重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期检测六数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期检测六数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、在等差数列中,,,则( )
A.4B.5C.6D.8
2、已知随机事件A和B互斥,且,,则等于( )
A.0.8B.0.7C.0.5D.0.2
3、记等差数列的公差为,若是与的等差中项,则d的值为( )
A.0B.C.1D.2
4、“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列的项数为( )
A.132B.133C.134D.135
5、已知满足对一切正整数n均有且恒成立,则实数的范围是( )
A.B.C.D.
6、在椭圆中,已知焦距为2,椭圆上的一点P与两个焦点,的距离的和等于4,且,则的面积为( )
A.B.C.D.
7、“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,数列中的一系列数字常被人们称为神奇数,具体数列为1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契”数列,为数列的前n项和,若,则( )
A.B.C.D.
8、已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若A为线段的中点,且,则C的离心率为( )
A.B.2C.D.3
二、多项选择题
9、数列的前n项和为,已知,则下列说法正确的是( )
A.数列是递增数列B.
C.当时,D.当或4时,取得最大值
10、一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球,分别标有数字1,2,3,现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球;方案二：先后不放回的摸出两个球,若第二次摸出的球号码比第一次大,则选择第二次摸出的球,否则选择未被摸出的球;方案三：同时摸出两个球,选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为,,,则( )
A.B.C.D.
11、若正项数列是等差数列,且,则( )
A.当时,B.的取值范围是
C.当为整数时,的最大值为29D.公差d的取值范围是
12、如图,已知矩形ABCD中,,.点E为线段CD上一动点（不与点D重合）,将沿AE向上翻折到,连接PB,PC.设,二面角的大小为,则下列说法正确的有( )
A.若,,则
B.若,则存在,使得平面PAE
C.若,则直线PB与平面ABC所成角的正切值的最大值为
D.点A到平面PBC的距离的最大值为,当且仅当且时取得该最大值
三、填空题
13、若一数列为1,,,,…,则是这个数列的第________项.
14、数列满足：,则的值为_____________.
15、已知抛物线焦点为F,斜率为k的直线过F交抛物线于A,B,AB中点为Q,若圆上存在点P使得,则k的取值范围是___________.
四、双空题
16、甲、乙二人进行射击游戏,甲、乙射击击中与否是相互独立事件,规则如下：若射击一次击中,则此人继续射击;若射击一次不中,就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为,且第一次由甲开始射击,则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是_________;第3次由甲射击的概率是_________．
五、解答题
17、已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
（1）求抛物线C的方程;
（2）过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且,求线段AB的中点M到准线的距离.
18、为普及消防安全知识,某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,,甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率;
（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（3）若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
19、已知点,依次为双曲线的左右焦点,,,.
（1）若,以为方向向量的直线l经过,求到的距离.
（2）在（1）的条件下,双曲线C上是否存在点P,使得,若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
20、2023年10月22日,汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行,志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障,襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组：第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数;
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人,担任本市的宣传者．
①现计划从第一组和第二组抽取的人中,再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自不同组的概率．
②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70,据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．
21、如图①,在直角梯形ABCD中,,,.将沿AC折起,使平面平面ABC,连BD,得如图②的几何体.
（1）求证：平面平面DBC;
（2）若,二面角的平面角的正切值为,在棱AB上是否存在点M使二面角的平面角的余弦值为,若存在,请求出的值,若不存在,说明理由.
22、已知椭圆的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设斜率为k的直线与椭圆C交于,两点,O为坐标原点,若的面积为定值,判断是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析：由等差数列的性质可知,
又,故,
设等差数列的公差为d,则,
所以.
故选：C.
2、答案：B
解析：因为A和B互斥,
所以,
又,
所以,
因为,
所以.
故选：B.
3、答案：C
解析：等差数列的公差为d,由是与的等差中项,得,
即,整理得,而,解得,
所以d值为1.
故选：C.
4、答案：C
解析：由题设,且,
所以,可得且.
所以此数列的项数为134.
故选：C.
5、答案：C
解析：因为满足对一切正整数n均有且恒成立,
即恒成立,化为,
可知对一切正整数n恒成立,所以,
故选：C.
6、答案：D
解析：由题可知,焦距,则,又椭圆上的一点P与两个焦点,的距离的和等于4,
即,所以,
在中,,
由余弦定理得：,
整理得,所以,则,故的面积.
故选：D.
7、答案：C
解析：
,
.
故选：C.
8、答案：B
解析：由题意可知,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,当两个交点分别在第二和第三象限时不符合,
A为线段的中点,当交点在x轴上方或x轴下方时,根据对称性结果是一样的,选择一种即可,如图.
根据双曲线可得,,,两条渐近线方程,
,O为的中点,
,又A为线段的中点,OA垂直平分,
可设直线为①,直线为②,直线BO为③,
由②③得,交点坐标,点B还在直线上,,可得,
,所以双曲线C的离心率,
故选：B.
9、答案：BCD
解析：数列的前n项和,当时,,
而满足上式,所以,B正确;
数列是公差为-2的等差数列,是单调递减的,A不正确;
当时,,C正确;
当时,,即数列前3项均为正,第4项为0,从第5项起为负,
因此当或4时,取得最大值,D正确
故选：BCD.
10、答案：ABD
解析：方案一：“选到3号球”的概率,
方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球,或第一次2号球,第二次1号球,则“选到3号球”的概率,
方案三：同时摸出两个球共有：,,共3个基本事件,“选到3号球”包含,共2个基本事件,“选到3号球”的概率.
,,,,ABD正确,C错误.
故选：ABD.
11、答案：ABC
解析：当,时,公差,,故A正确;
因为是正项等差数列,所以,即,且,
所以公差d的取值范围是,故D错误;
因为,所以的取值范围是,故B正确;
,当为整数时,的最大值为29,故C正确;
故选：ABC.
12、答案：AD
解析：对A,取AE中点M,连接BM,PM,BE,
则有,且,所以,
又平面平面ABE,平面平面,平面ABE,
所以平面PAE,平面PAE,
故,,
在直角三角形PAE中,,
所以,
在中,由余弦定理得：,A正确;
对B,同选项A,知,若平面PAE,
且平面PAE,则,
且,PB,平面PBM,
所以平面PBM,平面PBM,所以,显然矛盾,B错误;
对C,连接BD交AE于点F,因为几何关系可知,,
所以,
又因为,
所以,所以,
即,则,,,DF,平面BDP,
所以平面BDP,平面ABE,
所以平面平面ABE,故所求线面角为.
又点P在以F为圆心,PF为半径的圆上,
从而当直线PB与圆F相切时,最大,
故,从而,C错误;
对D,点A到平面PBC的距离,
等号成立当且仅当平面PBC,
因为BP,平面PBC,所以,从而,
且矩形ABCD中,,,AB,平面PAB,
所以平面PAB,过P作于点H.
连接DH,在直角三角形PAB中,
由等面积法可得,,所以,
所以,
因以平面PAB,平面PAB,
,,AB,平面ABCD,
所以平面ABCD,
由翻折知,故,解得,即.
又由二面角的面积射影知：,D正确;
故选：AD.
13、答案：15
解析：数列的指数分别是0,7,14,21,…,
则指数部分构成首项为0,公差为的等差数列,
则对应指数的通项公式为,
由,
所以是这个数列的第15项.
故答案为：15.
14、答案：-3
解析：,,
当时,,
当时,,
依此类推,,,,
数列为周期数列,周期,
.
故答案为：-3.
15、答案：
解析：设AB中点为,即,P在AB为直径的圆上,所以只需该圆与AB为直径的圆有公共点即可.
设直线,联立得
解得,,
所以圆心距,即可（不可能内含）
则化简得,
代入得,
故答案为：
16、答案：①②
解析：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中,第2次甲未击中,故概率是;
第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中,第2次甲还击中;第1次甲未击中,第2次乙也未击中,
故概率是.
故答案为：;.
17、答案：（1）双曲线的焦点坐标为,
又抛物线的焦点,
,即.
抛物线C的方程为.
（2）设,,由抛物线定义,
知,
,于是线段AB的中点M的横坐标是3,
又准线方程是,
点M到准线的距离等于.
18、答案：（1）
（2）派甲参赛获胜的概率更大
（3）
解析：（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”,“甲在第二轮比赛中胜出”,
“乙在第一轮比赛中胜出”,“乙在第二轮比赛中胜出”,
则,,,相互独立,且,,,,
设“甲在比赛中恰好赢一轮”
则;
（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛,则“甲赢得比赛”,“乙赢得比赛”,
所以,
,
因为,所以派甲参赛获胜的概率更大;
（3）设“甲赢得比赛”,“乙赢得比赛”,
于是“两人中至少有一人赢得比赛”,
由（2）知,,
所以,
,
所以.
19、答案：（1）
（2）无解,不存在
解析：（1）由题意可知：,,,
则,可知双曲线的方程为,
因为为直线l的方向向量,则直线l的斜率,
且点在直线l上,则直线方程为,即,
所以到l的距离.
（2）由题意可知：,设,
则,
因为,整理得：,
由点P在双曲线上,则,
可得：,即,
所以,无解,所以不存在.
20、答案：（1）第25百分位数为63
（2）
解析：（1）由题意可知：,
解得,
可知每组的频率依次为：0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,
所以平均数等于,
因为,
设第25百分位数为,
则,
解得,
第25百分位数为63．
（2）①根据分层抽样,和的频率比为,
故在和中分别选取1人和5人,分别编号为A和1,2,3,4,5,
则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：
,,,,A5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,
共15个,即,
记事件B“两人来自不同组”,则B包含的样本点有,,,,共5个,
即,所以
②设第二组、第四组的平均数与方差分别为,,,,
且两组频率之比为,
成绩在第二组、第四组的平均数
成绩在第二组、第四组的方差
,
故估计成绩在第二组、第四组的方差是．
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）平面平面ABC,平面平面,,平面ABC,
平面ACD,
平面ACD,
,
,,DC,平面BCD,
平面BCD,
平面ACD,
平面平面BCD.
（2）由（1）知平面BCD,,而平面BCD,故.
为二面角的平面角,
又平面ACD,平面ACD,
,,
,.
在①, ,
令,则,
解得.即,.
在下图中作,H垂足.
则可得,.
平面平面ABC,平面ACD,平面平面,
平面ABC,
过C作,以C为原点,CA,CB,分别x为轴y轴z轴建立如图直角坐标系,
则
,,,.
,,
设,.
设平面CBD的法向量为,
则,,取,,即,
设平面CMD法向量为,
则,
取,,.即.
.
解得（舍去）,或.
.
22、答案：（1）
（2）6
解析：（1）由题意：,
由知：,
故椭圆C的标准方程为,
（2）设,①
椭圆.②
联立①②得：,
,即
,
O到直线l的距离,
,
,即,
.