2024年湖北省武汉市武昌区南湖中学九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份2024年湖北省武汉市武昌区南湖中学九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）正三角形、正方形、等腰直角三角形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．等腰直角三角形D．平行四边形
2、（4分）如果把分式中的、都扩大到10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍B．不变C．扩大20倍D．是原来的
3、（4分）打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=-10，则ab的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-50 D．50
5、（4分）若kb＜0，则一次函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
6、（4分）某校八（5）班为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，最终决定买哪些水果．下面的调查数据中您认为最值得关注的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
7、（4分）下列调查方法合适的是（ ）
A．为了了解冰箱的使用寿命，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
D．对“神舟十一号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式
8、（4分）如图，是的角平分线，，垂足分别为点 ，若和的面积分别为和，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）分解因式：m2-9m=______．
10、（4分）某种细菌的直径约为0.00 000 002米，用科学记数法表示该细菌的直径约为____米.
11、（4分）已知一次函数的图象经过两点，，则这个函数的表达式为__________．
12、（4分）对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，最适合采用的调查方式是_____．
13、（4分）将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为提高市民的精神生活美化城市环境，城市管理局从外地新进一批绿化树苗，现有两种运输方式可供选择，
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费500元，另外每公里再加收5元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费900元，另外每公里再加收3元.
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用为（元）、（元）与运输路程（公里）之间的函数关系式；
（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
15、（8分）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以为邻边作矩形，连接.
（1）求证：矩形是正方形；
（2）判断与之间的数量关系，并给出证明.
16、（8分）如图，已知是线段的中点，，且，试说明的理由．
17、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，作CF⊥BE于F．
(1)求证：BF=EF；
(2)若AB=8，DE=4，求平行四边形ABCD的周长．
18、（10分）如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数：y2＝ax+b的图象相交于点A（1，4）、B（m，﹣2）
（1）求出反比例函数和一次函数的关系式；
（2）观察图象，直按写出使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围；
（3）如果点C是x轴上的点，且△ABC的面积面积为6，求点C的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则△PBD与△PAC的面积比为_____．
20、（4分）计算：＝_____.
21、（4分）如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝________．
22、（4分） 分解因式：9a﹣a3＝_____．
23、（4分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线，则图1中对角线AC的长为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，直线分别与轴，轴交于两点，与直线交于点.
（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________
（2）在线段上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形是平行四边形.
25、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
26、（12分）如图，直线与直线和直线分别交于点（在的上方）.
直线和直线交于点，点的坐标为 ；
求线段的长（用含的代数式表示）；
点是轴上一动点，且为等腰直角三角形，求的值及点的坐标.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题分析：正三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：正方形，
故选B．
考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形
2、A
【解析】
利用分式的基本性质即可求出答案.
【详解】
用10x和10y代替式子中的x和y得：
原式=
=
∴分式的值扩大为原来的10倍.
选A.
本题考查了分式的基本性质。
3、D
【解析】
解：因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除B，清洗时水量大致不变，函数图象与x轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除A，对于C、D，因为题目中明确说明了一开始时洗衣机内无水．故选D．
4、A
【解析】
试题分析：先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．
当a+b=5时，a1b+ab1=ab（a+b）=5ab=-10，解得：ab=-1．
考点：因式分解的应用．
5、D
【解析】
根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
【详解】
∵kb<0，
∴k、b异号。
①当k>0时，b<0，此时一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
②当k<0时，b>0，此时一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
综上所述，当kb<0时，一次函数y=kx+b的图象一定经过第一、四象限。
故选：D
此题考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于判断图象的位置关系
6、C
【解析】
根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【详解】
解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．
既然是为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，
故最值得关注的是众数．
故选：C．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7、C
【解析】
A. 为了了解冰箱的使用寿命，采用普查的方式，故A错误；
B. 为了了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式，故B错误；
C. 为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式，故C正确；
D. 对“神舟十一号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式，故D错误；
故选C.
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
8、C
【解析】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
【详解】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL)，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG−S△ADM=50−39=11，
S△DNM=S△EDF= S△MDG=×11=5.5.
故选C.
此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、m(m-9)
【解析】
直接提取公因式m即可．
【详解】
原式=m(m-9)．
故答案为：m(m-9)．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
10、
【解析】
试题解析：0.00 000 002=2×10-8.
点睛：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11、
【解析】
设一次函数的解析式是：y=kx+b，然后把点，代入得到一个关于k和b的方程组，从而求得k、b的值，进而求得函数解析式．
【详解】
解：设一次函数的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则一次函数的解析式是：．
故答案是：．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
12、普查
【解析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】
对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查是事关重大的调查，最适合采用的调查方式是普查．
故答案为：普查
本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.
13、2cm≤h≤3cm
【解析】
解：根据直角三角形的勾股定理可知筷子最长在水里面的长度为13cm，最短为12cm，
则筷子露在外面部分的取值范围为：.
故答案为：2cm≤h≤3cm
本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理的实际应用问题.在解决“竹竿过门”、立体图形中最大值的问题时，我们一般都会采用勾股定理来进行说明，从而得出答案.我们在解决在几何体中求最短距离的时候，我们一般也是将立体图形转化为平面图形，然后利用勾股定理来进行求解.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）当运输路程等于200千米时，，用两种运输方式一样；当运输路程小于200千米时，，用邮车运输较好；当运输路程大于200千米时，，用火车运输较好.
【解析】
（1）根据方式一、二的收费标准即可得出y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式．
（2）比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式．
【详解】
解：（1）由题意得：，；
（2）令，解得，
∴当运输路程等于200千米时，，用两种运输方式一样；
当运输路程小于200千米时，，用邮车运输较好；
当运输路程大于200千米时，，用火车运输较好.
此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意所述两种运输方式的收费标准，得出总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）关系式．
15、（1）详见解析；（2），理由详见解析.
【解析】
作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE=EF即可；
根据四边形的性质即全等三角形的性质即可证明，即可得在中，则
【详解】
证明：（1）过作于点，过作于点，如图所示：
正方形，，
，且，
四边形为正方形
四边形是矩形，，.，
又，
在和中，
，，
矩形为正方形，
（2）矩形为正方形，，
四边形是正方形，，，
，
在和中，，
，，
在中，，
本题考查正方形的判定与性质，解题关键在于证明.
16、见解析
【解析】
根据中点定义求出AC=CB，两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后证明△ACD和△CBE全等，再利用全等三角形的对应角相等进行解答．
【详解】
解：∵C是AB的中点，
∴AC=CB（线段中点的定义）．）
∵CD∥BE（已知），
∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
∴∠D=∠E（全等三角形的对应角相等）．
本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用SAS定理进行证明是关键．
17、 (1)证明见解析；(2)1.
【解析】
（1）只要证明CB=CE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
（2）根据CE=CB，求出BC的长即可解决问题.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠E=∠CBE，
∴CB=CE，
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=8，
∵DE=4，
∴BC=CE=12，
∴平行四边形ABCD的周长为2（AB+BC）=1．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
18、（1）反比例函数的解析式为y1＝，一次函数的解析式为 y1＝1x+1；（1）﹣1＜x＜0或x＞1；（3）C的坐标（1，0）或（﹣3，0）．
【解析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得答案．
【详解】
（1）∵函数y1＝的图象过点A（1，4），即4＝，
∴k＝4，即y1＝，
又∵点B（m，﹣1）在y1＝上，
∴m＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣1），
又∵一次函数y1＝ax+b过A、B两点，
即 ，
解之得．
∴y1＝1x+1．
反比例函数的解析式为y1＝，
一次函数的解析式为 y1＝1x+1；
（1）要使y1＜y1，即函数y1的图象总在函数y1的图象下方，
∴﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）如图，直线AB与x轴交点E的坐标（﹣1，0），
∴S△ABC＝S△AEC+S△BEC＝EC×4+EC×1＝2．
∴EC＝1，
-1+1=1，-1-1=-3，
∴C的坐标（1，0）或（﹣3，0）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，函数与不等式的关系．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1:1
【解析】
以点A为原点，建立平面直角坐标系，则点B（3，1），C（3，0），D（2，1），如下图所示：
设直线AB的解析式为yAB=kx,直线CD的解析式为yCD=ax+b,
∵点B在直线AB上，点C、D在直线CD上，
∴1=3k, 解得:k= , ，
∴yAB=x, yCD=-x+3,
∴点P的坐标为（ ， ），
∴S△PBD ：S△PAC＝ ．
故答案是：1:1．
20、
【解析】
先通分，再把分子相加减即可．
【详解】
解：原式=

故答案为：
本题考查的是分式的加减，熟知异分母的分式相加减的法则是解答此题的关键．
21、-1
【解析】
试题分析：由于点A是反比例函数y=上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=1，则k的值为-1．
考点：反比例函数
22、a（3+a）（3﹣a）．
【解析】
先提公因式，再用平方差公式，可得答案．
【详解】
原式=a（9﹣a2）=a（3+a）（3﹣a）．
故答案为：a（3+a）（3﹣a）．
本题考查了因式分解，利用提公因式与平方差公式是解题的关键．
23、
【解析】
如图1，2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】
解：如图1，2中，连接．
在图2中，四边形是正方形，
，，
∵，
cm，
在图1中，四边形ABCD是菱形，，
，
是等边三角形，
cm，
故答案为：．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）（8，0） , （0，4） ；（2）当m为时，四边形OBEF是平行四边形．
【解析】
（1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，再分别令直线的解析式中x=0、y=0求出对应的y、x值，即可得出点A、B的坐标；
（2）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，结合点E的横坐标即可得出点E、F的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
【详解】
解：（1）将点C(4,2)代入y=− x+b中，
得：2=−2+b，解得：b=4，
∴直线为y=−x+4.
令y=−x+4中x=0，则y=4，
∴B(0,4)；
令y=−x+4中y=0，则x=8，
∴A(8,0).
故答案为：（8，0）（0，4）
（2）将C（4，2）分别代入y=－x+b， y=kx－1，得b=4，k=2.
∴直线l1的解析式为y=－x+4，直线l2的解析式为y=2x－1．
∵点E的横坐标为m，
∴点E的坐标为（m，－m+4），点F的坐标为（m，2m－1）.
∴EF=－m+4－（2m－1）=－m+2．
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴EF=OB，即－m+2=4.
解得m=.
∴当m为时，四边形OBEF是平行四边形．
此题考查一次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式
25、（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB＝CD， AB∥CD，得证∠BAE＝∠DCF，可以证明△ABE≌△DCF（ASA），从而得出AE＝CF；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF＝∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＝∠BCD，AB∥CD，
∠ABE＝∠CDF．
∵∠DAE＝∠BCF，
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）．
∴AE＝CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
本题考查了平行四边形和全等三角形的问题，掌握平行四边形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理、等角的补角相等是解题的关键．
26、（1）；（2），且；（3）当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为或；当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为；当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为.
【解析】
（1）根据题意联立方程组求解即可.
（2）根据题意，当x=t时，求出D、E点的坐标即可，进而表示DE的长度，注意t的取值范围.
（3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论即可,第一种情况当时；第二种情况当时，第三种情况当时.逐个计算即可.
【详解】
解：根据题意可得：

解得：
所以可得Q点的坐标为；
当时，；当时，.
点坐标为，点坐标为.
在的上方，
，且.
为等腰直角三角形.
或或.
若，时，，如图1.解得.
.
点坐标为.
若，时，如图2，，解得.
点坐标为.
若，时，即为斜边，如图3，可得，即.解得.
的中点坐标为.
点坐标为.
若，和时，即，即，（不符合题意，舍去）
此时直线不存在.
若，时，如图4，即为斜边,可得，即，解得.
.
点坐标为.
综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为或；
当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为；
当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为；
本题主要考查一次函数的相交问题，关键在于第三问中，等腰三角形的分类讨论问题，等腰三角形的分类讨论是常考点，必须熟练掌握计算.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人