浙江省杭州市西湖区公益中学2023—2024学年九年级下学期3月月考数学试卷+

这是一份浙江省杭州市西湖区公益中学2023—2024学年九年级下学期3月月考数学试卷+，共30页。试卷主要包含了的绝对值是，下列运算正确的是，关于的二次函数，甲同学认为等内容，欢迎下载使用。

1．的绝对值是
A．B．C．D． 10
2．下列运算正确的是
A．B．C．D．
3．今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：”尔滨，你让我感到陌生！“因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是
A．B．C．D．
5．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能
（参考数据：，
A．B．C．D．
6．如图，半径长，点、、是三等分点，点为圆上一点，连接，且，交于点，则
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是
A．B．C．D．
8．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是
A．B．C．D．
9．关于的二次函数，甲同学认为：若，则当时，随的增大而增大．乙同学认为：若该二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，则的值是1或．以下对两位同学的看法判断正确的是
A．甲、乙都错误B．甲、乙都正确
C．甲正确、乙错误D．甲错误、乙正确
10．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积B． 的面积
C． 的周长D． 的周长
二．填空题（共6小题）
11．代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．如图所示，在菱形中，，，垂足为，若，则菱形周长为 ．
14．底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为 ．
15．已知、、均为实数，且，，则 ．
16．已知：是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作，垂足为点
= 1 \* GB3 ① ， ，则
②若，则 ；
三．解答题（共9小题）
17．如图，在的方格纸中，点，在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直． （2）在图2中画一条线段平分．
18．已知线段，点是线段的黄金分割点．
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
19．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
（1）请估计当很大时，摸到白球的概率为 （精确到．
（2）估算盒子里有白球 个．
（3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出最有可能是多少？
20．在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）如图1，当为中点时，求证：；
（2）如图2，若，，求的长．
21．如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标．
22．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
23．问题提出
（1）如图①，在中，，，点是的外接圆的圆心，则的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形，，，点为的中点，以为直径作半圆，点为半圆上一动点，求、之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
24．如图，在中，，．点是延长线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，若，，，求的大小；
（3）如图2，若点为中点，，，求的长（用含的代数式表示）．
2024浙江省杭州市西湖区公益中学九年级3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．的绝对值是
A．B．C．D． 10
【分析】负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．
2．下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘，除法法则分别判断即可．
【解答】解：，故错误，不符合题意；
，故错误，不符合题意；
，故错误，不符合题意；
，故正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
3．今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：”尔滨，你让我感到陌生！“因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：59.14亿，
故选：．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
5．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 （参考数据：，
A．B．C．D．
【分析】根据题意可得：他耗能，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
某人爬了，该坡角为，则他耗能，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．如图，半径长，点、、是三等分点，点为圆上一点，连接，且，交于点，则
A．B．C．D．
【分析】连接，，，，则，进一步判定为等腰直角三角形，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【解答】解：连接，，，，则，
点、、是〇三等分点，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，，
弧对应和，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握这些结论是解题的关键．
7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是
A．B．C．D．
【分析】由矩形的性质得，，而，则是等边三角形，所以，因为于点，所以为的中点，而是的中点，则，则勾股定理得，则，，即可求得矩形的周长是，于是得到问题的答案．
【解答】解：四边形是矩形，对角线与相交于点，
，，，且，
，
，
是等边三角形，
，
，
于点，
为的中点，
是的中点，，
，
，
，
，
，
，
矩形的周长是，
故选：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
8．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为、、，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，即、，
卡片上诗的作者都是李白的概率是，
故选：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9．关于的二次函数，甲同学认为：若，则当时，随的增大而增大．乙同学认为：若该二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，则的值是1或．以下对两位同学的看法判断正确的是
A．甲、乙都错误B．甲、乙都正确
C．甲正确、乙错误D．甲错误、乙正确
【分析】先求出抛物线对称轴为直线，根据时，，由函数的性质可以判断甲说法正确；二次函数图象与轴交点的横坐标为，，根据二次函数的图象在轴上截得的线段长为3得出，从而得出，再根据根与系数的关系得出，，然后得出关于的方程解方程即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，随的增大而增大，
故甲同学的看法正确；
设二次函数图象与轴交点的横坐标为，，
即关于的方程的两个根为，，
，，
由题意知，，
，
即，
，
化简并整理得：，
解得或，
经检验，或符合题意，
故乙说法正确．
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，关键是掌握根与系数的关系．
10．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积B． 的面积C． 的周长D． 的周长
【分析】在上截取，先证和全等，得出，，再证，于是得出，从而得出的长，即可进行判断．
【解答】解：在上截取，
四边形为正方形，
，，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，
平分，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
即，
，
，
，
，
即要求正方形的面积，则只需要知道的周长，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，综合性较强，需熟练掌握这些知识．
二．填空题（共6小题）
11．代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：根据题意得，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．分解因式： ．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．如图所示，在菱形中，，，垂足为，若，则菱形周长为 40 ．
【分析】由锐角的正切定义得到，设，，由勾股定理求出，由菱形的性质得到．求出，即可求出菱形的周长．
【解答】解：，
，
，
，
设，，
，
四边形是菱形，
．
，
菱形的周长．
故答案为：40．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由锐角的正切，勾股定理求出．得到．
14．底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为 ．
【分析】先求出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线为，
圆锥的侧面展开图的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是求出圆锥的母线和掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．
15．已知、、均为实数，且，，则 ．
【分析】先变形得到，，根据根与系数，、可看作方程，配方得，所以，然后计算和．
【解答】解：，，
、可看作方程的两个实数根，
，
，，即，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解答的关键是理解清楚题意，熟记并灵活运用根与系数的关系．
16．16．已知：是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作，垂足为点
= 1 \* GB3 ① ， ，则
②若，则 ；
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）推导出，可得，过点作交于点，则，再证明，可得，由，即可得；
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
∵ ，
∴
∴ ；
（2）证明：是的直径，
，，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作交于点，
，
，，，
，
，
，
，
∴；
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．如图，在的方格纸中，点，在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直．
（2）在图2中画一条线段平分．
【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；
（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，线段即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．已知线段，点是线段的黄金分割点．
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
【分析】（1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解；
（2）依据题意，由若平分，可得到、的距离相等，从而，又由（1），再结合，即可得解．
【解答】解：（1）点是线段的黄金分割点，，
．
（2）平分，
到、的距离相等．
．
又由（1），
，
．
．
【点评】本题主要考查了黄金分割的意义，解题时要熟练掌握并灵活运用．
19．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
（1）请估计当很大时，摸到白球的概率为 0.6 （精确到．
（2）估算盒子里有白球 个．
（3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出最有可能是多少？
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得；
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；
（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出的值．
【解答】解：（1）根据表中的数据可知，估计当很大时，摸到白球的概率为0.6；
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球（个，
故答案为：24；
（3）根据题意知，，
解得，
答：可以推测出最有可能是10．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20．在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）如图1，当为中点时，求证：；
（2）如图2，若，，求的长．
【分析】（1）由为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得；
（2）根据可得，由求出的长即可．
【解答】解：（1）为等边三角形，
，
，
，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，过点作，交于点，
为等边三角形，
，为等边三角形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到，再找和的关系是解题的关键．
21．如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标．
【分析】（1）直接把，两点的坐标代入一次函数求出，的值，进而得出点坐标，代入双曲线求出的值即可；
（2）设直线交轴于，交轴于，求出，点的坐标，设点的坐标为，根据得出的值，进而得出点坐标．
【解答】解：（1）一次函数的图象经过，两点，
，
解得，
，
，．
将代入，
解得．
反比例函数的解析式为；
（2）设直线交轴于，交轴于，
当时，，
，
当时，，解得，
，
设点的坐标为．
，，
．
的面积为3，
，解得，
．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据函数图象求出不等式的解集是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到，解得．
【解答】解：（1）①，
；
②抛物线中，，
抛物线开口向上，
点，点在抛物线上，对称轴为直线，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
；
（2）由题意可知，点在对称轴的左侧，点，，在对称轴的右侧，
，都有，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，解得，
的取值范围是．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
23．问题提出
（1）如图①，在中，，，点是的外接圆的圆心，则的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形，，，点为的中点，以为直径作半圆，点为半圆上一动点，求、之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
【分析】（1）若交于，则，在中，设，可得，解方程可得的长；
（2）延长交半圆于点，可求出此时、之间的最大距离为的长即可；
（3）先求出所在圆的半径，过点作，垂足为，连接并延长交于点，则为入口到上一点的最大距离，求出长即可求出修建这条小路花费的最多费用．
【解答】解：（1）如图，若交于，
点是的外接圆的圆心，，
，，
，
在中，，设，
，
解得，
；
故答案为：．
（2）如图，连接，延长交半圆于点，可求出此时、之间的距离最大，
在是任意取一点异于点的，连接，，
，即，
，，
，，
，
、之间的最大距离为7．
（3）作射线交于点，
，，是劣弧，
所在圆的圆心在射线上，
假设圆心为，半径为，连接，则，，，
在中，，
解得：，
（米，
过点作，垂足为，
，，
，
在中，（米，
在中，（米，
，
点在内部，
连接并延长交于点，则为入口到上一点的最大距离，
在上任取一点异于点的点，连接，，
，即，
过点作，垂足为，则（米，（米，
（米，
（米，
修建这条小路最多要花费元．
【点评】本题是圆的综合题，考查了外心的定义、垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题．
24．如图，在中，，．点是延长线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，若，，，求的大小；
（3）如图2，若点为中点，，，求的长（用含的代数式表示）．
【分析】（1）利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用平行线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：或6．
的长为3或6；
（3）解：，，
，
，
点为中点，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
．
，
，
，
，．
，
，
，
，
．
过点作于点，于点，如图，
，
，
由（2）知：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，
．
【点评】本题主要考查了几何的变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/28 0:53:54；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：26025303摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.7
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.7
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602