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吉林省吉大附中2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】
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这是一份吉林省吉大附中2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】,共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是
A.13B.26C.47D.94
2、(4分)下列分式,,,最简分式的个数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
3、(4分)﹣2018的倒数是( )
A.2018B.C.﹣2018D.
4、(4分)化简正确的是( )
A.B.C.D.
5、(4分)点P(2,3)到y轴的距离是( )
A.3B.2C.1D.0
6、(4分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,AO=3,∠ABC=60°,则菱形 ABCD 的面积是( )
A.18B.18C.36D.36
7、(4分)小华的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢跑从家到中山公园,打了一会儿太极拳后坐公交车回家.下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图像是( ).
A.B.C.D.
8、(4分)介于两个相邻整数之间,这两个整数是( )
A.2和3B.3和4C.4和5D.5和6
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)用换元法解方程+3=0时,如果设=y,那么将原方程变形后所得的一元二次方程是_____.
10、(4分)菱形有一个内角是120°,其中一条对角线长为9,则菱形的边长为____________.
11、(4分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是_________.
12、(4分)化简______.
13、(4分)已知菱形有一个锐角为60°,一条对角线长为4cm,则其面积为_______ cm1.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)如图,在△ABC中,,,,求AB的长.
15、(8分)甲、乙两校参加市教育局举办的初中生英语口语竞赛,两校参赛人数相等.比赛结束后,发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分).依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表.
(1)请将甲校成绩统计表和图2的统计图补充完整;
(2)经计算,乙校的平均分是8.3分,中位数是8分,请写出甲校的平均分、中位数;并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好.
16、(8分)某市在城中村改造中,需要种植、两种不同的树苗共棵,经招标,承包商以万元的报价中标承包了这项工程,根据调查及相关资料表明,、两种树苗的成本价及成活率如表:
设种植种树苗棵,承包商获得的利润为元.
()求与之间的函数关系式.
()政府要求栽植这批树苗的成活率不低于,承包商应如何选种树苗才能获得最大利润?最大利润是多少?
17、(10分)如图1,□ABCD在平面直角坐标系xOy中,已知点、、、,点G是对角线AC的中点,过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F,点P是直线EF上的动点.
(1)求点D的坐标和的值;
(2)如图2,当直线EF交x轴于点,且时,求点P的坐标;
(3)如图3,当直线EF交x轴于点时,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1 图2 图3
18、(10分)计算:(1)÷-×+ ;(2)(-1)101+(π-3)0+-.
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题(填“真”或“假”).
20、(4分)若二次根式有意义,则的取值范围是______.
21、(4分)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为__.
22、(4分)如图,点是矩形的对角线上一点,过点作,分别交、于、,连接、.若,.则图中阴影部分的面积为____________.
23、(4分)矩形的一边长是3.6㎝, 两条对角线的夹角为60º,则矩形对角线长是___________.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)化简:;
25、(10分)(2013年四川广安8分)某商场筹集资金12.8万元,一次性购进空调、彩电共30台.根据市场需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1.5万元,其中空调、彩电的进价和售价见表格.
设商场计划购进空调x台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元.
(1)试写出y与x的函数关系式;
(2)商场有哪几种进货方案可供选择?
(3)选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元?
26、(12分)已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,﹣2),
(1)求这两个函数的关系式;
(2)观察图象,写出使得>ax+b成立的自变量x的取值范围;
(3)过点A作AC⊥x轴,垂足为C,在平面内有点D,使得以A,O,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,直接写出符合条件的所有D点的坐标.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、C
【解析】
解:如图
根据勾股定理的几何意义,可得A、B的面积和为,C、D的面积和为,,于是,即故选C.
2、D
【解析】
直接利用分式的基本性质化简得出答案.
【详解】
解:,不能约分,,,
故只有是最简分式.最简分式的个数为1.
故选:D.
此题主要考查了最简分式,正确化简分式是解题关键.
3、D
【解析】
根据倒数的概念解答即可.
【详解】
﹣2018的倒数是:﹣.
故选D.
本题考查了倒数的知识点,解题的关键是掌握互为倒数的两个数的乘积为1.
4、D
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定出x<0,然后再根据二次根式的性质进行化简即可得答案.
【详解】由题意可知x<0,
所以=,
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,熟知二次根式的被开方数是非负数、熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
5、B
【解析】
根据点的到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答.
【详解】
解:点P(1,3)到y轴的距离为1.
故选:B.
本题考查了点的坐标,熟记点的到y轴的距离等于横坐标的绝对值,到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键.
6、B
【解析】
由菱形的性质可求AC,BD的长,由菱形的面积公式可求解.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AO=CO=3,BO=DO=3,AC⊥BD
∴AC=6,BD=6
∴菱形ABCD的面积=
故选B.
本题考查了菱形的性质,熟练运用菱形面积公式是本题的关键.
7、C
【解析】
根据在每段中,离家的距离随时间的变化情况即可进行判断.
【详解】
图象应分三个阶段,第一阶段:慢步到离家较远的绿岛公园,在这个阶段,离家的距离随时间的增大而增大;第二阶段:打了一会儿太极拳,这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变。故D错误;第三阶段:搭公交车回家,这一阶段,离家的距离随时间的增大而减小,故A错误,并且这段的速度大于第一阶段的速度,则B错误.
故选:C.
本题考查函数图象,解题的关键是由题意将图象分为三个阶段进行求解.
8、B
【解析】
根据无理数的估算得出的大小范围,即可得答案.
【详解】
∵9<15<16,
∴3<<4,
故选B.
本题考查的是估算无理数的大小,根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、3y2+3y﹣2=1
【解析】
设,则原方程化为3y﹣+3=1,,再整理即可.
【详解】
﹣+3=1,
设=y,则原方程化为:3y﹣+3=1,
即3y2+3y﹣2=1,
故答案为:3y2+3y﹣2=1.
本题考查了解分式方程,能够正确换元是解此题的关键.
10、9 或
【解析】
如图,根据题意得:∠BAC=120°,易得∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形.如果AC=9,那么AB=9;如果BD=9,由菱形的性质可得边AB的长.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,∠ABD=∠CBD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AB=BC,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
如果AC=9,则AB=9,
如果BD=9,
则∠ABD=30°,OB=,
∴OA=AB,
在Rt△ABO中,∠AOB=90°,∴AB2=OA2+OB2,
即AB2=(AB)2 +()2,
∴AB=3,
综上,菱形的边长为9或3.
本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理等知识,熟练掌握相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
11、x≥-1
【解析】
根据二次根式的性质即可求解.
【详解】
依题意得x+1≥0,
解得x≥-1
故填:x≥-1
此题主要考查二次根式的性质,解题的关键是熟知根号内被开方数为非负数.
12、.
【解析】
约去分子与分母的公因式即可.
【详解】
.
故答案为:.
本题主要考查了分式的约分,主要是约去分式的分子与分母的公因式.
13、或
【解析】
首先根据题意画出图形,由菱形有一个锐角为60°,可得△ABD是等边三角形,然后分别从较短对角线长为4cm与较长对角线长为4cm,去分析求解即可求得答案.
【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴AB=AD,AC⊥BD,AO=OC,BO=OD,
∴△ABD是等边三角形,
①BD=4cm,则OB=1cm,
∴AB=BD=4cm;
∴OA==(cm),
∴AC=1OA=4(cm),
∴S菱形ABCD=AC•BD=(cm1);
②AC=4cm.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=1cm,∠BAO=30°,
∴AB= 1OB,
∴,即,
∴OB=(cm),BD= cm
∴S菱形ABCD=AC•BD=(cm1);
综上可得:其面积为 cm1或 cm1.
故答案为:或 .
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.解题的关键是熟练掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分的性质.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、AB=9+4.
【解析】
作CD⊥AB于D,据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=,AD=9,再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD,然后把AD与BD相加即可.
【详解】
解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△CDA中,∠A=30°,
∴CD=AC•sin30°=3,AD=AC×cs30°=9,
∵在Rt△CDB中,
∴BD===4.
∴AB=AD+DB=9+4.
本题考查了解直角三角形.解题时,通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键.
15、(1)见解析;(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)根据已知10分的有5人,所占扇形圆心角为90°,可以求出总人数,即可得出甲校9分的人数和乙校8分的人数,从而可补全统计图;
(2)根据把分数从小到大排列,利用中位数的定义解答,根据平均数求法得出甲的平均数.
试题解析:(1)根据已知10分的有5人,所占扇形圆心角为90°,可以求出总人数为:
5÷=20(人),
即可得出8分的人数为:20-8-4-5=3(人),
画出图形如图:
甲校9分的人数是:20-11-8=1(人),
(2)甲校的平均分为=(7×11+8×0+9×1+10×8)=8.3分,
分数从低到高,第10人与第11人的成绩都是7分,
∴中位数=(7+7)=7(分);
平均分相同,乙的中位数较大,因而乙校的成绩较好.
考点:1.扇形统计图;2.条形统计图;3.算术平均数;4.中位数.
16、();()承包商购买种树苗棵,种树苗棵时,能获得最大利润,最大利润是元.
【解析】
试题分析:(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x的函数关系式;
(2)根据题意可以的得到相应的不等式,从而可以解答本题.
试题解析:()根据题意可得,
,
即与之间的函数关系式是;
()根据题意可得,
,
计算得出,,
∵,
∴当时,取得最大值,此时,
即承包商购买种树苗棵,种树苗棵时,能获得最大利润,最大利润是元.
17、(1)(2,−2),7;(2)点P的坐标为(,−)或(−,);(3)点P的坐标为(3,0)或(−1,2)或(,−)或(−,).
【解析】
(1)根据平行线的性质可求点D的坐标,根据重心的定义可得S四边形BEFC=S▱ABCD从而求解;
(2)分两种情况:①点P在AC左边,②点P在AC右边,进行讨论即可求解;
(3)先作出图形,再根据矩形的性质即可求解.
【详解】
解:(1)∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中,点A(−1,0)、B(0,4)、C(3,2),
∴点D的坐标为(2,−2),
∴S▱ABCD=6×4−×1×4−×3×2−×1×4−×3×2=14,
∵点G是对角线AC的中点,
∴S四边形BEFC=S▱ABCD=7;
(2)∵点G是对角线AC的中点,
∴G(1,1),
设直线GH的解析式为y=kx+b,
则,
解得,
∴直线GH的解析式为y=−x+;
①点P在AC右边,
S△ACH=×6×2=6,
∵S△PAC=S四边形BEFC,
1+4×=,
当x=时,y=−×+=−,
∴P(,−);
②点P在AC左边,
由中点坐标公式可得P(−,);
综上所述,点P的坐标为(,−)或(−,);
(3)如图,
设直线GK的解析式为y=kx+b,则,
解得,
则直线GK的解析式为y=−x+,
CP⊥AP时,点P的坐标为(3,0)或(−1,2);
CP⊥AC时,直线AC的解析式为y=x+,
直线CP的解析式为y=−2x+8,
故点P的坐标为(,−);
AP⊥AC时,
同理可得点P的坐标为(−,);
综上所述,点P的坐标为(3,0)或(−1,2)或(,−)或(−,).
本题考查四边形的综合题、矩形的性质、三角形和四边形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式,学会用方程的思想思考问题,属于中考压轴题.
18、(1) (2)
【解析】
根据二次根式的性质化简,再合并同类二次根式即可.
根据乘方、0指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质化简后,再合并即可.
【详解】
(1)÷-×+=
(2)(-1)101+(π-3)0+-=
本题考查的是二次根式的性质及实数的运算,掌握二次根式的性质及乘方、0指数幂、负整数指数幂是关键.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 真
【解析】
分析:把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形,结论是斜边上的中线等于斜边的一半,故其逆命题:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
详解:定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.它是真命题.
故答案为如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;真.
点睛:本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
20、
【解析】
试题解析:由题意得,6-x≥0,
解得,x≤6.
21、1
【解析】
由基本作图得到,平分,故可得出四边形是菱形,由菱形的性质可知,故可得出的长,再由勾股定理即可得出的长,进而得出结论.
【详解】
解:连结,与交于点,
四边形是平行四边形,,
四边形是菱形,
,,.
,
在中,,
.
故答案为:1.
本题考查的是作图基本作图,熟知平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质是解决问题的关键.
22、
【解析】
由矩形的性质可证明S△DFP=S△PBE,即可求解.
【详解】
解:作PM⊥AD于M,交BC于N.
则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5,
∴S阴=5+5=10,
故答案为:10.
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明S△DFP=S△PBE.
23、7.2cm或cm
【解析】
①边长3.6cm为短边时,
∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OB,
∵两对角线的夹角为60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB=3.6cm,
∴AC=BD=2OA=7.2cm;
②边长3.6cm为长边时,
∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB,
∵两对角线的夹角为60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB,BD=2OB,∠ABD=60°,
∴OB=AB= ,
∴BD=;
故答案是:7.2cm或cm.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、.
【解析】
先把二次根式化为最简二次根式,然后合并后进行二次根式的除法运算.
【详解】
解:原式
.
本题考查了二次根式的混合运算,解题关键在于结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径.
25、解:(1)设商场计划购进空调x台,则计划购进彩电(30﹣x)台,由题意,得
y=(6100﹣5400)x+(3900﹣3500)(30﹣x)=300x+12000。
(2)依题意,得,
解得10≤x≤。
∵x为整数,∴x=10,11,12。∴商场有三种方案可供选择:
方案1:购空调10台,购彩电20台;
方案2:购空调11台,购彩电19台;
方案3:购空调12台,购彩电18台。
(3)∵y=300x+12000,k=300>0,∴y随x的增大而增大。
∴当x=12时,y有最大值,y最大=300×12+12000=15600元.
故选择方案3:购空调12台,购彩电18台时,商场获利最大,最大利润是15600元。
【解析】(1)y=(空调售价﹣空调进价)x+(彩电售价﹣彩电进价)×(30﹣x)。
(2)根据用于一次性购进空调、彩电共30台,总资金为12.8万元,全部销售后利润不少于1.5万元.得到一元一次不等式组,求出满足题意的x的正整数值即可。
(3)利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大,并求此时的最大利润即可。
考点:一次函数和一元一次不等式组的应用,由实际问题列函数关系式,一次函数的性质。
26、(2)y=2x+2;(2)x<﹣2或0<x<2;(3)(0,﹣4),(0,4)或(2,4).
【解析】
(2)首先将A点坐标代入反比例函数,进而计算出k的值,再将B点代入反比例函数的关系式,求得参数m的值,再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
(2)根据题意要使>ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上,观察图象即可得到x的取值范围.
(3)首先写出A、C的坐标,再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.
【详解】
解:(2)将A(2,4)代入y=,得:4=k,
∴反比例函数的关系式为y=;
当y=﹣2时,﹣2=,解得:m=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2).
将A(2,4),B(﹣2,﹣2)代入y=ax+b,得: ,
解得:,
∴一次函数的关系式为y=2x+2.
(2)观察函数图象,可知:当x<﹣2或0<x<2时,反比例函数图象在一次函数图象上方,
∴使得>ax+b成立的自变量x的取值范围为x<﹣2或0<x<2.
(3)∵点A的坐标为(2,4),
∴点C的坐标为(2,0).
设点D的坐标为(c,d),分三种情况考虑,如图所示:
①当OC为对角线时, ,
解得: ,
∴点D2的坐标为(0,﹣4);
②当OA为对角线时,
解得:
∴点D2的坐标为(0,4);
③当AC为对角线时, ,
解得: ,
∴点D3的坐标为(2,4).
综上所述:以A,O,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形时,点D的坐标为(0,﹣4),(0,4)或(2,4).
本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题,综合性比较强,但是也很容易,应当熟练掌握.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
分数
7分
8分
9分
10分
人数
11
0
8
品种
购买价(元/棵)
成活率
空调
彩电
进价(元/台)
5400
3500
售价(元/台)
6100
3900
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是
A.13B.26C.47D.94
2、(4分)下列分式,,,最简分式的个数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
3、(4分)﹣2018的倒数是( )
A.2018B.C.﹣2018D.
4、(4分)化简正确的是( )
A.B.C.D.
5、(4分)点P(2,3)到y轴的距离是( )
A.3B.2C.1D.0
6、(4分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,AO=3,∠ABC=60°,则菱形 ABCD 的面积是( )
A.18B.18C.36D.36
7、(4分)小华的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢跑从家到中山公园,打了一会儿太极拳后坐公交车回家.下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图像是( ).
A.B.C.D.
8、(4分)介于两个相邻整数之间,这两个整数是( )
A.2和3B.3和4C.4和5D.5和6
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)用换元法解方程+3=0时,如果设=y,那么将原方程变形后所得的一元二次方程是_____.
10、(4分)菱形有一个内角是120°,其中一条对角线长为9,则菱形的边长为____________.
11、(4分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是_________.
12、(4分)化简______.
13、(4分)已知菱形有一个锐角为60°,一条对角线长为4cm,则其面积为_______ cm1.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)如图,在△ABC中,,,,求AB的长.
15、(8分)甲、乙两校参加市教育局举办的初中生英语口语竞赛,两校参赛人数相等.比赛结束后,发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分).依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表.
(1)请将甲校成绩统计表和图2的统计图补充完整;
(2)经计算,乙校的平均分是8.3分,中位数是8分,请写出甲校的平均分、中位数;并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好.
16、(8分)某市在城中村改造中,需要种植、两种不同的树苗共棵,经招标,承包商以万元的报价中标承包了这项工程,根据调查及相关资料表明,、两种树苗的成本价及成活率如表:
设种植种树苗棵,承包商获得的利润为元.
()求与之间的函数关系式.
()政府要求栽植这批树苗的成活率不低于,承包商应如何选种树苗才能获得最大利润?最大利润是多少?
17、(10分)如图1,□ABCD在平面直角坐标系xOy中,已知点、、、,点G是对角线AC的中点,过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F,点P是直线EF上的动点.
(1)求点D的坐标和的值;
(2)如图2,当直线EF交x轴于点,且时,求点P的坐标;
(3)如图3,当直线EF交x轴于点时,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1 图2 图3
18、(10分)计算:(1)÷-×+ ;(2)(-1)101+(π-3)0+-.
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题(填“真”或“假”).
20、(4分)若二次根式有意义,则的取值范围是______.
21、(4分)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为__.
22、(4分)如图,点是矩形的对角线上一点,过点作,分别交、于、,连接、.若,.则图中阴影部分的面积为____________.
23、(4分)矩形的一边长是3.6㎝, 两条对角线的夹角为60º,则矩形对角线长是___________.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)化简:;
25、(10分)(2013年四川广安8分)某商场筹集资金12.8万元,一次性购进空调、彩电共30台.根据市场需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1.5万元,其中空调、彩电的进价和售价见表格.
设商场计划购进空调x台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元.
(1)试写出y与x的函数关系式;
(2)商场有哪几种进货方案可供选择?
(3)选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元?
26、(12分)已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,﹣2),
(1)求这两个函数的关系式;
(2)观察图象,写出使得>ax+b成立的自变量x的取值范围;
(3)过点A作AC⊥x轴,垂足为C,在平面内有点D,使得以A,O,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,直接写出符合条件的所有D点的坐标.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、C
【解析】
解:如图
根据勾股定理的几何意义,可得A、B的面积和为,C、D的面积和为,,于是,即故选C.
2、D
【解析】
直接利用分式的基本性质化简得出答案.
【详解】
解:,不能约分,,,
故只有是最简分式.最简分式的个数为1.
故选:D.
此题主要考查了最简分式,正确化简分式是解题关键.
3、D
【解析】
根据倒数的概念解答即可.
【详解】
﹣2018的倒数是:﹣.
故选D.
本题考查了倒数的知识点,解题的关键是掌握互为倒数的两个数的乘积为1.
4、D
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定出x<0,然后再根据二次根式的性质进行化简即可得答案.
【详解】由题意可知x<0,
所以=,
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,熟知二次根式的被开方数是非负数、熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
5、B
【解析】
根据点的到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答.
【详解】
解:点P(1,3)到y轴的距离为1.
故选:B.
本题考查了点的坐标,熟记点的到y轴的距离等于横坐标的绝对值,到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键.
6、B
【解析】
由菱形的性质可求AC,BD的长,由菱形的面积公式可求解.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AO=CO=3,BO=DO=3,AC⊥BD
∴AC=6,BD=6
∴菱形ABCD的面积=
故选B.
本题考查了菱形的性质,熟练运用菱形面积公式是本题的关键.
7、C
【解析】
根据在每段中,离家的距离随时间的变化情况即可进行判断.
【详解】
图象应分三个阶段,第一阶段:慢步到离家较远的绿岛公园,在这个阶段,离家的距离随时间的增大而增大;第二阶段:打了一会儿太极拳,这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变。故D错误;第三阶段:搭公交车回家,这一阶段,离家的距离随时间的增大而减小,故A错误,并且这段的速度大于第一阶段的速度,则B错误.
故选:C.
本题考查函数图象,解题的关键是由题意将图象分为三个阶段进行求解.
8、B
【解析】
根据无理数的估算得出的大小范围,即可得答案.
【详解】
∵9<15<16,
∴3<<4,
故选B.
本题考查的是估算无理数的大小,根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、3y2+3y﹣2=1
【解析】
设,则原方程化为3y﹣+3=1,,再整理即可.
【详解】
﹣+3=1,
设=y,则原方程化为:3y﹣+3=1,
即3y2+3y﹣2=1,
故答案为:3y2+3y﹣2=1.
本题考查了解分式方程,能够正确换元是解此题的关键.
10、9 或
【解析】
如图,根据题意得:∠BAC=120°,易得∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形.如果AC=9,那么AB=9;如果BD=9,由菱形的性质可得边AB的长.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,∠ABD=∠CBD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AB=BC,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
如果AC=9,则AB=9,
如果BD=9,
则∠ABD=30°,OB=,
∴OA=AB,
在Rt△ABO中,∠AOB=90°,∴AB2=OA2+OB2,
即AB2=(AB)2 +()2,
∴AB=3,
综上,菱形的边长为9或3.
本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理等知识,熟练掌握相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
11、x≥-1
【解析】
根据二次根式的性质即可求解.
【详解】
依题意得x+1≥0,
解得x≥-1
故填:x≥-1
此题主要考查二次根式的性质,解题的关键是熟知根号内被开方数为非负数.
12、.
【解析】
约去分子与分母的公因式即可.
【详解】
.
故答案为:.
本题主要考查了分式的约分,主要是约去分式的分子与分母的公因式.
13、或
【解析】
首先根据题意画出图形,由菱形有一个锐角为60°,可得△ABD是等边三角形,然后分别从较短对角线长为4cm与较长对角线长为4cm,去分析求解即可求得答案.
【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴AB=AD,AC⊥BD,AO=OC,BO=OD,
∴△ABD是等边三角形,
①BD=4cm,则OB=1cm,
∴AB=BD=4cm;
∴OA==(cm),
∴AC=1OA=4(cm),
∴S菱形ABCD=AC•BD=(cm1);
②AC=4cm.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=1cm,∠BAO=30°,
∴AB= 1OB,
∴,即,
∴OB=(cm),BD= cm
∴S菱形ABCD=AC•BD=(cm1);
综上可得:其面积为 cm1或 cm1.
故答案为:或 .
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.解题的关键是熟练掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分的性质.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、AB=9+4.
【解析】
作CD⊥AB于D,据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=,AD=9,再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD,然后把AD与BD相加即可.
【详解】
解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△CDA中,∠A=30°,
∴CD=AC•sin30°=3,AD=AC×cs30°=9,
∵在Rt△CDB中,
∴BD===4.
∴AB=AD+DB=9+4.
本题考查了解直角三角形.解题时,通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键.
15、(1)见解析;(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)根据已知10分的有5人,所占扇形圆心角为90°,可以求出总人数,即可得出甲校9分的人数和乙校8分的人数,从而可补全统计图;
(2)根据把分数从小到大排列,利用中位数的定义解答,根据平均数求法得出甲的平均数.
试题解析:(1)根据已知10分的有5人,所占扇形圆心角为90°,可以求出总人数为:
5÷=20(人),
即可得出8分的人数为:20-8-4-5=3(人),
画出图形如图:
甲校9分的人数是:20-11-8=1(人),
(2)甲校的平均分为=(7×11+8×0+9×1+10×8)=8.3分,
分数从低到高,第10人与第11人的成绩都是7分,
∴中位数=(7+7)=7(分);
平均分相同,乙的中位数较大,因而乙校的成绩较好.
考点:1.扇形统计图;2.条形统计图;3.算术平均数;4.中位数.
16、();()承包商购买种树苗棵,种树苗棵时,能获得最大利润,最大利润是元.
【解析】
试题分析:(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x的函数关系式;
(2)根据题意可以的得到相应的不等式,从而可以解答本题.
试题解析:()根据题意可得,
,
即与之间的函数关系式是;
()根据题意可得,
,
计算得出,,
∵,
∴当时,取得最大值,此时,
即承包商购买种树苗棵,种树苗棵时,能获得最大利润,最大利润是元.
17、(1)(2,−2),7;(2)点P的坐标为(,−)或(−,);(3)点P的坐标为(3,0)或(−1,2)或(,−)或(−,).
【解析】
(1)根据平行线的性质可求点D的坐标,根据重心的定义可得S四边形BEFC=S▱ABCD从而求解;
(2)分两种情况:①点P在AC左边,②点P在AC右边,进行讨论即可求解;
(3)先作出图形,再根据矩形的性质即可求解.
【详解】
解:(1)∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中,点A(−1,0)、B(0,4)、C(3,2),
∴点D的坐标为(2,−2),
∴S▱ABCD=6×4−×1×4−×3×2−×1×4−×3×2=14,
∵点G是对角线AC的中点,
∴S四边形BEFC=S▱ABCD=7;
(2)∵点G是对角线AC的中点,
∴G(1,1),
设直线GH的解析式为y=kx+b,
则,
解得,
∴直线GH的解析式为y=−x+;
①点P在AC右边,
S△ACH=×6×2=6,
∵S△PAC=S四边形BEFC,
1+4×=,
当x=时,y=−×+=−,
∴P(,−);
②点P在AC左边,
由中点坐标公式可得P(−,);
综上所述,点P的坐标为(,−)或(−,);
(3)如图,
设直线GK的解析式为y=kx+b,则,
解得,
则直线GK的解析式为y=−x+,
CP⊥AP时,点P的坐标为(3,0)或(−1,2);
CP⊥AC时,直线AC的解析式为y=x+,
直线CP的解析式为y=−2x+8,
故点P的坐标为(,−);
AP⊥AC时,
同理可得点P的坐标为(−,);
综上所述,点P的坐标为(3,0)或(−1,2)或(,−)或(−,).
本题考查四边形的综合题、矩形的性质、三角形和四边形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式,学会用方程的思想思考问题,属于中考压轴题.
18、(1) (2)
【解析】
根据二次根式的性质化简,再合并同类二次根式即可.
根据乘方、0指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质化简后,再合并即可.
【详解】
(1)÷-×+=
(2)(-1)101+(π-3)0+-=
本题考查的是二次根式的性质及实数的运算,掌握二次根式的性质及乘方、0指数幂、负整数指数幂是关键.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 真
【解析】
分析:把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形,结论是斜边上的中线等于斜边的一半,故其逆命题:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
详解:定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.它是真命题.
故答案为如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;真.
点睛:本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
20、
【解析】
试题解析:由题意得,6-x≥0,
解得,x≤6.
21、1
【解析】
由基本作图得到,平分,故可得出四边形是菱形,由菱形的性质可知,故可得出的长,再由勾股定理即可得出的长,进而得出结论.
【详解】
解:连结,与交于点,
四边形是平行四边形,,
四边形是菱形,
,,.
,
在中,,
.
故答案为:1.
本题考查的是作图基本作图,熟知平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质是解决问题的关键.
22、
【解析】
由矩形的性质可证明S△DFP=S△PBE,即可求解.
【详解】
解:作PM⊥AD于M,交BC于N.
则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5,
∴S阴=5+5=10,
故答案为:10.
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明S△DFP=S△PBE.
23、7.2cm或cm
【解析】
①边长3.6cm为短边时,
∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OB,
∵两对角线的夹角为60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB=3.6cm,
∴AC=BD=2OA=7.2cm;
②边长3.6cm为长边时,
∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB,
∵两对角线的夹角为60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB,BD=2OB,∠ABD=60°,
∴OB=AB= ,
∴BD=;
故答案是:7.2cm或cm.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、.
【解析】
先把二次根式化为最简二次根式,然后合并后进行二次根式的除法运算.
【详解】
解:原式
.
本题考查了二次根式的混合运算,解题关键在于结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径.
25、解:(1)设商场计划购进空调x台,则计划购进彩电(30﹣x)台,由题意,得
y=(6100﹣5400)x+(3900﹣3500)(30﹣x)=300x+12000。
(2)依题意,得,
解得10≤x≤。
∵x为整数,∴x=10,11,12。∴商场有三种方案可供选择:
方案1:购空调10台,购彩电20台;
方案2:购空调11台,购彩电19台;
方案3:购空调12台,购彩电18台。
(3)∵y=300x+12000,k=300>0,∴y随x的增大而增大。
∴当x=12时,y有最大值,y最大=300×12+12000=15600元.
故选择方案3:购空调12台,购彩电18台时,商场获利最大,最大利润是15600元。
【解析】(1)y=(空调售价﹣空调进价)x+(彩电售价﹣彩电进价)×(30﹣x)。
(2)根据用于一次性购进空调、彩电共30台,总资金为12.8万元,全部销售后利润不少于1.5万元.得到一元一次不等式组,求出满足题意的x的正整数值即可。
(3)利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大,并求此时的最大利润即可。
考点:一次函数和一元一次不等式组的应用,由实际问题列函数关系式,一次函数的性质。
26、(2)y=2x+2;(2)x<﹣2或0<x<2;(3)(0,﹣4),(0,4)或(2,4).
【解析】
(2)首先将A点坐标代入反比例函数,进而计算出k的值,再将B点代入反比例函数的关系式,求得参数m的值,再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
(2)根据题意要使>ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上,观察图象即可得到x的取值范围.
(3)首先写出A、C的坐标,再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.
【详解】
解:(2)将A(2,4)代入y=,得:4=k,
∴反比例函数的关系式为y=;
当y=﹣2时,﹣2=,解得:m=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2).
将A(2,4),B(﹣2,﹣2)代入y=ax+b,得: ,
解得:,
∴一次函数的关系式为y=2x+2.
(2)观察函数图象,可知:当x<﹣2或0<x<2时,反比例函数图象在一次函数图象上方,
∴使得>ax+b成立的自变量x的取值范围为x<﹣2或0<x<2.
(3)∵点A的坐标为(2,4),
∴点C的坐标为(2,0).
设点D的坐标为(c,d),分三种情况考虑,如图所示:
①当OC为对角线时, ,
解得: ,
∴点D2的坐标为(0,﹣4);
②当OA为对角线时,
解得:
∴点D2的坐标为(0,4);
③当AC为对角线时, ,
解得: ,
∴点D3的坐标为(2,4).
综上所述:以A,O,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形时,点D的坐标为(0,﹣4),(0,4)或(2,4).
本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题,综合性比较强,但是也很容易,应当熟练掌握.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
分数
7分
8分
9分
10分
人数
11
0
8
品种
购买价(元/棵)
成活率
空调
彩电
进价(元/台)
5400
3500
售价(元/台)
6100
3900