2023北京一零一中高二（上）期中数学试卷（教师版）

这是一份2023北京一零一中高二（上）期中数学试卷（教师版），共21页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 15
3. 若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知向量，，，若，，共面，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 9
6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
8. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ）
A.
B. 点D到平面的距离为
C. 点D到直线的距离为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
9. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，，的长分别为a，b，c.M为内部的任意一点，点M到平面，平面，平面的距离分别为，，，则（ ）
A. 4B. 1C. D. 2
10. 设直线系M：，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在无数多个点不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题为（ ）
A. ①②④B. ②③C. ②③④D. ③④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 已知向量，，若，则____________.
12. 两条直线与之间的距离是______.
13. 若实数满足，则的取值范围是____________.
14. 已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为____________；当最大时，____________.
15. 如图，在直三棱柱中，，，，，.记，给出下列四个结论：
①对于任意点H，都不存在点P，使得平面平面；
②的最小值为3；
③当取最小时，过点A，H，P作三棱柱的截面，则截面面积为；
④满足的点P有无数个.
其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形且，侧面底面，且侧面是正三角形，分别是，的中点.
（1）求证：//平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值，
17. 已知点和点是圆C直径的两个端点．
（1）求线段的中点坐标和圆C的方程；
（2）过点A作圆C的切线l，求切线l的方程．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设是棱的中点，在棱上是否存在一点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19. 已知圆：.
（1）若圆与轴相切，求圆的方程；
（2）如图，当时，圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有?若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.
20. 已知：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.
（1）判断数列：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；
（2）若具有性质，证明：；
（3）给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】B
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得.
【详解】设直线倾斜角为，
A选项， 直线，斜率，即倾斜角为钝角；
B选项， 直线，斜率，倾斜角为，是锐角；
C选项， 直线，斜率，即倾斜角为，不是锐角；
C选项， 直线，斜率不存在，即倾斜角为，是直角不是锐角.
故选：B.
2. 【答案】A
【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值.
【详解】由题设，则.
故选：A
3. 【答案】B
【分析】由直线的方向向量与斜率的关系求得直线斜率，根据点斜式建立直线方程，化简为直线的一般式方程即可得解.
【详解】解：∵的方向向量为，
∴直线的斜率，
又∵直线过点，
∴直线的方程为：，即.
故选：B.
4. 【答案】A
【分析】
计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.
【详解】直线与直线平行，则，或，
验证均不重合，满足.
故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
5. 【答案】D
【分析】根据列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值.
【详解】由于共面，所以存在，使得，即
，
所以，解得：，所以.
故选：D.
6. 【答案】D
【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称点为，则
由图知：的最小值为，
故选：D
7. 【答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
8. 【答案】C
【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答.
【详解】在图1中，由，得，，，，
在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，得，A正确．
设平面的法向量为，，
则，即，取，则，，
所以平面的一个法向量，
所以点D到平面的距离为，B正确．
取，，
则，，所以点D到直线的距离为，C错误．
平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为，D正确.
故选：C.
9. 【答案】D
【分析】根据，利用等体积法即可求得答案.
【详解】如图，设点M到平面，平面，平面的投影点分别为,连接，则.
而，
，
所以，
则，则，
故选：D.
10. 【答案】B
【分析】点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.从切线的角度逐一判断各个命题即可得到答案.
【详解】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.
①：由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；
②：直线系表示圆的所有切线，故圆内部的点不在中的任一条直线上，所以存在无数多个点不在中的任一条直线上，故②正确；
③：由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，故③正确；
④：如图，中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故④不正确.
故选：B.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 【答案】##10.5
【分析】由向量平行可设，可得，解方程即可得解.
【详解】由设，则，解得,
所以，
故答案为：.
12. 【答案】
【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.
【详解】由平行直线间距离公式可得：之间的距离.
故答案为：.
13. 【答案】
【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心和半径，令，得到，根据直线和圆有公共点列式求解即可.
【详解】令，即，表示一条直线，
又方程可化为，表示圆心为，半径为的圆，
由题意可知圆与直线有公共点，
所以圆心到直线的距离，解得，
即的取值范围是，
故答案为：
14. 【答案】 ①. ②.
【分析】先求出直线AB的方程，由圆心到直线的距离加上半径可得最大值；找到当最大时P点所在的位置，再结合勾股定理可得的值.
【详解】由题意可得AB的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为 (5,5)，半径为4，
圆心(5,5)到直线AB的距离为，
所以点P到直线AB的距离的最大值为，
如图：，
当最大或最小时，直线PB与圆相切，上图的P点位置满足最大的情况，
，，所以，
故答案为：；.
15. 【答案】②③
【分析】①问题化为对于任意点H，是否存在点P，使面面，由已知证面面，结合面面垂直判定判断存在性即可；②将绕翻折到平面内，证为等边三角形，进而确定的最小值；③为的中点，为的重心，平面中，延长交于点，取的中点，为的中点，证过点的三棱柱的截面为梯形，根据已知求其面积；④由时，，进而得到，几何法确定不等式两端的范围，即可判断.
【详解】①因为三棱锥为直三棱锥，所以面，又面，
所以，又，所以，所以，
由，面，故面，面，
所以面面，而且都在面内，
由于面即为面，要使面面，只需面面，
综上，面时，面，此时面面，即面面，
对于任意点，只需对应平行于中边上的高时，均满足要求，错；
②将绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线的距离，
又，，，所以，
所以到直线的距离为3，所以的最小值为3，对；
③当取最小时，为的中点，因为为等边三角形，为的中点，
所以为的重心，故，
在平面中，延长交于点，
因为，，，所以，故，
取的中点，为的中点，则，
因为，，所以四边形为平行四边形，则，
又，所以，所以，
故过点的三棱柱的截面为梯形，
，，，，
如下图，过作，设，
因为，则，
所以，则梯形的面积为，错；
④当时，，结合题设知，
在下图中过点作，垂足为，则，
综上，，
又，，
（对于：只需，只需，
即，则显然成立.）
故对于任意的点，当时，都存在对应的点，满足，
故满足的点P有无数个，对；
故答案为：②③
【点睛】关键点点睛：③利用平面基本性质找到截面并证明其为梯形，求出相关线段长为关键；④注意取时，，过点作，垂足为，并得到为关键.
三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）详见解析
（2）
【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；
【小问1详解】
取PC的中点M，连接MF，ME，
因为F是PB的中点，所以MF是三角形PBC的中点，所以MF∥BC，且，
因为底面ABCD为矩形，E是AD的中点，所以AE∥BC，，所以MF∥AE，且MF=AE，
所以四边形AFME是平行四边形，故AF∥ME，
因为AF平面PCE，ME平面PCE，所以AF∥平面PCE.
【小问2详解】
因为侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，所以，又因为侧面PAD底面ABCD，交线为AD，所以PE底面ABCD，
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，取BC中点H，EH所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，，，，，，
设平面PEC的法向量，则，解得：，
令得：，所以，，
设直线CF与平面PCE所成角为，故；
所以直线CF与平面PCE所成角的正弦值为.
17. 【答案】（1）中点，
（2）
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直径，即可写出圆C的方程；
（2）根据直线和圆的位置关系可得切线l的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l的方程．
【小问1详解】
由点和点是圆C直径的两个端点，
可得的中点即为圆心C，根据中点坐标公式可得，
即线段的中点坐标为，根据两点间距离公式得直径，
所以圆C的半径为，
则圆的方程为
【小问2详解】
根据题意可知直线与切线l垂直，直线的斜率为，
设切线l的斜率为，满足，得；
又切线l过点A，利用直线的点斜式方程得；
即切线l的方程为.
18. 【答案】（1）见解析 （2）
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得出结论；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量法即可得出答案；
（3）假设存在，设此时，分别求出，根据，可得存在唯一的实数，使得，列出方程组，解得即可得出结论.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，平面平面，
，所以平面；
【小问2详解】
解：作轴平面，则轴在平面中，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
则有，可取，
同理，可取，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
【小问3详解】
解：假设存在，设此时，
，
，，
则，
因为，则，
所以存在唯一的实数，使得，即，
所以，方程组无解，与题设矛盾，
所以不存在一点，使.
19. 【答案】19. 或
20. 存在；
【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心和半径，由题意列出方程，即可求得答案；
（2）先求出点M的坐标，假设符合题意的圆存在，当直线斜率存在时，设出直线的方程并和圆的方程联立，可得根与系数的关系，结合得出，即，利用根与系数的关系化简求值，结合验证直线AB的斜率不存在时是否适合题意，即可得出结论.
【小问1详解】
由已知圆：知圆心为，
半径为，
由于圆与轴相切，故，即，
解得或，
故圆C的方程为：或；
【小问2详解】
当时，圆方程为，
令，则，解得或，
故，
假设存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有，
则必有M点在圆内，即；
当直线与x轴不垂直时，设其方程为，联立，
得，由于直线AB经过点M，M在圆内，
则必有，
设，则，
由可知，由题意知不可能为直角，
故，故，
即，
即
即，则，
当直线与x轴垂直时，关于x轴对称，显然，符合题意，
综上可知，存在圆，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有.
【点睛】关键点睛：本题考查圆的方程的应用以及直线和圆的位置关系中的探索问题，解答的关键是假设探索性问题的结论存在，由此利用直线和圆的方程联立，结合根与系数的关系，由得，进而列方程化简求解，即可得出结论.
20. 【答案】（1）具有性质,,不具有性质
（2）见解析 （3）
【分析】（1）根据性质的定义判断是否满足题意，同时根据的定义写出；
（2）利用反证法证明至少有一个在中，即可得证；
（3）设中元素个数最小为，根据新定义可知，以此类推可得，由（2）知，则，再进行证明即可.
【小问1详解】
解：由题知：1，0.1，-0.2，0.5，即，
因为
所以具有性质,
又因为，
所以当时，，即，
所以可得，所以；
又由题知：1，2，0.7，1.2，2，即，
因为，所以不具有性质；
所以具有性质,,不具有性质.
【小问2详解】
证明：要证，即证：两个元素至少有一个在中，
假设两个元素均不在中，则，
不妨设，若，则，
又由，则，
与矛盾，所以，同理可得：，
所以，所以，
这与具有性质矛盾，所以假设不成立，即得证.
【小问3详解】
设，
规定时，，时，，
则，所以，
考虑数列，，
由题设可知，他们均具有性质，设中元素个数最小为，
则可得，所以，
由（2）知，则，
当时，令，，
当时，令，，
此时均有，所以中元素个数的最小值为.
【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题.
关于新定义题型的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）根据已知条件和所求，通过分析把所求转化为数学语言；
（3）将已知条件代入新定义要素中；
（4）最后结合所学数学知识进行规范的解答.