湖北省武汉市武昌区八校2024年九年级数学第一学期开学达标测试试题【含答案】

这是一份湖北省武汉市武昌区八校2024年九年级数学第一学期开学达标测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值（ ）
A．2B．3C．D．
2、（4分）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4C．2∶3∶4∶5D．3∶4∶4∶3
3、（4分）下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．对顶角相等B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等D．等边三角形是等腰三角形
4、（4分）反比例函数的图象如图所示，以下结论错误的是（ ）
A．
B．若点在图象上，则
C．在每个象限内，的值随值的增大而减小
D．若点，在图象上，则
5、（4分）已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（ ）
A．B．3C．﹣D．﹣3
6、（4分）已知点都在反比例函数图象上，则的大小关系（ ）
A．．B．
C．D．
7、（4分）函数y=x-1的图象是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=8，AC=6，则 =_____．
10、（4分）不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是_____________.
11、（4分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是__．
12、（4分）若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围________.
13、（4分）若ab，则32a__________32b（用“＞”、“”或“＜”填空）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
15、（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网络中，给出了△ABC和△DEF（网点为网格线的交点）
（1）将△ABC向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度，画出平移后的图形△A1B2C3；
（2）画出以点O为对称中心，与△DEF成中心对称的图形△D2E2F2；
（3）求∠C+∠E的度数．
16、（8分）如图，△ABC在直角坐标系中．
（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
17、（10分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度1B.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm.EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB.
18、（10分）如图，四边形中，，平分，交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，的平均数是______．
20、（4分）已知，菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为_________．
21、（4分）若是的小数部分，则的值是__________.
22、（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，则AB的长为______．
23、（4分）点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是_____
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）因式分解：4m2－9n2 ；（2）先化简，再求值：,其中x=2
25、（10分）以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边△ABF和等边△ADE，连接EB，FD，交点为G.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是 ；
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由．
26、（12分）在正方形中，平分交边于点．
（1）尺规作图：过点作于；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由方程有两个相等的实数根，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：m＝1．
故选：A．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
2、A
【解析】
由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
【详解】
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确，B,C,D错误
故选：A．
此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
3、C
【解析】
先分别写出各命题的逆命题，再根据对顶角的概念，全等三角形的判定，平行线的判定以及等腰三角形和等边三角形的关系分别判断即可得解．
【详解】
A、逆命题为：相等的两个角是对顶角，是假命题，故本选项错误；
B、逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，故本选项错误；
C、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，故本选项正确；
D、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误．
故选C．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4、D
【解析】
根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】
解：∵反比例函数的图象位于一、三象限，
∴k＞0故A正确；
当点M （1，3）在图象上时，代入可得k=3，故B正确；
当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，
故C正确；
将A（-1，a），B（2，b）代入中得到，得到a=-k，
∵k＞0
∴a＜b，
故D错误，
故选：D．
本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键
5、B
【解析】
解：把点（1，m）代入y=3x，
可得：m=3
故选B
6、B
【解析】
根据反比例函数图象的性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小判断求解即可．
【详解】
解：∵中，，
∴图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小，
∵点A、B位于第一象限，且，
∴，
∵点C位于第三象限，
∴
∴的大小关系是：
故选：B．
本题考查的知识点是反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解此题的关键．
7、D
【解析】
∵一次函数解析式为y=x-1，
∴令x=0，y=-1．
令y=0，x=1，
即该直线经过点（0，-1）和（1，0）．
故选D．
考点：一次函数的图象．
8、B
【解析】
根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据乘方的意义对D进行判断．
【详解】
A. 不能合并，所以A选项错误；
B. 原式=，所以B选项正确；
C. 原式= ，所以C选项错误；
D. 原式=3，所以D选项错误。
故选B.
此题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4：3
【解析】
作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
===.
故答案为4∶3.
点睛：本题关键在于利用角平分线的性质得出两个三角形的高相等，将两个三角形面积之比转化为对应的底之比.
10、a≤2
【解析】
根据求一元一次不等式组解集的口诀，即可得到关于a的不等式，解出即可.
【详解】
由题意得a≤2.
本题考查的是解一元一次不等式组，解答本题的关键是熟练掌握求一元一次不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不到（无解）.
11、
【解析】
根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等， 根据概率公式计算即可 ．
【详解】
∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，
∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，
∴在圆内随机取一点， 则此点取黑色部分的概率是，
故答案为．
考查的是概率公式、 中心对称图形， 掌握概率公式是解题的关键 ．
12、且
【解析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠1且△=（-2）2-4m＞1，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得m≠1且△=（-2）2-4m＞1，
解得m＜1且m≠1．
故答案为：m＜1且m≠1．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=1时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜1时，方程无实数根．
13、
【解析】
根据不等式的性质进行判断即可
【详解】
解：∵ab，
∴2a2b
∴32a32b
故答案为：＜
本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；（2）共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，案三：采购A型空调12台，B型空调18台；（3）采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
【解析】
分析：（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
详解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30-a）台，
，
解得，10≤a≤12，
∴a=10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
（3）设总费用为w元，
w=9000a+6000（30-a）=3000a+180000，
∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
点睛：本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
15、（1）见解析；（2）见解析；（3）45°
【解析】
（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B2、C3，从而得到△A1B2C3；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出D、E、F的对应点D2、E2、F2，从而得到△D2E2F2；
（3）利用平移和中心对称的性质得到∠C=∠A1C3B2，∠E=∠D2E2F2，则∠C+∠E=∠A1C3F2，连接A1F2，如图，利用勾股定理的逆定理证明△A1F2C3为等腰直角三角形得到∠A1C3F2=45°，从而得到∠C+∠E的度数．
【详解】
（1）如图，△A1B2C3为所作；
（2）如图，△D2E2F2为所作；
（3）∵△ABC平移后的图形△A1B2C3，
∴∠C=∠A1C3B2，
∵△DEF关于点O成中心对称的图形为△D2E2F2，
∴∠E=∠D2E2F2，
∴∠C+∠E=∠A1C3B2+∠D2E2F2=∠A1C3F2，
连接A1F2，如图，A1F2==，A1C3==，F2C3==，
∴A1F22+A1C32=F2C32，
∴△A1F2C3为等腰直角三角形，∠F2A1C3=90°，
∴∠A1C3F2=45°，
∴∠C+∠E的度数为45°．
此题主要考查了作图--平移和中心对称、运用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形的相关知识，解题的关键是正确确定组成图形的关键点在变换后的对应点的位置．
16、 (1)A1(－3,0)，B1(2,3)，C1(－1,4)，图略 (2)S△ABC＝1
【解析】
（1）根据平移的性质，结合已知点A，B，C的坐标，即可写出A1、B1、C1的坐标，（2）根据点的坐标的表示法即可写出各个顶点的坐标，根据S△ABC＝S长方形ADEF﹣S△ABD﹣S△EBC﹣S△ACF，即可求得三角形的面积．
【详解】
（1）如图所示．根据题意得：A1、B1、C1的坐标分别是：A1（﹣3，0），B1（2，3），C1（﹣1，4）；
（2）S△ABC＝S长方形ADEF﹣S△ABD﹣S△EBC﹣S△ACF
＝4×53×53×12×4
＝204
＝1．
本题考查了点的坐标的表示，以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的和或差．
17、9米
【解析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【详解】
解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE=40cm=0.4m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=10m，
∴，
∴BC=7.5米，
∴AB=AC+BC=1.5+7.5=9米．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
18、（1）详见解析；（2）是直角三角形，理由详见解析.
【解析】
(1)利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；
(2)利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．
【详解】
(1)∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)直角三角形，理由如下：
∵四边形AECD是菱形，
∴AE=EC，
∴∠2=∠4，
∵AE=EB，
∴EB=EC，
∴∠5=∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，
∴∠ACB=∠4+∠5=90°，
∴△ACB为直角三角形．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
由平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数.先求数据，，，，的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数.
【详解】
一组数据，，，，的平均数是2，有，那么另一组数据，，，，的平均数是．
故答案为1．
本题考查的是样本平均数的求法及运用，解题的关键是掌握平均数公式：.
20、5：1（或1：5）
【解析】
先根据菱形的性质求出边长，再根据直角三角形的性质求出，得出，即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：四边形是菱形，菱形的周长为8，
，，
，，
，
，
，
故答案为：5：1（或1：5）.
本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含角的直角三角形的判定是解决问题的关键．
21、1
【解析】
先估计的近似值,再求得m,代入计算即可.
【详解】
∵是的小数部分
∴m=-1
把m代入得
故答案为1.
此题主要考查了代数式，熟练掌握无理数是解题的关键.
22、1
【解析】
分析：找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，进而可求出AB的值．
详解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）
在Rt△ADE中，DE=，
∴AD1=4，
∴AD=AB=1．
点睛：本题主要考查轴对称-最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键，此题是道比较不错的习题．
23、（-2，-3）．
【解析】
根据在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标相反即可得出答案.
解：点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是(-2,-3).
故答案为(-2,-3).
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1） （2）2
【解析】
（1）根据平方差公式因式分解即可.
（2）首先将其化简，在代入计算即可.
【详解】
（1）
（2）
代入x=2，原式=
本题主要考查因式分解，这是基本知识，应当熟练掌握.
25、（1）EB=FD；（2）EB=FD，证明见解析；（3）∠EGD不发生变化．
【解析】
（1）利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性质即可得到EB= FD；
（2）利用长方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性质即可得到EB= FD；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不会发生变化，是一个定值，为60°．
【详解】
解：（1）EB＝FD，
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，
∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°，
∵∠FAD＝∠BAD+∠FAB＝90°+60°＝150°，
∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，
∴∠FAD＝∠BAE，
在△AFD和△ABE中，
，
∴△AFD≌△ABE，
∴EB＝FD；
（2）EB＝FD．
证：∵△AFB为等边三角形
∴AF＝AB，∠FAB＝60°
∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°
∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，
即∠FAD＝∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB＝FD；
（3）解：不会发生改变；
同（2）易证：△FAD≌△BAE，
∴∠AEB＝∠ADF，
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，
∴∠EGD＝180°﹣∠BED﹣∠EDF
＝180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°
＝60°．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．
26、（1）作图见解析；（2）67.5°．
【解析】
（1）利用基本作图作EF⊥BD于F；
（2）利用正方形的性质得到∠DBC=45°，∠BCD=90°，再根据角平分线的性质得到EF=EC，则∠EFC=∠ECB，然后利用等角的余角相等和三角形等角和计算∠BCF的度数．
【详解】
（1）如图，EF为所作；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，∠BCD=90°，
∵BE平分∠CBD，EF⊥BD，CE⊥BC，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECB，
∴∠BFC=∠BCF=（180°-45°）=67.5°．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了正方形的性质．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人