黑龙江省齐齐哈尔市建华区2024-2025学年九上数学开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市建华区2024-2025学年九上数学开学学业质量监测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）菱形的对角线长分别是,则这个菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列各式能利用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）直线y=﹣kx+k﹣3与直线y=kx在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）要使代数式有意义，实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
6、（4分）当a＜0，b＜0时，－a＋2－b可变形为（ ）
A．B．－C．D．
7、（4分）有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
8、（4分）要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠－3B．x≥3C．x≤－3D．x≥－3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在矩形中, 与相交于点，,那么的度数为，__________．
10、（4分）使分式有意义的x范围是_____．
11、（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为______．
12、（4分）若整数m满足，且，则m的值为___________.
13、（4分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

15、（8分）如图，已知直线AB的函数解析式为，直线与x轴交于点A,与y轴交于点B．
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若点P(m，n)为线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF；
①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由.
16、（8分）如图1，四边形ABCD是正方形，AB=4，点G在BC边上，BG=3，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
(1)求BF和DE的长；
(2)如图2，连接DF、CE，探究并证明线段DF与CE的数量关系与位置关系．
17、（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）直接写出点B2，C2的坐标．
18、（10分）某中学开展“我的中国梦”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如下图所示．
（1）根据如图，分别求出两班复赛的平均成绩和方差；
（2）根据（1）的计算结果，分析哪个班级5名选手的复赛成绩波动小？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在矩形中，点为的中点，点为上一点，沿折叠，点恰好与点重合，则的值为______.
20、（4分）一组数据15、13、14、13、16、13的众数是______，中位数是______.
21、（4分）以正方形ABCD一边AB为边作等边三角形ABE，则∠CED＝_____．
22、（4分）已知关于的方程会产生增根，则的值为________．
23、（4分）现用甲、乙两种汽车将吨防洪物资运往灾区，甲种汽车载重吨，乙种汽车载重吨，若一共安排辆汽车运送这些物资，则甲种汽车至少应安排 _________辆.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先观察下列等式，再回答问题：
① =1+1=2；
②=2+ =2 ；
③=3+=3；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
25、（10分）A、B两城相距900千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，半小时后一辆出租车从B城开往A城，车速为每小时120千米．设客车出发时间为t（小时）
（1）若客车、出租车距A城的距离分别为y1、y2，写出y1、y2关于t的函数关系式；
（2）若两车相距100千米时，求时间t；
（3）已知客车和出租车在服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案，方案一：继续乘坐出租车到C城，C城距D处60千米，加油后立刻返回B城，出租车加油时间忽略不计；方案二：在D处换乘客车返回B城，试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？
26、（12分）已知函数的图象经过第四象限的点B（3，a），且与x轴相交于原点和点A（7，0）
（1）求k、b的值；
（2）当x为何值时，y＞﹣2；
（3）点C是坐标轴上的点，如果△ABC恰好是以AB为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点C的坐标
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据菱形的面积公式：菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）可得到答案．
【详解】
菱形的面积：
故选：B．
此题主要考查了菱形的面积公式，关键是熟练掌握面积公式．
2、B
【解析】
根据完全平方公式的特点逐一判断以上选项，即可得出答案.
【详解】
（1）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（2）=，故本选项正确；（3）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（4）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误。因此答案选择B.
本题考查的是利用完全平方公式进行因式分解，重点需要掌握完全平方公式的特点：首尾皆为平方的形式，中间则是积的两倍.
3、B
【解析】
若y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，可对A、D进行判断；若y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，则可对B、C进行判断．
【详解】
A、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以A选项错误；
B、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以B选项正确；
C、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以C选项错误；
D、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．
4、B
【解析】
根据二次根式的双重非负性即可求得.
【详解】
代数式有意义，二次根号下被开方数≥0，故
∴
故选B.
本题考查了二次根式有意义的条件，难度低，属于基础题，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题关键.
5、A
【解析】
试题分析：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
考点：特殊四边形的性质
6、C
【解析】
试题解析：∵a＜1，b＜1，
∴-a＞1，-b＞1．
∴－a＋2－b =()2+2+()2，
=()2．
故选C．
7、A
【解析】
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】
去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A．
考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.
8、D
【解析】
根据二次根式的意义，被开方数是非负数.
【详解】
解：根据题意，得
解得，x≥－3.
此题主要考查自变量的取值范围，二次根式有意义的条件.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据矩形的性质可得∠OAD=∠ODA，再根据三角形的外角性质可得∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，从而可求∠OAD度数．
【详解】
∵四边形是矩形
∴OA=OC=OB=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，
∴=∠AOB=×46°=23°
即=23°．
故答案为：23°.
此题考查矩形的性质，解决矩形中角度问题一般会运用矩形对角线分成的四个小三角形的等腰三角形的性质．
10、
【解析】
满足分式有意义的条件：分母不等于零，据此列不等式求出答案.
【详解】
∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：.
此题考查分式有意义的条件：使分式的分母不等于零，熟记使分式有意义的条件是正确解答此题的关键.
11、
【解析】
通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．
【详解】
∵在△ABC中,∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AD=AB=5，
∴CD=AD−AC=1，
∴四边形AEDB的面积为，
故答案为.
本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是熟记旋转前后的对应边相等.
12、，，．
【解析】
由二次根式的性质，得到，结合，即可求出整数m的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴整数m的值为：，，；
故答案为：，，．
本题考查了二次根式的性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，正确得到m的取值范围．
13、56°
【解析】
根据矩形的性质可得AD//BC，继而可得∠FEC=∠1=62°，由折叠的性质可得∠GEF=∠FEC=62°，再根据平角的定义进行求解即可得.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠FEC=∠1=62°，
∵将一张矩形纸片ABCD沿 EF折叠后，点C落在AB边上的点 G 处，
∴∠GEF=∠FEC=62°，
∴∠BEG=180°-∠GEF-∠FEC=56°，
故答案为56°.
本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)证明见解析；(2)见解析.
【解析】
（1）根据“矩形的定义”证明结论；
（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．
【详解】
（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，
∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠A=90°．
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP=∠AHP=90°，
∴四边形AGPH是矩形；
（2）存在．理由如下：
连结AP．
∵四边形AGPH是矩形，
∴GH=AP．
∵当AP⊥BC时AP最短．
∴9×12=15•AP．
∴AP=．
本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．
15、（1）A（4，0），B（0，8）；（2）S =﹣4m+16，（0＜m＜4）；（3），理由见解析
【解析】
试题分析：（1）根据坐标轴上点的特点直接求值，
（2）①由点在直线AB上，找出m与n的关系，再用三角形的面积公式求解即可；
②判断出EF最小时，点P的位置，根据三角形的面积公式直接求解即可．
试题解析：
（1）令x=0，则y=8，
∴B（0，8），
令y=0，则﹣2x+8=0，
∴x=4，
∴A（4，0），
（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，
∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），
∴OA=4，
∴0＜m＜4
∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）；
（3）存在，理由如下：
∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥AB时，此时EF最小，
∵A（4，0），B（0，8），
∴AB=4，
∵S△AOB=OA×OB=AB×OP，
∴OP= ，
∴EF最小=OP=．
【点睛】主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，极值的确定，解本题的关键是求出三角形PAO的面积．
16、（1）；（2）DF=CE，DF⊥CE．理由见解析；
【解析】
分析：（1）如图1，先利用勾股定理计算出AG==5，再利用面积法和勾股定理计算出 然后证明△ABF≌△DAE，得到DE=AF=；
（2）作CH⊥DE于H，如图2，先利用△ABF≌△DAE,得到则与（1）的证明方法一样可得△CDH≌△DAE，则于是可判断EH=EF，接着证明△DEF≌△CHE，所以DF=CE，∠EDF=∠HCE，然后利用三角形内角和得到从而判断DF⊥CE.
详解：(1)如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴
在Rt△ABG中,AG==5，
∵
∴
∴AF===，
∵
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中

∴△ABF≌△DAE，
∴DE=AF=；
(2)DF=CE，DF⊥CE.理由如下：
作CH⊥DE于H，如图2，
∵△ABF≌△DAE,
∴
∴
与(1)的证明方法一样可得△CDH≌△DAE，
∴
∴
∴EH=EF，
在△DEF和△CHE中

∴△DEF≌△CHE，
∴DF=CE，∠EDF=∠HCE，
∵∠1=∠2，
∴
∴DF⊥CE.
点睛：考查正方形的性质, 全等三角形的判定与性质，属于综合题，难度较大.对学生综合能力要求较高.
17、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）点B2（4，－2），C2（1，－3）．
【解析】
试题分析：（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
试题解析：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
18、（1）九(1)班成绩的平均数为85，方差为70；九(2)班成绩的平均数为85，方差为160；（2）九(1)班方差小，成绩波动小
【解析】
（1）从直方图中得到各个选手的得分，由平均数和方差的公式计算；
（2）由方差的意义分析．
【详解】
(1)九(1)班的选手的得分分别为85，75，80，85，100，
∴九(1)班成绩的平均数=(85+75+80+85+100)÷5=85，
九(1)班的方差 =[(85−85) +(75−85) +(80−85) +(85−85) +(100−85) ]÷5=70；
九(2)班的选手的得分分别为70，100，100，75，80，
九(2)班成绩的平均数=(70+100+100+75+80)÷5=85，
九(2)班的方差 =[(70−85) +(100−85) +(100−85) +(75−85) +(80−85) ]÷5=160；
(2)平均数一样的情况下,九(1)班方差小，成绩波动小。
此题考查用样本估计总体，加权平均数，方差，条形统计图，解题关键在于看懂图中数据
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
【分析】由矩形性质可得AB=CD,BC=AD;由对折得AB=BE，设AB=x,根据勾股定理求出BC关于x的表达式，便可得到.
【详解】设AB=x,在矩形ABCD中, AB=CD=x,BC=AD;
因为，E为CD的中点，
所以，CE=，
由对折可知BE=AB=x.
在直角三角形BCE中
BC=，
所以，.
故答案为图（略），
【点睛】本题考核知识点：矩形性质，轴对称. 解题关键点：利用轴对称性质得到相等线段，利用勾股定理得到BE和BC的关系.
20、13 13.5
【解析】
这组数据中出现次数最多的数为众数；把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个，那么中间两个数的平均数即是中位数由此解答．
【详解】
解：∵15、13、14、13、16、13中13出现次数最多有3次，
∴众数为13，
将这组数从小到大排列为：13，13，13，14，15，16，最中间的两个数是13，14，所以中位数=（13+14）÷2=13.5
故答案为：13；13.5.
此题主要考查了中位数和众数的含义．
21、30°或150°．
【解析】
等边△ABE的顶点E可能在正方形外部，也可能在正方形内部，因此分两种情况画出图形进行求解即可.
【详解】
分两种情况：
①当点E在正方形ABCD外侧时，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形
∴∠ABC＝90°，BC＝BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°，
∴∠CBE＝∠CBA+∠ABE＝90°+60°＝150°，
∵BC＝BE，
∴∠BCE═∠BEC＝15°，
同理可得∠EDA═∠DEA＝15°，
∴∠CED＝∠AEB﹣∠CEB﹣∠DEA＝60°﹣15°﹣15°＝30°；
②当点E在正方形ABCD内侧时，如图2所示：
∵∠EAB＝∠AEB＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
同理∠DEB＝∠EDB＝75°，
∴∠CED＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°；
综上所述：∠CED为30°或150°；
故答案为：30°或150°．
本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，正确地进行分类，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
22、1
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x-4），得
2x=k
∵原方程增根为x=4，
∴把x=4代入整式方程，得k=1，
故答案为：1．
此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23、6
【解析】
设甲种汽车安排x辆，则乙种汽车安排10-x辆, 根据两辆汽车载重不少于46吨建立不等式求出其解，即可得出答案.
【详解】
解：设甲种汽车安排x辆，则乙种汽车安排10-x辆，根据题意可得：5x+4(10-x)≥46
解得：x≥6
因此甲种汽车至少应安排6辆.
本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是以载重不少于46吨作为不等量关系列出方程求解.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2），证明见解析．
【解析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立．
【详解】
（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的数字分别为1、2、3，
∴④ ．
（2）观察，发现规律：1+1=2，223344，…，∴ ．
证明：等式左边=n右边．
故n成立．
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
25、（1）y1＝80t，y2＝﹣120t+960；（2）两车相距100千米时，时间为4.3小时或5.3小时；（3）选择方案一能更快到达B城，理由见解析
【解析】
（1）根据路程=速度×时间，即可得出y1、y2关于t的函数关系式；
（2）分两种情况讨论：①y2-y1=100；②y1-y2=100，据此列方程解答即可；
（3）先算出客车和出租车在服务站D处相遇的时间，再分别求出方案一、方案二所需的时间进行比较即可．
【详解】
（1）由题意得y1＝80t
y2＝900﹣120（t﹣0.5）＝﹣120t+960
（2）如果两车相距100千米，分两种情况：
① y2﹣y1＝100，即﹣120t+960﹣80t＝100
解得t＝4.3
② y1﹣y2＝100，即80t﹣（﹣120t+960）＝100
解得t＝5.3
所以，两车相距100千米时，时间为4.3小时或5.3小时．
（3）如果两车相遇，即y1＝y2，80t＝﹣120t+960，解得t＝4.8
此时AD＝80×4.8＝384（千米），BD＝900﹣384＝516（千米）
方案一：t1＝（2×60+516）÷120＝5.3（小时）
方案二：t2＝516÷80＝6.45（小时）
∵t2＞t1
∴方案一更快
答：小王选择方案一能更快到达B城．
本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键根据数量关系找出方程（或函数关系式）．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决此类型题目时，根据数量关系列出方程（或函数关系式），再一步步的进行计算即可．
26、（1）；（2）x＜2或x＞时，有y＞﹣2；（3）点C的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．
【解析】
（1）利用待定系数法可得k和b的值；
（2）将y=-2代入函数中，分别计算x的值，根据图象可得结论；
（3）分两种情况画图，以∠BAC和∠ABC为顶角，根据AB=5和对称的性质可得点C的坐标．
【详解】
（1）当x=3时，a=-3，
∴B（3，-3），
把B（3，-3）和点A（7，0）代入y=kx+b中，
得：，解得：；
（2）当y=-2时，-x=-2，x=2，
，
解得，，
如图1，由图象得：当x＜2或x＞时，y＞-2；
（3）∵B（3，-3）和点A（7，0），
∴AB==5，
①以∠BAC为顶角，AB为腰时，如图2，AC=AB=5，
∴C（2，0）或（12，0）；
②以∠ABC为顶角，AB为腰时，如图3，以B为圆心，以AB为腰画圆，当△ABC是等腰三角形时，此时存在三个点C，
得C3（-1，0），
由C3与C4关于直线 y=-x对称得：C4（0，1）
由C5与点A关于直线y=-x对称得：C5（0，-7）
综上，点C的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．
本题是分段函数与三角形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的判定，同时还要注意运用数形结合与分类讨论的思想解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分