江苏省连云港海宁中学2024-2025学年初中九上数学第一次月考试题【含答案】

这是一份江苏省连云港海宁中学2024-2025学年初中九上数学第一次月考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，已知点P，已知，关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1．已知任意实数满足等式x＝a2﹣4ab+4b2，y＝4a﹣8b﹣5，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝yB．x＞yC．x＜yD．x≥y
2．一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（ ）
A．12B．16C．20D．24
3．在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2）、Q（m，n2﹣1），其中m≥0，则下列函数的图象可能同时经过P、Q两点的是（ ）
A．y＝2x+bB．y＝ax2+2ax+c（a＞0）
C．y＝ax+2（a＞0）D．y＝﹣x2﹣2x+c（c＞0）
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：
①abc＞0；
②a+c＞b；
③2a+3b＞0；
④a+b＞am2+bm（m≠1）；
⑤c＜﹣2a，
上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象，当△BEF的面积为10cm2时，运动时间t为（ ）
A．sB．4s或sC．5sD．3s或7s
6．已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（ ）
A．a＝﹣3，b＝1B．a＝3，b＝1
C．，b＝﹣1D．，b＝1
7．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（ ）
A．k≥﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠1D．k＞2且k≠1
8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0B．b＝2aC．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0
二．填空题（共7小题）
9．已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 ．
10．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不等的实根，则m的取值范围是 ．
11．已知关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，则该方程的根是 ．
12．当m＝ 时，关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0有两个相等的实数根．
13．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝1，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根为 ．
14．如图，二次函数y＝a（x﹣1）2的图象经过点A（﹣1，4），与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线x＝1上的动点，当四边形ABCD的周长最小时，则点D的坐标为 ．
15．抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题）
16．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
17．我们在求代数式y2+4y+8的最小值时，可以考虑用如下法求得：
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
请用上面的方法解决下面的问题：
（1）代数式m2+10m﹣6的最小值为 ；
（2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为24m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），
①AB的取值范围是 ；
②当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
18．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售 件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3072元？
19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．
20．已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．
21．某数学兴趣小组研究函数y＝|x﹣1|的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当x≥1时，y＝x﹣1；当x＜1时，y＝1﹣x．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似的，研究函数y＝x|x﹣2|的图象时，他们已经画出了x≤2时的图象．
（1）请你用描点法补全此函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小？
（3）当0≤x≤a时，y的最大值是1，最小值是0，请你直接写出a的取值范围．
22．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C；
（1）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝a（x+h）2+k的形式；
（2）观察图象，当0≤x＜4时，y的取值范围为 ；
（3）设二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的顶点为M，求△ACM的面积．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知A（﹣2，0），B（4，0），点Q为射线OB上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线BC于点D、E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接CD、AC，是否存在△CDE与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△PAO＝2S△PCO，求出P点的坐标；
（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵x﹣y
＝a2﹣4ab+4b2﹣（4a﹣8b﹣5）
＝（a﹣2b）2﹣4（a﹣2b）+4+1
＝[（a﹣2b）﹣2]2+1，
∴[（a﹣2b）﹣2]2+1＞0，
∴x＞y．
故选：B．
2．【解答】解：当a＝12时，方程为x2﹣8x﹣12＝0，解得不是整数，故A选项不符合题意；
当a＝16时，方程为x2﹣8x﹣16＝0，解得不是整数，故B选项不符合题意；
当a＝20时，方程为x2﹣8x﹣20＝0，解得x＝10或x＝﹣2是整数，故C选项符合题意；
当a＝24时，方程为x2﹣8x﹣24＝0，解得不是整数，故D选项不符合题意；
解法二：x＝4±，
由选项可知，a＝20，符合题意．
故选：C．
3．【解答】解：∵m＞0，
∴m﹣1＜m，
∵n2＞n2﹣1，
∴当m＞0时，y随x的增大而减小，
A、y＝2x+b中，y随x的增大而增大，故A不可能；
B、y＝ax2+2ax+c（a＞0）中，开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大故B不可能；
C、y＝ax+2 中，a＞0，y随x的增大而增大，故C不可能；
D、y＝﹣x2﹣2x+c中，开口向下，对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故D有可能，
故选：D．
4．【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确，
∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＝0，
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
故②不正确，
∵b＝﹣2a，
∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0，
故③正确，
∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0），
∴a+b＞am2+bm，
故④正确，
由上知，
a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a＞﹣2a，
故⑤不正确，
∴③④正确，
故选：B．
5．【解答】解：由图1、图2可知，当t＝6时，点F与点C重合；
当6＜t≤10时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动4s，
∵四边形ABCD是平行四边形，点F、点E的速度都是1cm/s，
∴CD＝AB＝1×10＝10（cm），BC＝1×6＝6（cm），
∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，
∴BD＝＝＝8（cm），
当0＜t≤6时，如图3，作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝∠CBD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠GBF＝∠C，
∴△BGF∽△CBD，
∴＝，
∴GF＝•BF＝×t＝t（cm），
∴S＝×t（10﹣t）＝﹣t2+4t，
当S＝10时，则﹣t2+4t＝10，
解得t1＝t2＝5；
当6＜t≤10时，如图4，作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵CD•CH＝BC•BD＝S△CBD，
∴×10CH＝×6×8，
解得CH＝，
∴S＝×（10﹣t）＝﹣t+24，
当S＝10时，则﹣t+24＝10，
解得t＝，不符合题意，舍去，
综上所述，运动时间t为5s，
故选：C．
6．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，
∵x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴﹣2a＝3，b＝1，
即a＝﹣，b＝1，
故选：D．
7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜2且k≠1．
故选：C．
8．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A、B错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，
故选：D．
二．填空题（共7小题）
9．【解答】解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0
∴（y﹣8）（y+2）＝0，
解得：y1＝8，y2＝﹣2，
即 a2+b2＝8或 a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝8．
故答案为：8．
10．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，
解得m＜3且m≠2．
故答案为m＜3且m≠2．
11．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，
∴该方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝1，x2＝﹣2．
12．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣m）＝36+4m＝0，
解得：m＝﹣9．
故答案为：﹣9．
13．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt﹣1＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝1，
所以at2+bt﹣1＝0有一个根为t＝1，
则x﹣1＝1，
解得x＝2，
所以a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根为x＝2．
故答案为：x＝2．
14．【解答】解：作点A关于对称轴x＝1的对称点E，则E（3，4），作点B关于x轴的对称点F，
连接EF交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形ABCD的周长取得最小值，
将点A（﹣1，4）代入y＝a（x﹣1）2得4a＝4，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，
∴点B坐标为（0，1），
则点F（0，﹣1），
设CD所在直线解析式为y＝mx+n，
将E（3，4），F（0，﹣1）代入得，
解得，
所以CD所在直线解析式为y＝x﹣1．
当x＝1时，y＝，
∴D（1，）．
故答案为：（1，）．
15．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴当4≤x＜5时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y＝﹣3，
x＝5时，y＝5a﹣3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，
∴﹣1≤5a﹣3≤0，
∴；
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
16．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，
解得：m＞﹣2；
（2）根据根与系数的关系可得：
x1+x2＝2（m+1），
∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，
∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，
解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）
∵m＞﹣2；
∴m＝1．
17．【解答】解：（1）m2+10m﹣6
＝m2+5m+25﹣25﹣6
＝（m+5）2﹣31，
∵（m+5）2≥0，
∴（m+5）2﹣31≥﹣31，
∴m2+10m﹣6的最小值是﹣31，
故答案为：﹣31；
（2）①设AB＝x m，则BC＝（24﹣2x）m，
∵墙长15m，
∴0＜24﹣2x≤15，
解得≤x＜12，
∴AB的取值范围是≤x＜12．
故答案为：≤x＜12；
②设花园的面积为S，
由题意得：S＝x（24﹣2x）
＝﹣2x2+24x
＝﹣2（x2﹣12x）
＝﹣2（x2﹣12x+36﹣36）
＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵﹣2（x﹣6）2≤0，
∴﹣2（x﹣6）2+72≤72，
∴当x＝6时，S最大＝72，
答：当x＝6时，花园的面积最大，最大面积是72平方米．
18．【解答】解：（1）40+2×（60﹣50）＝60（件）．
故答案为：60．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（60﹣x）元，平均每天可售出（40+2x）件，
依题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3072，
整理得：x2﹣40x+336＝0，
解得：x1＝12，x2＝28，
又∵要尽快减少库存，
∴x＝28．
答：每件商品应降价28元．
19．【解答】解：（1）将x＝2代入方程x2+ax+a﹣1＝0得，4+2a+a﹣1＝0，
解得，a＝﹣1；
方程为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
即方程的另一根为1；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有实数根．
20．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝+2；
（2）过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，如图，
∵线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，
∴∠FPE＝90°，PF＝PE
∴∠FPA+∠EPA＝90°．
∵作PA⊥x轴，PB⊥y轴，OF⊥OE，
∴四边形APBO为矩形，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPF+∠FPA＝90°，
∴∠FPB＝∠EPA．
在△BPF和△APE中，
，
∴△BPF≌△APE（AAS），
∴PB＝PA．
∴点P的横纵坐标相等，
设P（m，m），
∵点P为二次函数图象上一点，
∴2＝m，
解得：m1＝m2＝4，
∴点P的坐标为（4，4）．
21．【解答】解：（1）当x≥2时，
y＝x|x﹣2|＝y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
∴当x＝2时，y＝0，当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝8，
补全此函数的图象如下：
（2）根据图象，当1＜x＜2时，y随着x的增大而减小；
（3）当y＝1时，x2﹣2x＝1，
解得x＝+1或﹣+1（舍去），
∴a的取值范围为1≤a≤．
22．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）由（1）知，二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），
在将x＝4代入二次函数解析式中的y＝5．
当0≤x≤4时，y 的取值范围为：﹣4≤y＜5．
故答案为：﹣4≤y＜5；
（3）由（1）知，二次函数的顶点坐标为M（1，﹣4），
由二次函数图象与x轴交于点B，
所以x2﹣2x﹣3＝0，得到点A（﹣1，0），
由二次函数图象与y轴交于点C，
所以点C（0，﹣3），
所以三角形ACM的面积＝×2×4﹣×（1+4）×1﹣×1×1＝1．
23．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝y＝﹣x2+x+4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4①；
（2）存在，理由：
过点C作直线l∥y轴交抛物线于点R，设∠ECR＝α，
则∠RCE＝CBO＝45°，即∠DCE＝45°+α，
由OB＝OC＝4知，∠OCB＝∠OCB＝45°，
∵QD∥y轴，则∠DEC＝∠OCB＝∠ABC＝45°，
∵△CDE与△ABC相似，
则∠DCE＝∠ACB或∠CAB；
①∠DCE＝∠ACB时，
∵∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠ACO+45°，∠DCE＝45°+α，
∴∠ACO＝α，
∴tan∠ACO＝＝tanα，
故直线CD的表达式为：y＝x+4②，
联立①②得：﹣x2+x+4＝x+4，
解得：x＝0（舍去）或1，
即点D（1，4.5），
则点Q（1，0）；
②∠DCE＝∠CAB时，
延长DC交x轴于点H，则∠CHO＝∠DCE＝α，
∵∠OAC＝∠ACH+∠AHC＝α+∠ACH，∠DCE＝45°+α，
∴∠ACH＝45°，
在△ACH中，过点H作AC的垂线交CA的延长线于点M，
∵tan∠HAM＝tan∠CAO＝＝2，
设AM＝m，则HM＝2m，
在等腰Rt△CMH中，HM＝CM，
即2m＝m+，
解得：m＝2，
在Rt△AMH中，AH＝＝m＝10，
即点H（﹣12，0），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：y＝x+4③，
联立①③得：﹣x2+x+4＝x+4，
解得：x＝0（舍去）或，
则点Q（，0）
综上，点Q的坐标为：（，0）或（1，0）；
（3）存在，理由：
设点D的坐标为（m，﹣m2+m+4），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣（m+4）（x+2），则点G（0，﹣m﹣4），
同理可得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，则点E（m，﹣m+4），
当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则CG＝DE，
即4+m+4＝|﹣m2+m+4+m﹣4|，
解得：m＝2或6，
即点D（2，4）或D（6，﹣8）．
24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3）
∴OA＝OC＝3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3）
∵S△PAO＝2S△PCO，
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|＝2××3×|x|，
∴x＝±或x＝﹣2±，
∴点P（，﹣2）或（﹣，2）或（﹣2+，﹣4+2）或（﹣2﹣，﹣4﹣2）；
（3）若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形，
∴CF∥BE，
∴点F与点C纵坐标相等，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴点F（﹣2，3）
若BC为边，且四边形BCEF是平行四边形，
∴BE与CF互相平分，
∵BE中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，
∴点F的纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣x2﹣2x+3
∴x＝﹣1±，
∴点F（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；
若BC为对角线，则四边形BECF是平行四边形，
∴BC与EF互相平分，
∵BC中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，
∴点F的纵坐标为3，
∴点F（﹣2，3），
综上所述，点F坐标（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．