海南省海南中学2024-—2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷

这是一份海南省海南中学2024-—2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）当m＝﹣2，n＝5时，代数式﹣3（m+n）的值是（ ）
A．6B．﹣6C．9D．﹣9
3．（3分）近期，超强台风“摩羯”正面袭击海南省，造成近全省近80000000000元的经济损失，是1949年建国后登陆我国的最强台风，其中，数据80000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.08×1012B．0.8×1011C．8×1010D．80×109
4．（3分）一组数据3，﹣3，0，2，﹣2，3的中位数和众数分别是（ ）
A．﹣1，2B．0，2C．1，2D．1，3
5．（3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．3a2﹣a2＝2
C．a8÷a2＝a6D．（﹣2a）3＝﹣2a3
7．（3分）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）
8．（3分）一次函数y＝﹣x+2的图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位
10．（3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
11．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝B．∠B＝∠DC．∠C＝∠AEDD．＝
12．（3分）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题（本大题共12分，每小题3分）
13．（3分）方程x2＝2x的解为 ．
14．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是 ．
15．（3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比值为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 ，DD′的长为 ．
三、解答题（本大题共72分）
17．（12分）（1）计算：﹣12+3×2﹣1﹣×；
（2）解不等式组：．
18．（10分）2024年8月30日，由教育部主办的全国青少年校园足球联赛最终在大连八中的夺冠中落下帷幕．近年来，中国校园足球发展迅速，为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．求A，B两种品牌的足球的单价．
19．（10分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
知识竞赛成绩分组统计表
（1）本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩；
（2）表1中a＝ ；
（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 ；
（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有 人．
20．（10分）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．
21．（15分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接AM，CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．
（1）求证：△BAM≌△BCM；
（2）求证：MN＝MC；
（3）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（4）如图2，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．
22．（15分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为B（1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，设点P的横坐标为t（﹣4＜t＜0）．
①当PE＝3DE时，求点P的坐标；
②求△PAC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
③当△PEC为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值．
2024-2025学年海南省海南中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共36分，每小题3分）
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）当m＝﹣2，n＝5时，代数式﹣3（m+n）的值是（ ）
A．6B．﹣6C．9D．﹣9
【分析】把m与n的值代入原式计算即可求出值．
【解答】解：当m＝﹣2，n＝5时，原式＝﹣3×（﹣2+5）＝﹣3×3＝﹣9，
故选：D．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）近期，超强台风“摩羯”正面袭击海南省，造成近全省近80000000000元的经济损失，是1949年建国后登陆我国的最强台风，其中，数据80000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.08×1012B．0.8×1011C．8×1010D．80×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80000000000＝8×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）一组数据3，﹣3，0，2，﹣2，3的中位数和众数分别是（ ）
A．﹣1，2B．0，2C．1，2D．1，3
【分析】根据众数，中位数的定义即可解决问题，
【解答】解：一组数据3，﹣3，0，2，﹣2，3从小到大排序为：﹣3，﹣2，0，2，3，3；3出现两次，最中间的两个数为0，2，
∴众数为3，中位数为＝1，
故选：D．
【点评】本题考查众数，中位数知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．3a2﹣a2＝2
C．a8÷a2＝a6D．（﹣2a）3＝﹣2a3
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据合并同类项，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、合并同类项系数相加字母部分不变，故B错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；
D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
7．（3分）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（﹣7，9），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
8．（3分）一次函数y＝﹣x+2的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】因为﹣1＜0，2＞0，根据一函数的性质，可以判断，直线过二、四、一象限．也可求出与x轴、y轴的交点，直接连线．
【解答】解：根据k＝﹣1，b＝2可知，直线过二、四、一象限，且截距是2．
故选：D．
【点评】本题考查根据一次函数解析式确定图象的位置，一般地，
若k＞0，图象过第一，三象限，k＜0，图象过第二，四象限；
若b＞0，则图象与y轴交于正半轴；
b＝0，图象过原点；
b＜0，则图象与y轴交于负半轴．
9．（3分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位
【分析】根据图象左移加，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
10．（3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
【分析】依据∠ABC＝60°，∠2＝44°，即可得到∠EBC＝16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝16°．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝44°，
∴∠EBC＝16°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝16°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
11．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝B．∠B＝∠DC．∠C＝∠AEDD．＝
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
若，∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；
∵，∠DAE＝∠BAC，
∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
12．（3分）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP＝M′N＝AB＝1．
【解答】解：如图，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′＝BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N＝AB＝1，
∴MP+NP＝M′N＝1，即MP+NP的最小值为1，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共12分，每小题3分）
13．（3分）方程x2＝2x的解为 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．
【解答】解：∵x2＝2x
∴x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意正确的因式分解方程是解决问题的关键．
14．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是 60° ．
【分析】根据旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝40°，AO＝CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，AO＝CO，
∵∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣40°×2＝10°，
∠ACO＝∠A＝（180°﹣∠AOC）＝（180°﹣40°）＝70°，
由三角形的外角性质得，∠B＝∠ACO﹣∠BOC＝70°﹣10°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
15．（3分）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比值为 ．
【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，即可得出结果．
【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝（）2＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积＝1：3；
故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 6 ，DD′的长为 ．
【分析】根据折叠的性质即可求得AD′＝CD＝6；连接AC，根据勾股定理求得AC＝10，证得△BAE≌△D′AF（AAS），D′F＝BE，根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程求得BE的长，即可求得＝，然后通过证得＝，根据相似三角形的性质即可求得DD′．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∵AD′＝CD，
∴AD′＝6；
连接AC，
∵AB＝6，BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵∠BAF＝∠D′AE＝90°，
∴∠BAE＝∠D′AF，
在△BAE和△D′AF中
，
∴△BAE≌△D′AF（ASA），
∴D′F＝BE，∠AEB＝∠AFD′，
∴∠AEC＝∠D′FD，
由题意知：AE＝EC；
设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，
在Rt△ABE中，∠B＝90°，由勾股定理得：
（8﹣x）2＝62+x2，
解得：x＝，
∴BE＝，AE＝8﹣＝，
∴＝，
∴＝，
∵∠AD′F＝∠D′AE＝90°，
∴D′F∥AE，
∵DF∥EC，
∴△DD′F∽△CAE，
∴＝＝，
∴DD′＝×10＝，
故答案为6，．
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题．
三、解答题（本大题共72分）
17．（12分）（1）计算：﹣12+3×2﹣1﹣×；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先根据有理数的乘方法则、负整数指数幂法则、二次根式的乘法法则分别计算，再合并即可；
（2）分别解不等式①、②，找出它们的公共部分即可．
【解答】解：（1）﹣12+3×2﹣1﹣×
＝﹣1+3×
＝﹣1
＝﹣1+
＝；
（2），
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤2，
所以不等式组的解集是﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及步骤是解题的关键．
18．（10分）2024年8月30日，由教育部主办的全国青少年校园足球联赛最终在大连八中的夺冠中落下帷幕．近年来，中国校园足球发展迅速，为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．求A，B两种品牌的足球的单价．
【分析】设A品牌的足球的单价为x元，B品牌的足球的单价为y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设A品牌的足球的单价为x元，B品牌的足球的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A品牌的足球的单价为40元，B品牌的足球的单价为100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（10分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
知识竞赛成绩分组统计表
（1）本次调查一共随机抽取了 50 名参赛学生的成绩；
（2）表1中a＝ 8 ；
（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 C ；
（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有 320 人．
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得；
（2）根据各组人数之和等于总人数可得a的值；
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解析 （1）本次调查一共随机抽取的学生有18÷36%＝50（人），
故答案为50．
（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，
故答案为8．
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，
故答案为C．
（4）该校九年级竞赛成绩达到80（分）以上（含80分）的学生有500×＝320（人），
故答案为：320．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（10分）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据翻折变换的性质得到∠D＝∠AFE＝90°，结合图形利用角之间的互余关系推出∠BAF＝∠EFC，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出BC＝AD＝AF＝4，从而利用勾股定理求得BF＝2，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
又△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，∠EFC+∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵AB＝2，AD＝4，
∴BC＝AD＝AF＝4，
在Rt△ABF中，
BF＝＝＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，
根据（1）中的结论△ABF∽△FCE，
∴，即，
解得CE＝，
故EC长为．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换（折叠问题），解题的关键是利用翻折的性质得出∠D＝∠AFE＝90°，AD＝AF，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找边之间的关系．
21．（15分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接AM，CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．
（1）求证：△BAM≌△BCM；
（2）求证：MN＝MC；
（3）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（4）如图2，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．
【分析】（1）推导出BA＝BC，∠ABM＝∠CBM，BM＝BM，进而得证；
（2）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
（3）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；
（4）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，证△MGN∽△CGB得＝，从而得出答案．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，M为对角线BD上任意一点，如图①，
∴BA＝BC，∠ABM＝∠CBM，BM＝BM，
∴△BAM≌△BCM（SAS）；
（2）证明：如图②，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，
则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；
（3）证明：由（2）得FM∥AD，EM∥CD，
∴＝＝＝，
∴AF＝2.4，CE＝2.4，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN＝EC＝2.4，
∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，
∴AN＝4BN；
（4）解：如图③，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD＝6，
∴DM+MG+BG＝12a＝6，
∴a＝，
∴BG＝，MG＝，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴＝，
∴CG•NG＝BG•MG＝．
【点评】本题属于四边形综合是，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
22．（15分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为B（1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，设点P的横坐标为t（﹣4＜t＜0）．
①当PE＝3DE时，求点P的坐标；
②求△PAC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
③当△PEC为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】（1）设y＝a（x+4）（x﹣1），将点C（0，3）代入即可求解；
（2）①由P（t，﹣t2﹣t+3），则E（t，t+3），求出PE＝﹣t2﹣3t，DE＝t+3，代入PE＝3DE解答即可；
②再由S＝S四边形PAOC＝S△PAC＝×AO×PE即可求解；
③分三种情况讨论：当PE＝EC时，﹣t2﹣3t＝﹣t；当CP＝CE时，过点C作CM⊥PD交于M，则M为PE的中点；当PE＝PC时，过点P作PN⊥EC交于N，则N是EC的中点；分别求出t的值即可．
【解答】解：（1）直线y＝x+3与x轴，y轴的交点坐标分别为A（﹣4，0）、C（0，3），
∵抛物线与x轴的另一交点为B（1，0），
设所求抛物线的函数表达式为y＝a（x+4）（x﹣1），
把点C（0，3）代入，得3＝a（0+4）（0﹣1），
解得a＝﹣，
∴所求抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+3；
（2）①P（t，﹣t2﹣t+3），则E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，DE＝t+3，
当PE＝3DE时，﹣t2﹣3t＝3（t+3），
解得：t＝﹣3或t＝﹣4（与A重合，舍去），
当t＝﹣3时，﹣t2﹣t+3＝3，
故P（﹣3，3）；
②∵AO＝4，CO＝3，
∴S＝S△PAC＝×AO×PE
＝×4×（﹣t2﹣3t）
＝﹣t2﹣6t，
＝﹣（t+2）2+6，
∵﹣4＜t＜0，
∴当t＝﹣2时，S有最大值6；
③∵PE＝﹣t2﹣3t，CE＝﹣t，
分三种情况讨论：
当PE＝EC时，﹣t2﹣3t＝﹣t，
解得t＝﹣或t＝0（舍）；
当CP＝CE时，过点C作CM⊥PD交于M，则M为PE的中点，如图1，
∴（﹣t2﹣t+3）+（t+3）＝6，
解得t＝﹣2或t＝0（舍）；
当PE＝PC时，过点P作PN⊥EC交于N，则N是EC的中点，如图2，
∴PE＝EN＝EC，
∴﹣t2﹣3t＝﹣t×，
解得t＝﹣或t＝0（舍去）；
综上所述：满足条件的t的值为﹣或﹣2或﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
组别
分数/分
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
10
C
80≤x＜90
14
D
90≤x≤100
18
组别
分数/分
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
10
C
80≤x＜90
14
D
90≤x≤100
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