2023北京北师大实验中学高二（上）期中数学试卷（教师版）

这是一份2023北京北师大实验中学高二（上）期中数学试卷（教师版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
班级______姓名______学号______成绩______
第Ⅰ卷（共100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．如图，分别是长方体的棱的中点，则等于（ ）
（A）（B）（C）（D）
2．直线的倾斜角是（ ）
（A）（B）（C）（D）
3．若抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
4．如图，已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点．则与分别等于（ ）
（A）和（B）和（C）和（D）和
5．设椭圆的两个焦点为，过点的直线交椭圆于两点，如果，那么的值为（ ）
（A）2（B）10（C）12（D）14
6．抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为（ ）
（A）（B）1（C）2（D）4
7．若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
8．如图，在正方体中，点为棱的中点，点为面内一点，，则（ ）
（A）（B）
（C）（D）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．若经过点的直线与直线垂直，则______．
10．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则______．
11．已知两圆和相交，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为______．
12．设分别是空间两直线的方向向量，则直线所成角的大小为______．
13．已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则直线的方程为______．
14．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为______．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15．（本小题满分10分）
已知的三个顶点，求经过两边和的中点的直线的方程．
16．（本小题满分10分）
已知直线与圆．
（Ⅰ）若直线与圆相切，求实数的值；
（П）当时，直线与圆交于点，设为原点，求的面积．
17．（本小题满分10分）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（П）求平面与平面所成的角的余弦值．
第П卷（共50分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
18．在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则______．
19．已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于两点．若点是线段的中点，则双曲线的离心率为______．
20．如图，在长方体中，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是______．
21．在平面直角坐标系中，到两个点和的距离之积等于4的轨迹记作曲线，对于曲线及其上一点，有下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线上有且仅有一点，满足；
③曲线上所有的点的横坐标，纵坐标；
④的取值范围是．
其中，所有正确结论的序号是______．
五、解答题（本大题共3小题，共34分）
22．（本小题满分12分）如图，直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，点在棱上
（Ⅰ）求证：；
（П）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得平面，并给出证明．
条件①：为的中点；
条件②：平面；
条件③：．
（Ⅲ）若为的中点，且点到平面的距离为1，求的长度．
23．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（П）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
24．（本小题满分10分）
个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
（Ⅰ）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（П）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（Ⅲ）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
参考答案
第Ⅰ卷（共100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D2．D3．C4．A
5．C6．B7．A8．A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
9．10．111．12．
13．
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
15．（本小题满分13分）
解：设和的中点分别为，
因为，所以
（或求一点，斜率）所以直线的方程为：，
整理得：，
经过两边和的中点的直线的方程为．
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）．
（П）当时直线，
点到直线的距离为．求得，
原点到直线的距离为，的面积为．
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥的底面是矩形，
所以，又因为平面平面，
所以平面
（П）解：以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
为的中点．
，
，
设平面的法向量为，
即
令，则
平面的法向量为，
，
平面与平面所成的角的余弦值．
第П卷（共50分）
四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
18．219．20．
五、解答题（本大题共3小题，共35分）
22．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）连结．
由直四棱柱知，平面，
又平面，所以．
因为为正方形，所以．又，
所以平面．
又平面，所以．
（П）选条件①、条件③，可使平面．证明如下：设，连结．
又分别是的中点，所以．
因为，所以．
由（Ⅰ）知平面，所以．
又，所以平面．
（П）选条件②、条件③，可使平面．证明如下：
设，连结．
因为平面平面，平面平面，所以．
因为，所以．
由（Ⅰ）知平面，所以．
又，所以平面．
（Ⅲ）设．
因为两两垂直，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以．
设平面的法向量为，则即
令，则，于是．
点到平面的距离为
则，解得，所以．
23．（本小题满分12分）
解：依题意可得：．解得．
所以椭圆的方程为．
（П）为定值1，理由如下：
由，显然斜率存在，，
当时，．
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．
由得．
显然．
设，则．
则中点．直线的方程为，
由得，所以为线段的中点，所以．综上为定值1．
24．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）．
（П）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
不妨设，
有7个分量为
设的前7个分量中有个-1，则后7个分量中有个
，矛盾
不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（Ⅲ）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，则
设的第个分量之和为，则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为
．
考
生
须
知
1．本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共8页，满分150分，
考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色
字迹签字笔作答．