河南省许昌地区2024-2025学年数学九上开学达标检测模拟试题【含答案】

这是一份河南省许昌地区2024-2025学年数学九上开学达标检测模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
3、（4分）若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．5B．6C．2D．4
4、（4分）如图，在中，是边上的一点，射线和的延长线交于点，如果，那么的值是( )
A．B．C．D．
5、（4分）关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（ ）
A．开口方向向上B．顶点坐标是（﹣2，1）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当x＝0时，y有最大值﹣
6、（4分）在同一直角坐标系中，函数y＝－kx＋k与y＝ (k≠0)的图象大致是( )
A．B．C．D．
7、（4分）在一次中学生田径运动会上，参加跳远的名运动员的成绩如下表所示:
则这名运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）
A．B．C．，D．
8、（4分）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．
10、（4分）如图，直线交轴于点，交轴于点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，轴于点，的长的最小值为__________．
11、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则 OC=_____.
12、（4分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（6，8），则点C的坐标是_____．
13、（4分）如图，直线经过点，当时，的取值范围为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，；以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；（2）化简：.
15、（8分）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来
（1）
（2）
16、（8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，恰好用完，试求的长，使矩形花园的面积为．
17、（10分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
18、（10分）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象交于点A（1，n）；另一条直线l2：y＝﹣2x+b与x轴交于点E，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象交于点C和点D（，m），连接OC、OD．
（1）求反比例函数解析式和点C的坐标；
（2）求△OCD的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折．
20、（4分）将直线的图象向上平移3个单位长度，得到直线______．
21、（4分）平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，点E在AB上且AE：EB=1：2，点F是BC中点，过D作DP⊥AF于点P，DQ⊥CE于点Q，则DP：DQ=_______.
22、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°，AB＝10，E、F分别为AO、AD的中点，则EF的长是_____．
23、（4分）已知正比例函数y=kx的图象经过点A（﹣1，2），则正比例函数的解析式为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
25、（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h；
（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．
26、（12分）（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；
（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，猜测MN与BM的数量关系，无需证明．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
观察函数图象得到当x＜2时，即图象在y轴的左侧，函数值都都大于1．
【详解】
解：观察函数图象可知当x＜2时，y＞1，所以关于x的不等式kx+b＞1的解集是x＜2．
故选：B．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，关于的不等式的解集就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于1的自变量x的取值范围．
2、B
【解析】
试题解析：点P运动2.5秒时P点运动了5cm，
CP=8-5=3cm，
由勾股定理，得
PQ=cm，
故选B．
考点：动点函数图象问题.
3、C
【解析】
直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∵,与最简二次根式是同类二次根式，
∴m+1=3，
解得：m=1．
故选：C．
考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键．
4、A
【解析】
由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，从而可得△EAF∽△EBC，△EAF∽△CFD，由，可得，继而可得，即可求得=.
【详解】
：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△EAF∽△EBC，△EAF∽△CFD，
∵，
∴，
∴，
∴=，
故选A．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比是解题的关键.
5、C
【解析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误；
顶点坐标为（0，1），故选项B错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误；
故选：C．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6、C
【解析】
当k>0时，函数y=-kx+k的图象分布在第一、二、四象限，函数y= 的图象位于第一、三象限。
故本题正确答案为C.
7、D
【解析】
根据中位数、众数的定义即可解决问题．
【详解】
解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.1．
故选：D．
本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题.
8、C
【解析】
将各式化为最简二次根式后即可判断
【详解】
(A)原式=2 ,故不能合并,
(B)原式=3,故不能合并,
(C)原式=2,故能合并,
(D)原式= ,故不能合并,
故选C
此题考查二次根式，掌握运算法则是解题关键
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
【详解】
解：∵b＝+﹣2，
∴
∴1-2a=0，
解得：a=，则b=-2，
故ab=（）-2=1．
故答案为1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
10、4.3
【解析】
连接OC，易知四边形OECD是矩形，所以OC=DE，当当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短，在Rt△ABO中可以利用面积法求解OC最小值．
【详解】
解：连接OC，
∵∠CEO=∠EOD=∠ODC，
∴四边形OECD是矩形．
∴DE=OC．
当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短．
∵直线交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（-1，0），
∴OA=3，OB=1．
在Rt△AOB中，利用勾股定理可得
AB= ＝ =2．
当OC与AB垂直时，
AO×BO=AB×OC，即3×1=2×OC，解得OC=4.3．
所以DE长的最小值为4.3．
故答案为：4.3．
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、矩形的判定和性质，解决点到直线的最短距离问题，一般放在三角形中利用面积法求高．
11、1
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=1．故答案为1．
点睛：此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
12、（16，8）．
【解析】
过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，根据菱形的性质可得AO＝AC＝BO＝BC＝5，再证明△AOE≌△CBF，可得EO＝BF，然后可得C点坐标．
【详解】
解：过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∵点A的坐标是（6，8），
∴AO＝10，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AO＝AC＝BO＝BC＝10，AO∥BC，
∴∠AOB＝∠CBF，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
在△AOE和△CBF中

∴△AOE≌△CBF（AAS），
∴EO＝BF＝6，
∵BO＝10，
∴FO＝16，
∴C（16，8）．
故答案为：（16，8）．
此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等．
13、
【解析】
根据题意结合图象首先可得的图象过点A，因此便可得的解集.
【详解】
解：∵正比例函数也经过点，
∴的解集为，
故答案为：．
本题主要考查函数的不等式的解，关键在于根据图象来判断，这是最简便的解题方法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）分式的分子和分母都乘以，即可求出答案；把2看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
试题解析：（1）①
②；
（2）原式=
=.
考点：分母有理化．
15、（1）x＞﹣5，数轴见解析；（2）﹣2＜x≤3，数轴见解析．
【解析】
（1）去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1；再把不等式的解集表示在数轴上；依此即可求解．
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】
（1），
去分母得：3（x+1）＞2（x﹣1），
去括号得：3x+3＞2x﹣2，
系数化为1得：x＞﹣5，
数轴如图所示：
（2），
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤3，
在数轴上表示不等式组的解集为：
本题考查解一元一次不等式及一元一次不等式组，解不等式依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
16、的长为15米
【解析】
设AB=xm，列方程解答即可.
【详解】
解：设AB=xm，则BC=（50-2x）m，
根据题意可得，，
解得：，
当时，，
故（不合题意舍去），
答：的长为15米．
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.
17、 (1)证明见解析(2)2
【解析】
试题分析：由角平分线得出,得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出
由得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径．
试题解析：(1)证明：平分
又
平分
连接，
是直径．
平分



∴半径为
18、（1）y＝，点C（6，1）；（2）．
【解析】
（1）点A（1，n）在直线l1：y＝x+5的图象上，可求点A的坐标，进而求出反比例函数关系式，点D在反比例函数的图象上，求出点D的坐标，从而确定直线l2：y＝﹣2x+b的关系式，联立求出直线l2与反比例函数的图象的交点坐标，确定点C的坐标，
（2）求出直线l2与x轴、y轴的交点B、E的坐标，利用面积差可求出△OCD的面积．
【详解】
解：（1）∵点A（1，n）在直线l1：y＝x+5的图象上，
∴n＝6，
∴点A（1，6）代入y＝得，
k＝6，
∴反比例函数y＝，
当x＝时，y＝12，
∴点D（，12）代入直线l2：y＝﹣2x+b得，
b＝13，
∴直线l2：y＝﹣2x+13，
由题意得：解得：，，
∴点C（6，1）
答：反比例函数解析式y＝，点C的坐标为（6，1）．
（2）直线l2：y＝﹣2x+13，与x轴的交点E（，0）与y轴的交点B（0，13）
∴S△OCD＝S△BOE﹣S△BOD﹣S△OCE

答：△OCD的面积为．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题、以及反比例函数与几何面积的求解，解题的关键是灵活处理反比例函数与一次函数及几何的关系．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.1．
【解析】
设打x折，则售价是500×元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围．
【详解】
解：要保持利润率不低于10%，设可打x折．
则500×-400≥400×10%，
解得x≥1.1．
故答案是：1.1．
本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键．
20、
【解析】
上下平移时只需让的值加减即可.
【详解】
原直线的，，向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的，，所以新直线的解析式为：.
故答案为：.
考查了一次函数图象与几何变换，要注意求直线平移后的解析式时的值不变，只有发生变化.
21、2：
【解析】
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，FN=a，CM=a，求出AF=a，CE=2a，代入求出即可．
【详解】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，
即AF×DP=CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB：BC=3：2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=a，BE=2a，
BN=a，BM=a，
由勾股定理得：FN=a，CM=a，
AF==a，
CE==2a，
∴a•DP=2a•DQ，
∴DP：DQ=2：，
故答案为：2：.
【点睛】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，求出AF×DP=CE×DQ和AF、CE的值是解题的关键．
22、1．
【解析】
根据矩形的性质得出AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，求出DO＝CO＝AO＝BO，求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AO＝OB＝DO＝10，根据三角形的中位线定理求出即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，
∴DO＝CO＝AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝10，
∴AO＝OB＝DO＝10，
∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴EF＝DO＝＝1，
故答案为：1．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识. 矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分.
23、y=﹣1x
【解析】
试题分析：根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，把点A的坐标代入函数解析式求出k值即可得解：
∵正比例函数y=kx的图象经过点A（﹣1，1），
∴﹣k=1，即k=﹣1．
∴正比例函数的解析式为y=﹣1x．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见试题解析；（2）DF=DG．
【解析】
（1）利用院内接四边形的性质得到∠DEC=∠B，然后利用等角对等边得到结论．
（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠B+∠AED=180°，
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC；
（2）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠A+∠BDE=180°，
∵∠EDC+∠BDE=180°，
∴∠A=∠EDC，
∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，
∵∠OEA=∠CEF，∴∠A=∠CEF，∴∠EDC=∠CEF，
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°，即∠DEF+∠DCE=180°，
又∵∠DCG+∠DCE=180°，∴∠DEF=∠DCG，
∵∠EDC旋转得到∠FDG，∴∠EDC=∠FDG，
∴∠EDC﹣∠FDC=∠FDG﹣∠FDC，即∠EDF=∠CDG，
∵DE=DC，∴△EDF≌△CDG（ASA），
∴DF=DG．
25、80 120
【解析】
（1）由图象可知，两车同时出发．等量关系有两个：3.6×（慢车的速度+快车的速度）=720，（9-3.6）×慢车的速度=3.6×快车的速度，设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，依此列出方程组，求解即可；
（2）点C表示快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点C的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点C的纵坐标，从而得解；
（3）分相遇前相距500km和相遇后相遇500km两种情况求解即可．
【详解】
（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，
根据题意，得 ，解得 ，
故答案为80，120；
（2）图中点C的实际意义是：快车到达乙地；
∵快车走完全程所需时间为720÷120=6（h），
∴点C的横坐标为6，
纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）=480，
即点C（6，480）；
（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km．
即相遇前：（80+120）x=720﹣500，
解得x=1.1，
相遇后：∵点C（6，480），
∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km，
∵慢车行驶20km需要的时间是=0.25（h），
∴x=6+0.25=6.25（h），
故x=1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km．
考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．
26、（1）30º，见解析．（2）
【解析】
（1）猜想：∠MBN=30°．如图1中，连接AN．想办法证明△ABN是等边三角形即可解决问题；
（2）MN=BM．折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP．只要证明△MOP≌△BOP，即可解决问题.
【详解】
（1）猜想：∠MBN=30°．
证明：如图1中，连接AN，∵直线EF是AB的垂直平分线，
∴NA=NB，由折叠可知，BN=AB，
∴AB=BN=AN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴NBM=∠ABM=∠ABN=30°．
（2）结论：MN=BM．
折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，
折痕为MP，连接OP．
理由：由折叠可知△MOP≌△MNP，
∴MN=OM，∠OMP=∠NMP=∠OMN=30°=∠B，
∠MOP=∠MNP=90°，
∴∠BOP=∠MOP=90°，
∵OP=OP，
∴△MOP≌△BOP，
∴MO=BO=BM，
∴MN=BM．
本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
成绩（米）
人数