吉林省长春市吉大附中力旺实验学校2025届九年级数学第一学期开学考试模拟试题【含答案】

这是一份吉林省长春市吉大附中力旺实验学校2025届九年级数学第一学期开学考试模拟试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 ()的边上取一点，使得，连接，则等于( )
A．B．C．D．
2、（4分）若分式方程=2+的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4B．a＜4C．a＜4且a≠2D．a＜2且a≠0
3、（4分）已知甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个旅行团游客的平均年龄都是35岁，这三个旅行团游客年龄的方差分别是，，，如果你最喜欢带游客年龄相近的旅行团，若在三个旅行团中选一个，则你应选择( )
A．甲团B．乙团C．丙团D．采取抽签方式，随便选一个
4、（4分）下列计算错误的是( )
A．﹣＝B．÷2＝
C．D．3+2=5
5、（4分）如图，在中，，AD平分，，，那么点D到直线AB的距离是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．10cm
6、（4分）如图，正比例函数和一次函数的图像相交于点.当时，则（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）若一个等腰直角三角形的面积为8，则这个等腰三角形的直角边长为（ ）
A．2B．4C．4D．8
8、（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件正确的是（ ）
A．AB=ADB．AC=BDC．∠ABC=90°D．∠ABC=∠ADC
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_____．
10、（4分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于______.
11、（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+4m=0有实数根，则m的取值范围是_____．
12、（4分）比较大小：_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）
13、（4分）如图，将一宽为1dm的矩形纸条沿BC折叠，若，则折叠后重叠部分的面积为________dm2.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
15、（8分）已知2y+1与3x-3成正比例，且x=10时，y=4
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）点P在这个函数图象上吗？
16、（8分）（1）解不等式组：
（2）解分式方程：.
17、（10分）直线过点，直线过点，求不等式的解集.
18、（10分）先化简，再求值：，其中，a=+1．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）化简：的结果是________.
20、（4分）在一列数2，3，3，5，7中，他们的平均数为__________．
21、（4分）抛物线，当时，的取值范围是__________．
22、（4分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是__．
23、（4分）已知直角三角形中，分别以为边作三个正方形，其面积分别为，则__________（填“”，“”或“”）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的坐标为，
（2）抛物线上有三点求此函数解析式．
25、（10分）如图,矩形中,点是线段上一动点, 为的中点, 的延长线交BC于.
(1)求证: ;
(2)若,,从点出发,以l的速度向运动(不与重合).设点运动时间为,请用表示的长;并求为何值时,四边形是菱形.
26、（12分）己知一次函数的图象过点，与y轴交于点B．求点B的坐标和k的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
利用黄金矩形的定理求出=,再利用矩形的性质得,代入求值即可解题.
【详解】
解：∵矩形ABCD中,AD=BC,
根据黄金矩形的定义可知=,
∵，
∴
故选B
本题考查了黄金矩形这一新定义,属于黄金分割概念的拓展,中等难度,读懂黄金矩形的定义,表示出边长比是解题关键.
2、C
【解析】
试题分析：去分母得：x=1x﹣4+a，
解得：x=4﹣a，
根据题意得：4﹣a＞0，且4﹣a≠1，
解得：a＜4且a≠1．
故选C．
考点：分式方程的解．
3、B
【解析】
试题解析：∵S甲2=17，S乙2=14.6，S丙3=19，
∴S乙2最小，游客年龄相近，
故选B．
点睛：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4、D
【解析】
利用二次根式加减乘除的运算方法逐一计算得出答案,进一步比较选择即可
【详解】
A. ﹣＝，此选项计算正确；
B. ÷2＝, 此选项计算正确；
C. ,此选项计算正确;
D. 3+2.此选项不能进行计算，故错误
故选D
此题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
5、B
【解析】
过点D作DE⊥AB于E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE=CD，再代入数据求出CD，即可得解．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠CAB，
∴DE=CD，
∵BC=12cm，BD=8cm，
∴CD=BC-BD=12-8=4cm，
∴DE=4cm．
故选B．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
6、C
【解析】
由图象可以知道，当x=3时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论.
【详解】
解：由图象知，当x＞3时，y1的图象在y2上方，
y2故答案为：D.
本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键.
7、C
【解析】
设等腰直角三角形的直角边长为x，根据面积为8，可列方程求解．
解；设等腰直角三角形的边长为x，
x2=8，
x=1或x=-1（舍去）．
所以它的直角边长为1．
故选C．
“点睛”本题考查等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的两个腰相等，两腰夹角为90°，根据面积为8可列方程求解．
8、A
【解析】
根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．
【详解】
A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时平行四边形ABCD是菱形，故A选项符合题意；
B、根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，故B选项不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当∠ABC=90° 时，平行四边形ABCD是矩形，故C选项不符合题意；
D、由平行四边形的性质可知∠ABC=∠ADC，∠ABC=∠ADC这是一个已知条件，因此不能判定平行四边形ABCD是菱形，故D选项不符合题意，
故选A.
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定、矩形的判定等，熟练掌握相关的判定方法是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、．
【解析】
解：如图3所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=3，
∴AA′=6，AE′=3．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=3；CQ=DC﹣CQ=3﹣3=3，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴，即，BP=，CP=BC﹣BP==，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP=9﹣×3×3﹣×3×﹣×3×=，
故答案为．
本题考查3．轴对称-最短路线问题；3．正方形的性质．
10、
【解析】
根据菱形的性质可证≌,可将阴影部分面积转化为△AOB的面积，根据菱形的面积公式计算即可.
【详解】
四边形是菱形
∴OC=OA，AB∥CD，
∴
∴≌(ASA)
∴S△CFO= S△AOE
∴S△CFO+ S△EBO= S△AOB
∴S△AOB=SABCD=×
故答案为：.
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为三角形AOB的面积为解题的关键.
11、m≤
【解析】
由关于x的一元二次方程x2﹣2x+4m=0有实数根，可知b2﹣4ac≥0，据此列不等式求解即可．
【详解】
解:由题意得，
4-4×1×4m≥0
解之得m≤
故答案为m≤．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．
12、＞．
【解析】
【分析】先求出1=，再比较即可．
【详解】∵12=9＜10，
∴＞1，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
13、1
【解析】
作出AB边上的高，求出AC的长；根据翻折不变性及平行线的性质，求出AC=AB，再利用三角形的面积公式解答即可
【详解】
作CD⊥AB，
∵CG∥AB，
∴∠1=∠2，
根据翻折不变性，∠1=∠BCA，
故∠2=∠BCA.
∴AB=AC.
又∵∠CAB=30∘，
∴在Rt△ADC中，AC=2CD=2dm，
∴AB=2dm，
S△ABC=AB×CD=1dm2.
故答案为：1.
本题考查翻折变换，熟练掌握翻折不变性及平行线的性质是解题关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝1．（2）①x1＝1，x2＝2， ②x2－(1＋n)x＋n＝3；（1）x1＝1，x2＝2．
【解析】
（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－1、－4，常数项分别为1，2，1．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、1、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（1）用配方法解方程即可.
【详解】
（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝1．
（2）①x1＝1，x2＝2；
②x2－(1＋n)x＋n＝3．
（1）x2－9x＋2＝3
x2－9x＝－2
x2－9x＋＝－2＋
(x－)2＝
∴x－＝±．
∴x1＝1，x2＝2．
15、（1），y是x的一次函数；（2）点不在这个函数的图象上．
【解析】
可设，把已知条件代入可求得k的值，则可求得函数解析式，可求得函数类型；
把P点坐标代入函数解析式进行判断即可．
【详解】
解：设，
时，，
，
，
，即，
故y是x的一次函数；
，
当时，，
点P不在这个函数的图象上．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键．
16、（1）-2≤x＜1；（2）x=-1．
【解析】
（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1） ，
由①得：x＜1，
由②得：x≥-2，
则不等式组的解集为-2≤x＜1；
（2）去分母得：x2+x=x2-1-2，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解．
故答案为：（1）-2≤x＜1；（2）x=-1．
本题考查解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键，解分式方程注意要检验．
17、
【解析】
将代入，可解得k的值，将代入，可解得m的值，再将k和m的值代入不等式，解不等式即可
【详解】
解：将代入得：，解得：k=1；
将代入得：，解得：；
∴，
则可得
解得
故答案为：
本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及不等式的解法，，比较简单，应熟练掌握
18、原式= ，当a=+1时，原式=.
【解析】
试题分析：先因式分解，再根据分式的基本性质约分，然后算加，最后代入求值即可.
解：原式
当时，原式.
考点：分式的化简求值
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、－2
【解析】
化简二次根式并去括号即可.
【详解】
解：
故答案为：－2
本题考查了二次根式的混合运算，计算较为简单，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键.
20、1
【解析】
直接利用算术平均数的定义列式计算可得．
【详解】
解：这组数据的平均数为=1，
故答案为：1．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
21、
【解析】
首先根据二次函数的的二次项系数大于零，可得抛物线开口向下，再计算抛物线的对称轴 ，判断范围内函数的增减性，进而计算y的范围.
【详解】
解：根据二次函数的解析式可得
由a=2>0，可得抛物线的开口向上
对称轴为：
所以可得在范围内，二次函数在 ，y随x的增大而减小，在 上y随x的增大而增大.
所以当 取得最小值，最小值为：
当取得最大值，最大值为：
所以
故答案为
本题主要考查抛物线的性质，关键在于确定抛物线的开口方向，对称轴的位置，进而计算y的范围.
22、
【解析】
试题分析：首先设点P的坐标为(x，y)，根据矩形的周长可得：2(x+y)=10，则y=-x+5，即该直线的函数解析式为y=-x+5.
23、
【解析】
由勾股定理得出AC2+BC2=AB2，得出S1+S2=S3，可得出结果．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3，
故答案为：=.
本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解决问题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1） （2）
【解析】
（1）设抛物线解析式为，根据待定系数法求解即可．
（2）设抛物线的解析式为，根据待定系数法求解即可．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点坐标为
∴设抛物线解析式为
将代入中
解得
故抛物线解析式为．
（2）设抛物线的解析式为
将代入中
解得
故抛物线解析式为．
本题考查了抛物线解析式的问题，掌握待定系数法是解题的关键．
25、 (1)证明见解析；(2) PD=8-t，运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
【解析】
(1)先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证得OP=OQ；
(2)根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．
【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△POD与△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ；
(2)PD=8-t，
∵四边形PBQD是菱形，
∴BP=PD= 8-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即62+t2=(8-t)2，
解得：t=，
即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数形结合思想的运用.
26、点B的坐标为,
【解析】
根据一次函数的性质，与y轴交于点B，即，得解；将A坐标代入解析式即可得解.
【详解】
当时，，点B的坐标为
将点A的对应值，代入得，∴
此题主要考查一次函数的性质，熟练掌握，即可解题.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人