bx+a=0有一个根是（ ）A．x=m B．x=−m C．x=1m D．x=1−m4．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）方程x2+4x−5=0的解是x1=1,x2=−5，现给出另一个方程(2x−1)2+4(2x−1)−5=0，它的解是（    ）A．x1=1,x2=2 B．x1=1,x2=−2 C．x1=−1,x2=2 D．x1=−1,x2=−25．（3分）（2023春·山西晋城·九年级校考期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（    ）．A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．（3分）（2023春·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期末）已知x=a是方程x2+3x−1=0的一个根，则代数式a2+3a+3的值应在（    ）A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间7．（3分）（2023春·河南郑州·九年级统考期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为816m2，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（    ）A．1200−80x+60x−4x2=816 B．40−x30−x=816C．40−2x30−2x=816 D．80x+2x30−2x=1200−8168．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程：x2−2x−a=0，有下列结论：①当a>−1时，方程有两个不相等的实根；②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a>−1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+12上，点Q(12a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（　　）A．342 B．24 C．12 D．6410．（3分）（2023·浙江杭州·九年级）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足a2012−c2012a2012−d2012=2012，b2012−c2012b2012−d2012=2012，则(ab)2012−(cd)2012的值为（    ）A．−2012 B．−2011 C．2012 D．2011二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·甘肃酒泉·九年级校考期中）若关于x的方程(k−1)x|k|+1−4x+5=0是一元二次方程，则k= ．12．（3分）（2023春·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）已知x1,x2是一元二次方程4kx2−4kx+k+1=0的两个实数根，则使x1x2+x2x1−2的值为整数的实数k的整数值为 .13．（3分）（2023春·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2−13x+40=0的根，则此三角形的周长为 ．14．（3分）（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两实数根分别为x1、x2，且x1−2x2=1，则m的值为 ．15．（3分）（2023春·上海杨浦·九年级校考期中）已知x为实数，若x2+1x2−5x+1x+8=0，那么x+1x的值为 ．16．（3分）（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期中）对于实数a、b，定义运算“*”； a∗b=a2−aba≤bb2−aba>b，关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·河北保定·九年级统考期中）解方程：(1)2x2−5x−3=0(2)x+22=3x+6(3)x−23x−5=1(4)5x2=4x18．（6分）（2023春·北京石景山·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+2k−1=0．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．19．（8分）（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．(1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：b=______；c=______；d=____；(2)按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为_______________；(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．20．（8分）（2023春·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请判断方程x2−6x+8=0是不是倍根方程，并说明理由；(2)若是x−8x−n=0倍根方程，则n=___________．21．（8分）（2023春·河南·九年级校联考期末）第22届世界杯足球赛已于2022年11月20日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在2022年9月份售出20个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到了180个．(1)求“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率；(2)若每个“拉伊卜”的进价为40元，原售价为70元，该超市计划在2022年12月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价1元，销售量可在11月份的基础上增加10个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元？22．（8分）（2023春·广西梧州·九年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．(1)填空：BQ=___________cm，PB= ___________cm；（用含t的代数式表示）(2)当t为几秒时，PQ的长度等于8cm？(3)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的23？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，23．（8分）（2023春·河南周口·九年级统考期末）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba,x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_________，x1x2= _________．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1s+1t的值．第2章 一元二次方程章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（    ）A．x2−3x−1=0 B．2x2−5x+2=0C．x2−4x+4=0 D．4x−1x+3=−5【答案】C【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】解：A.在x2−3x−1=0中，Δ=−32−4×1×−1=9+4=13>0，所以该方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；B.在2x2−5x+2=0中，Δ=−52−4×2×2=25−16=9>0，所以该方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；C.在x2−4x+4=0中，Δ=−42−4×1×4=16−16=0，所以该方程有两个相等的实数根，故C符合题意；D.将4x−1x+3=−5整理得：4x2+8x−7=0，Δ=82−4×4×−7=64+112=176>0，所以该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ−1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a>0时，两根之积=−a−1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当a>3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．9．（3分）（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+12上，点Q(12a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（　　）A．342 B．24 C．12 D．64【答案】A【分析】先利用根判别式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上， EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，∵点Q（12a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，∵点Q（12a，b）在直线y＝﹣x+12的下方，∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，∵OE＝24，OF＝22，∴EF＝324，∴PQ的最小值为324．故选：A．【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式△与根的关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△−1和2x2+2x−t−3=0x≤−1都必须有解，∴−t−2≥02t+7≥0，∴−72≤t≤−2，（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2x>−1只有一个根x=0，∵当t=−2时，2t+7=3，∴−1+32>0，−1−32