河南省许昌市襄城县2025届九年级数学第一学期开学联考模拟试题【含答案】

这是一份河南省许昌市襄城县2025届九年级数学第一学期开学联考模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为
A．B．C．D．
2、（4分）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，连接，，.添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4、（4分）如果实数满足且不等式的解集是，那么函数的图象只可能是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）已知a、b是方程x2-2x-1=0的两根，则a2+a+3b的值是（ ）
A．7 B．5 C．-5 D．-7
6、（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
7、（4分）一种药品原价每盒 元，经过两次降价后每盒元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下列计算结果正确的是( )
A．＋＝B．3－＝3
C．×＝D．＝5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）当x=2时，二次根式的值为________．
10、（4分）如图，将一个智屏手机抽象成一个的矩形，其中，，然后将它围绕顶点逆时针旋转一周，旋转过程中、、、的对应点依次为、、、，则当为直角三角形时，若旋转角为，则的大小为______.
11、（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49，则正方形A、B、C、D的面积之和为_____．
12、（4分）如图，若△DEF是由△ABC沿BC方向平移得到的，EF＝5，EC＝3，则平移的距离是_____．
13、（4分）若分式的值为零，则x的值为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知ABC，利用尺规在AC边上求作点D，使AD=BD（保留作图痕迹，不写作法）
15、（8分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．
16、（8分）某校为灾区开展了“献出我们的爱”赈灾捐款活动，九年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，因不慎，表中数据有一处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元.
（1）根据以上信息可知，被污染处的数据为 .
（2）该班捐款金额的众数为 ，中位数为 .
（3）如果用九年级（1）班捐款情况作为一个样本，请估计全校2000人中捐款在40元以上（包括40元）的人数是多少？
17、（10分）为了倡导“全民阅读”，某校为调査了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成统计图表如下：
根据以上信息，解答下列问题
（1）共抽样调查了 名学生，a= ；
（2）在扇形统计图中，“D”对应扇形的圆心角为 ；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数．
18、（10分）已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．
（1）观察图形并找出一对全等三角形：△_≌△_，请加以证明；
（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图所示，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，按如下步骤折叠该菱形纸片：
第一步：如图①，将菱形纸片ABCD折叠，使点A的对应点A′恰好落在边CD上，折痕EF分别与边AD、AB交于点E、F，折痕EF与对应点A、A′的连线交于点G．
第二步：如图②，再将四边形纸片BCA′F折叠使点C的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N．
第三步：展开菱形纸片ABCD，连接GC′，则GC′最小值是_____．
20、（4分）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为 ．
21、（4分）如图，在直角坐标平面内的△ABC中，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（5，5），如果要使△ABD与△ABC全等，且点D坐标在第四象限，那么点D的坐标是__________；
22、（4分）一组数据 ，则这组数据的方差是 __________ .
23、（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2……按如图所示放置，点A1、A2、A3……在直线y=x+1上，点C1、C2、C3……在x轴上，则A2019的坐标是___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，等边三角形ABC的边长是6，点D、F分别是BC、AC上的动点，且BD＝CF，以AD为边作等边三角形ADE，连接BF、EF．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）连接DF，当BD的长为何值时，△CDF为直角三角形？
（3）设BD＝x，请用含x的式子表示等边三角形ADE的面积．
25、（10分）（1）解分式方程：
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
26、（12分）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可：
【详解】
解，
∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m.
∴ .故选C.
2、C
【解析】
先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
C、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．
3、C
【解析】
先求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看看是否相等即可．
【详解】
解：A、62+72≠82，所以以6，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+62≠82，所以以5，6，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、42+52=（）2，所以以，4，5为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D、42+52≠62，所以以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4、A
【解析】
先根据不等式kx＜b的解集是判断出k、b的符号，再根据一次函数图象的性质即可解答．
【详解】
∵不等式kx＜b的解集是，
∴k＜0，
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴函数y＝kx＋b的图象过一、二、四象限．
故选：A．
一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．
5、A
【解析】分析：要求a²+a+3b的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可，注意计算不要出错．
详解：由题意知，a+b=2，x²=2x+1，即a²=2a+1，
∴a²+a+3b=2a+1+a+3b
=3（a +b）+1
=3×2+1
=1．
故选A.
点睛：主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
6、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．
【详解】
∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+2≥0，
解得：x≥-2.
故答案选D.
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.
7、D
【解析】
由题意可得出第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，再根据两次降价后的价格为16元列方程即可．
【详解】
解：设每次降价的百分率为，由题意可得出：．
故选：D．
本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，找准题目中的等量关系是解此题的关键．
8、C
【解析】
选项A. 不能计算.A错误.
选项B. ,B错误.
选项C. ,正确.
选项 D. ,D错误.
故选C.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
【分析】把x=2代入二次根式进行计算即可得.
【详解】把x=2代入得，
==3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了二次根式的值，准确计算是解题的关键.
10、或或
【解析】
根据题中得到∠ADE=30°,则∠DAE=60°；这是有两种情况，一种AE在AD的左侧，一种AE在AD的右侧；另外，当旋转180°，AE和AB共线时，∠EAD=90°，△ADE也是直角三角形.
【详解】
解：要使△ADE为直角三角形，由于AE=8，AD=16，即只需满足∠ADE=30°即可.
当∠DAE=30°，则∠DAE=60°
当AE在AD的右侧时，旋转了30°；
当AE在AD的左侧，即和BA的延长线的夹角为30°，即旋转了150°.
另外，当旋转到AE和AB延长线重合时，∠DAE=90°，三角形ADE也是直角三角形；
所以答案为：或或
本题考查了旋转和直角三角形的相关知识，其中对旋转过程中出现直角的讨论是解答本题的关键.
11、1
【解析】
根据勾股定理计算即可.
【详解】
解：最大的正方形的面积为1，
由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为1，
∴正方形A、B、C、D的面积之和为1，
故答案为1．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
12、1
【解析】
平移的距离为线段BE的长求出BE即可解决问题；
【详解】
∵BC＝EF＝5，EC＝3，
∴BE＝1，
∴平移距离是1，
故答案为：1．
本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13、1
【解析】
试题分析：根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．
考点：分式的值为零的条件．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
根据尺规作线段垂直平分线的作法，作出AB的垂直平分线与AC的交点，即可．
【详解】
如图所示：
∴点D即为所求．
本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段的中垂线尺规作图的基本步骤，是解题的关键．
15、（1）详见解析
（2）详见解析
（3）1
【解析】
（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可．
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证．
（3）根据（2）的结论解答：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC=1°.
【详解】
解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS）．
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP．
∵PE=PB，∴∠CBP=∠E．∴∠CDP=∠E．
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE．
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC．
∴∠DPE=∠ABC．
（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC=1°，
故答案为：1．
16、（1）40；（2）50，40；（3）1200人
【解析】
（1）根据平均数的定义即可列式求解；
（2）根据表格即可求出众数、中位数；
（3）先求出捐款40元以上（包括40元）的人数占比，再乘以总人数即可求解.
【详解】
（1）设被污染处的数据钱数为x,
故
解得x=40；
（2）由表格得众数为50，第25,26位同学捐的钱数为40，故中位数为40；
（3）解：全校捐款40元以上（包括40元）的人数为（人）
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知平均数、中位线、众数的定义.
17、（1）200，64；（2）126°；（3）1200人．
【解析】
（1）共抽样调查了50÷25%=200（名），200﹣（16+50+70）=64（名）；
（2）“D”对应扇形的圆心角360°×=126°；
（3）估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数为（50+70）=1200（人）．
【详解】
解：（1）50÷25%=200（名），
200﹣（16+50+70）=64（名）
故答案为：200，64；
（2）“D”对应扇形的圆心角360°×=126°．
故答案为：126°；
（3）（50+70）=1200（人），
答：估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数为1200人．
本题考查了扇形统计图的相关知识，正确读懂图表是解题的关键.
18、（1）△DOE≌△BOF；证明见解析；（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．
【解析】
（1）本题要证明如△ODE≌△BOF，已知四边形ABCD是平行四边形，具备了同位角、内错角相等，又因为OD=OB，可根据AAS能判定△DOE≌△BOF；
（2）平行四边形是中心对称图形，这对全等三角形中的一个是以其中另一个三角形绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．
【详解】
（1）△DOE≌△BOF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．
又∵OD=OB，
∴△DOE≌△BOF（AAS）．
（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
注意到G为AA'的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在∠AFA'的角平分线上，因此作GH⊥AB于H，GP⊥A'F于P，则GP＝GH，根据垂线段最短原理可知GH就是所求最小值．
【详解】
解：如图，作GH⊥AB于H，DR⊥AB于R，GP⊥A'F于P，A'Q⊥AB于Q．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，
∴A'Q＝DR，
∵∠BAD＝60°，
∴A'Q＝DR＝AD＝2，
∵A'与A关于EF对称，
∴EF垂直平分AA'，
∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，
∴GP＝PH，
又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB
∴GH∥A'B，
∴GH＝A'Q＝DR＝，
所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．
故答案为：．
熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，及最短路径确定的方法，是解题的关键．
20、6cm．
【解析】
试题分析：由平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE∥BC，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∵OE∥BC，
∴OE∥AD，
∴OE是△ACD的中位线，
∵OE=3cm，
∴AD=2OE=2×3=6（cm）．
故答案为：6cm．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
21、（3，-3）
【解析】
根据全等三角形的性质，三条对应边均相等，又顶点C与顶点D相对应，所以点D与C关于AB对称，即点D与点C对与AB的相对位置一样．
【详解】
解：∵△ABD与△ABC全等，
∴C、D关于AB对称，顶点C与顶点D相对应，即C点和D点到AB的相对位置一样．
∵由图可知，AB平行于x轴，
∴D点的横坐标与C的横坐标一样，即D点的横坐标为3．
又∵点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（3，3），点D在第四象限，
∴C点到AB的距离为2．
∵C、D关于AB轴对称，
∴D点到AB的距离也为2，
∴D的纵坐标为-3．
故D（3，-3）．
22、1
【解析】
分析：先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．
详解：平均数为=（1+1+3+4+5）÷5=3，
S1= [（1-3）1+（1-3）1+（3-3）1+（4-3）1+（5-3）1]=1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了方差的知识，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大．
23、（22008-1,22008）
【解析】
先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可求解.
【详解】
∵直线y=x+1和y轴交于A1，
∴A1的交点为（0,1）
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴OC1=OA1=1，
把x=1代入直线得y=2，
∴A2（1,2）
同理A3（3,4）
…
∴An的坐标为（2n-1-1,2n-1）
故A2019的坐标为（22008-1,22008）
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）BD＝2或4；（3）S△ADE＝（x﹣3）2+（0≤x≤6）
【解析】
(1)：要证明四边形BDEF是平行四边形，一般采用对边平行且相等来证明，因为已经有了DB=CF，只要有△ABD全等△ACE，就能得到∠ACE=∠ABD=60°，CE=CF=EF=BD，再利用∠CFE＝60°＝∠ACB，就能平行，故第一问的证；
(2)：反推法，当△CDF为直角三角形，又因为∠C=60°，当∠CDF=90°时，可以知道
2CD=CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=4，当∠CFD=90°时，可以知道CD=2CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=2，故当BD=2或4时，△CFD为直角三角形；
(3)：求等边三角形ADE的面积，只要知道边长就可求出，但是AD是变化的，所以我们采用组合面积求解，利用四边形ADCE减去△CDE即可，又因为△ABD≌△ACE，所以四边形ADCE的面积等于△ABD的面积，所以只需要求出△ABC的面积与△CDE即可,从而即可求面积.
【详解】
解：（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，
∵BD＝CF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
∴BD＝CF，
如图1，连接CE，∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∵BD＝EF，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）∵△CDF为直角三角形，
∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°，
当∠CFD＝90°时，∵∠ACB＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∴CD＝2CF，
由（1）知，CF＝BD，
∴CD＝2BD，
即：BC＝3BD＝6，
∴BD＝2，
∴x＝2，
当∠CDF＝90°时，∵∠ACB＝60°，
∴∠CFD＝30°，
∴CF＝2CD，
∵CF＝BD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3CD＝6，
∴CD＝2，
∴x＝BD＝4，
即：BD＝2或4时，△CDF为直角三角形；
（3）如图，
连接CE，由（1）△ABD≌△ACE，
∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，
∵BD＝CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EM＝CE＝x，
∴S△CDE＝CD×EM＝（6﹣x）×x＝x（6﹣x）
∴BH＝CH＝BC＝3，
∴AH＝3，
∴S△ABC＝BC•AH＝9
∴S△ADE＝S四边形ADCE﹣S△CDE
＝S△ACD+S△ACE﹣S△CDE
＝S△ACD+S△ABD﹣S△CDE
＝S△ABC﹣S△CDE
＝9﹣x（6﹣x）
＝（x﹣3）2+（0≤x≤6）
第一问虽然求证平行四边形，实际考查三角形全等的基本功
第二问，主要考查推理能力，把△CFD为直角三角形当做条件，来求BD的长，但是需要注意的是，写过需要先给出BD的长，来证明△CFD为直角三角形，
第三问，考查面积，主要利用组合图形求面积
25、（1）无解；（2），见解析.
【解析】
（1）方程去分母得：，移项、合并同类项、系数化为1，并检验可得；
（2）分别求出每个不等式的解集，再确定其公共部分即可得．
【详解】
解：（1）去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解；
（2），
解①得，
解②得，
∴，
本题主要考查解分式方程和不等式组的基本能力，严格遵循解方程或不等式的基本步骤是关键．
26、-2
【解析】
本题运用实数与数轴的对应关系确定-2＜a＜-1，1＜b＜2，且b＞a，然后根据开方运算的性质和绝对值的意义化简即可求解．
【详解】
由数轴上点的位置关系，得-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1<0，b-1>0，a-b<0，
∴
=|a+1|+|b-1|-|a-b|，
=-a-1+b-1+a-b，
=-2
本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和二次根式的化简，解答本题的关键是掌握绝对值的性质．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
捐款（元）
10
15
30
50
60
人数
3
6
11
11
13
6