河南省洛阳市东方二中学2024年数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】

这是一份河南省洛阳市东方二中学2024年数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与点的距离为8；③；④；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②
2、（4分）将一次函数y＝﹣2x的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝﹣8xB．y＝4xC．y＝﹣2x﹣6D．y＝﹣2x+6
3、（4分）若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
4、（4分）某校八年级（2）班第一组女生的体重（单位：）：35，36，36，42，42，42，45，则这组数据的众数为（ ）
A．45B．42C．36D．35
5、（4分）下面式子是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．a
6、（4分）如图,函数和的图象相交于点,则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x＞0）的最小值是1”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是1（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长1（）=4最小，因此（x＞0）的最小值是1．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
A．1B．1C．6D．10
8、（4分）如图，一次函数的图象经过、两点，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k取值范围为 ．
10、（4分）如图，在中，，，，则__________.
11、（4分）如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行
先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB＝CD，EF＝GH．
（1）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是 ．
（2）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是 ．
12、（4分）如图,菱形ABCD的周长为12,∠B=60°,则菱形的面积为_________m2
13、（4分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，直线EF经过对角线BD的中点O，分别交边AD，BC于点E，F，点G，H分别是OB，OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长_________________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．
（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接
写出结论；
（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，4），B（4，0），分别将点A、B的横坐标、纵坐标都乘以1．5，得相应的点A'、B'的坐标。
（1）画出 OA'B'：
（2）△OA'B'与△AOB______位似图形：（填“是”或“不是”）
（3）若线段AB上有一点，按上述变换后对应的A'B'上点的坐标是______.
16、（8分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=16，BC=12，CD=1．动点M从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度运动；动点N从B出发，在线段BA上，以每秒1个单位长的速度向点A运动，点M、N分别从C、B同时出发，当点N运动到点A时，点M随之停止运动．设运动时间为t(秒)．
（1）设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围；
（2）当t为何值时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形？
17、（10分）我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
（发现与证明）▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．
结论1：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：B′D∥AC
…
（应用与探究）
在▱ABCD中，已知BC=2，∠B=45°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．若以A、C、D、B′为顶点的四边形是正方形，求AC的长．(要求画出图形)
18、（10分）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE⊥AC与AD边的延长线交于点E．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）延长DB至点F，联结CF，若CF=BD，求∠BCF的大小．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，矩形边，，沿折叠，使点与点重合，点的对应点为，将绕着点顺时针旋转，旋转角为．记旋转过程中的三角形为，在旋转过程中设直线与射线、射线分别交于点、，当时，则的长为_______．
20、（4分）如图，ABC的周长为16，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为_____.
21、（4分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为________．
22、（4分）当m_____时，函数y＝（m﹣3）x﹣2中y随x的增大而减小．
23、（4分）直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长是10,则较短的直角边的长为___________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知二次函数（）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，，顶点为.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）探索：线段上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
25、（10分）已知直线的图象经过点和点
（1）求的值；
（2）求关于的方程的解
（3）若、为直线上两点，且，试比较、的大小
26、（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若PM+PN≤4，则称P为直线l的近距点，特别地，直线上l所有的点都是直线l的近距点．已知点A(-，0)，B(0，2)，C(-2，2)．
（1）当直线l的表达式为y=x时，
①在点A，B，C中，直线l的近距点是 ；
②若以OA为边的矩形OAEF上所有的点都是直线l的近距点，求点E的纵坐标n的取值范围；
（2）当直线l的表达式为y=kx时，若点C是直线l的近距点，直接写出k的取值范围．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
连接OO′，如图，先利用旋转的性质得BO′=BO=8，∠OBO′=60°，再利用△ABC为等边三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，则根据旋转的定义可判断△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；接着证明△BOO′为等边三角形得到∠BOO′=60°，OO′=OB=8；根据旋转的性质得到AO′=OC=10，利用勾股定理的逆定理证明△AOO′为直角三角形，∠AOO′=90°，于是得到∠AOB=150°；最后利用S四边形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′可计算出S四边形AOBO′即可判断．
【详解】
连接OO′，如图，
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO′=BO=8，∠OBO′=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，则①正确；
∵△BOO′为等边三角形，
∴OO′=OB=8，所以②正确；
∵△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
∴AO′=OC=10，
在△AOO′中，
∵OA=6，OO′=8，AO′=10，
∴OA2+OO′2=AO′2，
∴△AOO′为直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，所以③正确；
，
故④错误，
故选：A.
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
2、C
【解析】
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【详解】
解：将一次函数的图象向下平移6个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：，
故选：．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
3、D
【解析】
根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
解：由分式有意义的条件可知：，
，
故选：．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.
4、B
【解析】
出现次数最多的数是1．故众数是1．
【详解】
解：出现次数最多的数是1．故众数是1．
故答案：B
注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
5、A
【解析】
分析：直接利用二次根式定义分析得出答案．
详解：A、，∵a2+1＞0，∴是二次根式，符合题意；
B、是三次根式，不合题意；
C、，无意义，不合题意；
D、a是整式，不合题意．
故选A．
点睛：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
6、A
【解析】
以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
【详解】
因为点A的坐标为，
看函数图象，当的图象在的图像上方时，，此时
故选：A．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．
7、C
【解析】
试题分析：仿照张华的推导，在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是1（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=3，这时矩形的周长1（）=11最小，因此（x＞0）的最小值是2．故选C.
考点：1.阅读理解型问题；1.转换思想的应用.
8、A
【解析】
由图象可知：B（1，0），且当x＞1时，y＜0，即可得到不等式kx+b＜0的解集是x＞1，即可得出选项．
【详解】
解：∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，
由图象可知：B（1，0），
根据图象当x＞1时，y＜0，
即：不等式kx+b＜0的解集是x＞1．
故选：A．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象等知识点的理解和掌握，能根据图象进行说理是解此题的关键，用的数学思想是数形结合思想．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论，
【详解】
解：∵方程（k为常数）的两个不相等的实数根，
∴>0，且，
解得：k<1，
故答案为：.
本题主要考查了根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键.
10、30.
【解析】
利用勾股逆定理推出∠C=90°，再利用三角形的面积公式，进行计算即可.
【详解】
解：∵，，
又∵
∴
∴∠C=90°
∴
故答案为：30
本题考查了勾股逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理是解题的关键.
11、【答题空1】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答题空2】有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】
（1）∵AB=CD，EF=GH，
∴四边形为平行四边形.(两组对边相等的四边形为平行四边形)
（2）由（2）知四边形为平行四边形，
∵∠C为直角，
∴四边形为矩形.(一个角为直角的平行四边形为矩形)
根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，即可得出②的结论，当把一个角变为直角时，根据一个角为直角的平行四边形为矩形即可得出③的结论．
12、
【解析】
首先根据已知求得菱形的边长，再根据勾股定理求得其两条对角线的长，进而求出菱形的面积．
【详解】
解：菱形的周长为12，
菱形的边长为3，
四边形是菱形，且，
为等边三角形，，
，
，
菱形的面积，
故答案为
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一般，此题难度不大．
13、或
【解析】
根据矩形ABCD中，AB=2，BC=6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH=BD，从而求出GH的长，若四边形EGFH为矩形时，EF=GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．
【详解】
解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，
矩形ABCD中，AB=2，BC=6，
∴AB=EM=CD=2，AD=BC=6，∠A=90°，OB=OD，
在Rt△ABD中，BD==2，
又∵点G、H分别是OB、OD的中点，
∴GH=BD=，
当四边形EGFH为矩形时，GH=EF=，
在Rt△EMF中，FM==，
易证△BOF≌△DOE （AAS），
∴BF=DE，
∴AE=FC，
设BF=x，则FC=6-x，由题意得：x-（6-x）=，或（6-x）-x=，，
∴x=或x=，
故答案为：或．
考查矩形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，合理的作辅助线，将问题转化显得尤为重要，但是，分情况讨论容易受图形的影响而被忽略，应切实注意．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）MA=MN，MA⊥MN；（2）成立，理由详见解析
【解析】
（1）解：连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，
∵点M是DF的中点，
∴AM=DF．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴AF=CE，
在△ADF与△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE=DF．
∵点M，N分别为DF，EF的中点，
∴MN是△EFD的中位线，
∴MN=DE，
∴AM=MN；
∵MN是△EFD的中位线，
∴MN∥DE，
∴∠FMN=∠FDE．
∵AM=MD，
∴∠MAD=∠ADM，
∵∠AMF是△ADM的外角，
∴∠AMF=2∠ADM．
∵△ADF≌△CDE，
∴∠ADM=∠CDE，
∴∠ADM+∠CDE+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，
∴MA⊥MN．
∴MA=MN，MA⊥MN．
（2）成立．
理由：连接DE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．
在Rt△ADF中，
∵点M是DF的中点，
∴MA=DF=MD=MF，
∴∠1=∠1．
∵点N是EF的中点，
∴MN是△DEF的中位线，
∴MN=DE，MN∥DE．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BF，∠EBF=90°．
∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上，
∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．
在△ADF与△CDE中，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠1=∠2，
∴MA=MN，∠2=∠1．
∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠6=180°﹣（∠1+∠5）=90°，
∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．
考点：四边形综合题
15、（1）见解析；（2）是；（3）.
【解析】
（1）直接利用将点A、B的横坐标、纵坐标都乘以1.5，得相应的点A'、B'的坐标，即可得出答案；
（2）利用位似图形的定义得出答案；
（3）利用位似图形的性质即可得出对应点坐标．
【详解】
解：（1）根据题意可知A'坐标为（21.5,41.5），即A'（3，6），同理B'（6，0），
如图所示：△OA'B'，即为所求；
（2）如（1）中图形所示，OA和OA'、OB和OB'在同一直线上，AB平行于A' B'，
所以△OA'B'与△AOB是位似图形；
故答案为：是；
（3）若线段AB上有一点D（x0，y0），按上述变换后对应的A'B'上点的坐标是：（1.5x0，1.5y0），
故答案为：（1.5x0，1.5y0）．
此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键.
16、（1）；（2）t=3.5或t=
【解析】
（1）过点M作MH⊥AB，垂足为H，用含的代数式表示的长，再利用三角形面积公式即可得到答案．（2）先用含的代数式分别表示的长，进行分类讨论，利用腰相等建立方程求解．
【详解】
（1）如图，过点M作MH⊥AB，垂足为H，则四边形BCMH为矩形．
∴MH=BC=2．
∵AN=16-t，
∴；
（2）由（1）可知：BH=CM=2t，BN=t，．
以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若MN=AN．因为：
在Rt△MNH中，，所以：MN2=t2+22，
由MN2=AN2得t2+22=（16-t）2，
解得t=．
②若AM=AN．
在Rt△MNH中，AM2=（16-2t）2+22．
由AM2=AN2得：，
即3t2-32t+144=4．
由于△=，
∴3t2-32t+144=4无解，
∴．
③若MA=MN．
由MA2=MN2，得t2+22=（16-2t）2+22
整理，得3t2-64t+256=4．
解得，t2=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形．
本题考察的是梯形通过作辅助线化成直角三角形的问题与等腰三角形存在性问题，掌握分类讨论是解题的关键．
17、 [发现与证明]：证明见解析；[应用与探究]：AC的长为或1．
【解析】
[发现与证明]由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，证出∠CB′D=∠B′DA= (180°-∠B′ED)，由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
[应用与探究]：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；
②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=1．
【详解】
解：[发现与证明]：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
∴DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；
[应用与探究]：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ACDB′是正方形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=45°，
∴AC=BC=；
②如图1所示：AC=BC=1；
综上所述：AC的长为或1．
本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的性质、翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18、（1）见解析；（2）∠BCF=15°
【解析】
(1) 利用正方形的性质得出AC⊥DB，BC//AD,再利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定方法得出答案;
(2)利用正方形的性质结合直角三角形的性质得出∠OFC=30°，即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AC⊥DB，BC∥AD
∵CE⊥AC
∴∠AOD=∠ACE=90°
∴BD∥CE
∴BCED是平行四边形
（2）如图：连接AF，
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD=AC=2OB=2OC，
即OB=OC
∴∠OCB=45°
∵ Rt△OCF中， CF=BD=2OC，
∴∠OFC=30°
∴∠BCF=60°-45°=15°
本题考查了正方形的性质以及平行四边形的判定和直角三角形的性质，掌握正方形的性质是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
设AE=x=FC=FG，则BE=ED=8-x，根据勾股定理可得：x=，进而确定BE、EF的长，再由折叠性质可得∠BEF=∠DEF=∠BFE和∠DEF=∠NME=∠F'，可证四边形BEMF'为平行四边形，进而得到平行四边形BEMF'为菱形，由菱形的性质可得EM=BE,最后由即可解答．
【详解】
解：如图：AE=x=FC=FG，则，
在中，有，即，
解得，
，，
由折叠的性质得，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
由旋转的性质得：，
，
平行四边形为菱形，
，
．
本题考查了旋转的性质、勾股定理、矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识；考查知识点多，增加了试题的难度，其中证得四边形BEMF'是菱形是解答本题的关键．
20、1
【解析】
根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，再根据△ABC的周长等于16得出AF+AE=16，即可求出AE．
【详解】
解：如图，
∵AB、AC的延长线与圆分别相切于点E、F，
∴AF=AE，
∵圆O与BC相切于点D，
∴CE=CD，BF=BD，
∴BC=DC+BD=CE+BF，
∵△ABC的周长等于16，
∴AB+AC+BC=16，
∴AB+AC+CE+BF=16，
∴AF+AE=16，
∴AF=1．
故答案为1
此题考查了切线长定理，掌握切线长定理即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等是本题的关键．
21、2
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长,即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD==1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2 ；
故答案为2．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解题关键．
22、m<3
【解析】
根据已知条件“一次函数y=（m-3）x-2中y随x的增大而减小”知，m-3<0，然后解关于m的不等式即可．
【详解】
∵一次函数y=（m-3）x-2中y随x的增大而减小，
∴m−3<0，
解得，m<3；
故答案为<3
考查一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.
23、1
【解析】
根据边之间的关系，运用勾股定理，列方程解答即可．
【详解】
由题意可设两条直角边长分别为x，2x，
由勾股定理得x2+(2x)2=(1)2，
解得x1=1，x2=-1舍去），
所以较短的直角边长为1．
故答案为：1
本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理得到方程，转化为方程问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）的取值范围是；（3）符合条件的点的坐标为
【解析】
（1）将，代入即可进行求解；
（2）先求出二次函数的顶点坐标，令，得，，得到，根据，的坐标求出直线的解析式，得到，，再根据梯形的面积公式列出S的关系式；
（3）先求出，根据直角三角形的性质分类讨论即可求解.
【详解】
解（1）将，代入中
∴，
（2），所以
令，得，，所以
设直线的解析式为，将，代入，得
，得，所以
所以，
的取值范围是
（3）由
∴
①以为直角顶点
，舍去
②以为直角顶点
，所以
③以为直角顶点
，
，，无解
综上，符合条件的点的坐标为
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、待定系数法确定函数关系式及直角三角形勾股定理的性质，注意用分类讨论方法.
25、（1）b=1；（2）；（3）.
【解析】
（1）将直线经过的两点代入原直线，联立二元一次方程组即可求得b值；
（2）求出k值，解一元一次方程即可；
（3）根据k的大小判断直线是y随x的增大而增大的，由此可知、的大小.
【详解】
解：（1）将（2，4），（-2，-2）代入直线得到：
，
解得：，
∴b=1；
（2）已知，b=1，
令，
解得，
∴关于的方程的解是；
（3）由于>0，可知直线是y随x的增大而增大的，
∵，
∴<.
本题考查一次函数表达式，增减性，解题时要注意理解一次函数与方程的关系.
26、（1）①A，B；②n的取值范围是，且;(2) .
【解析】
【分析】（1）①根据PM+PN≤4，进行判断；②当PM+PN=4时，可知点P在直线l1：，直线l2：上．所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．分两种情况分析：EF在OA上方，当点E在直线l1上时，n的值最大；EF在OA下方，当点F在直线l2上时，n的值最小，当时，EF与AO重合，矩形不存在，所以可以分析出n的取值范围；
（2）根据定义，结合图形可推出：．
【详解】解：（1）①A，B；
②当PM+PN=4时，可知点P在直线l1：，直线l2：上．所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．
如图1，EF在OA上方，当点E在直线l1上时，n的值最大，为．
如图2，EF在OA下方，当点F在直线l2上时，n的值最小，为．
当时，EF与AO重合，矩形不存在．
综上所述，n的取值范围是，且．
（2）．
【点睛】本题考核知识点：一次函数和矩形综合，新定义知识.解题关键点：理解新定义.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分