梅河口市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份梅河口市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,满足,,则( )
A.B.2C.D.4
4．已知椭圆的上焦点为,则( )
A.B.5C.D.7
5．设函数(且)在区间上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．第19届亚运会在杭州举行,为了弘扬“奉献,友爱,互助,进步”的志愿服务精神,5名大学生将前往3个场馆A,B,C开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者,则当甲不去场馆A时,场馆B仅有2名志愿者的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知正方形ABCD的边长为1,将正方形ABCD绕着边CD旋转至EFCD,P,Q分别为线段CE,BD上的动点,且,若,则PQ的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的离心率为2,左､右顶点分别为,,右焦点为F,B,C是E上位于第一象限的两点,,若,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列等式中正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知,,若,则( )
A.B.C.ab的最大值为D.的最小值为8
11．已知双曲线的渐近线方程为,则下列结论正确的是( )
A.B.C的离心率为
C.曲线经过C的一个顶点D.与有相同的渐近线
12．已知数列,下列结论正确的有( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,则数列是等比数列
D.若为等差数列的前n项和,则数列为等差数列
三、填空题
13．已知向量,,则在上的投影向量的坐标为______.
14．已知函数在区间上的最大值为M,最小值为m,则______.
15．若函数的定义域为,则函数的定义域为__________.
16．已知椭圆,,为C左､右焦点,P为C上的一个动点(异于左右顶点),设的外接圆面积为,内切圆面积为,则的最小值为__________.
四、解答题
17．已知集合,.
（1）若,求实数a的取值范围;
（2）若,求实数a的取值范围.
18．已知向量,,设函数.
（1）求的最小正周期;
（2）当时,求函数的最小值.
19．2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“”模式.为响应这一政策,某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程.甲,乙两位同学在学习围棋后,切磋围棋棋艺.已知甲先手时.甲获胜的概率为,乙先手时,乙获胜的概率为,每局无平局,且每局比赛的胜负相互独立,第一局甲先手.
（1）若每局负者下一局先手,两人连下3局,求乙至少胜两局的概率;
（2）若每局甲都先手,胜者得1分,负者得0分,先得3分者获胜且比赛结束,比赛结束时,负者的积分为,求的分布列与数学期望.
20．设为数列的前项和,已知为等比数列,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）已知,设,记为数列的前n项和,证明:.
21．已知正项数列是公差为2的等差数列,且,9,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
22．已知函数,.
（1）当时,求的单调区间;
（2）若是的极小值点,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,
所以.
故选:A.
2．答案：C
解析：
3．答案：A
解析：因为,,
所以,
故选:A.
4．答案：C
解析：因为椭圆的焦点在y轴上,所以,.因为,所以,所以.
故选:C.
5．答案：A
解析：依题意,在上恒成立,
记,则在上恒成立,
在上单调递增,所以只需,解得.
故选:A.
6．答案：B
解析：不考虑甲是否去场馆A,
所有志愿者分配方案总数为,
甲去场馆A,B,C的概率相等,所以甲去场馆B或C的总数为,
甲不去场馆A,分两种情况讨论,
情形一,甲去场馆B,场馆B有两名志愿者共有种;
情形二,甲去场馆C,场馆B场馆C均有两人共有种;
场馆B场馆A均有两人共有种,所以甲不去场馆A时,
场馆B仅有2名志愿者的概率为,
故选:B.
7．答案：A
解析：由于,,则,在中,,,
利用余弦定理可得,,
故,
过P作CD的垂线,垂足为M,由,
,
故平面PMQ,
又平面PMQ,所以,所以,
不妨设,则,
由余弦定理得,,
故选:A.
8．答案：D
解析：设双曲线的焦距为2c,左焦点为,离心率,则,,
在中,由余弦定理得,
所以,所以,又,所以,设,则,,
所以,
所以,,
故选:D.
9．答案：AB
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ACD
解析：双曲线的渐近线方程为,
所以,解得,(舍去),故A正确;
双曲线,
所以C的离心率为,故B错误;
双曲线的顶点为,
因为,所以曲线经过C的一个顶点,故C正确;
对于D,令,则,即的渐近线方程为,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：AC
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：6
解析：设,
则的定义域为R,且连续不断,
由,可知为奇函数,
设在上的最大值为,
由奇函数的对称性可知在上的最小值为,
则函数在区间上的最大值为,
最小值为,
所以.
故答案为:6.
15．答案：
解析：,;
的定义域为,
要使有意义,需满足,解得,
函数的定义域为.
故答案为:.
16．答案：
解析：椭圆,
,,,
为C上的一个动点(异于左右顶点),
设,当P位于椭圆短轴端点时,最大,
此时为等边三角形且,
,,
设的外接圆半径,内切圆半径分别为R,r,
由正弦定理得,
,
.
又的周长为,
,且,
,,
,当且仅当,
即,即时,取等号,
此时,
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
所以,即,
故a的取值范围为.
（2）因为,
所以或,
所以,
故a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由向量,,
可得
,
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知,
当时,
可得,
所以当时,
即,
函数的最小值为,
即最小值点为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设事件A为乙至少胜两局,则乙有负胜胜,胜负胜,胜胜负,胜胜胜四种情况,
所以;
（2）依题意可得的所有可能结果为0,1,2,
则,,
,
所以的分布列为
所以;
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）为数列的前n项和,,
则有,所以,等比数列的公比为2,
又,所以;
（2）证明:由（1）知,,当时,,
所以,所以,
则,
因此.
21．答案：（1）;
（2）
解析：（1）因为数列是公差为2的等差数列,所以,
则,
又,9,成等比数列,所以,
解得或,因为数列为正项数列,所以.
所以,
故.
（2）由（1）得,
所以,
所以
故.
22．答案：（1）在上单调递减
（2）
解析：（1）当时,,
设,则,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,取得极大值,所以,
所以,在上单调递减;
（2）
设,则,
(i)当时,二次函数开口向上,对称轴为,,当时,,,单调递增,因为,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以是的极小值点.
当时,,又,,
所以存在,使得,所以当时,,单调递增,
又,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以是的极小值点;
(ii)当时,,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,所以是的极小值点;
(iii)当时,
开口向下,对称轴为,,
此时,故,使,
当时,,,因此在上单调递增,又,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,所以为的极小值点;
(iv)当时,,,使,
当时,,,因此在上单调递减,又,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,所以为的极大值点;
(v)当时,由（1）知非极小值点.
综上所述,.
0
1
2
P