陕西省咸阳市秦都区启迪中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份陕西省咸阳市秦都区启迪中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有下列五个数：，，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1），无理数的个数有（ ）
A.4B.3C.2D.1
2.“49的平方根是±7”，用式子表示为（ ）
A. B.C. D.
3.下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A.2B.-2C.4D.-4
5.如果点在x轴正半轴上，那么点所在的象限是（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.下列解析式中，y不是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
7.下列关于直线的说法不正确的是（ ）
A.一定经过点B.与y轴交于点
C.y随x的增大而增大D.图象过一、三、四象限
8.如图，中，，，，将折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A.4B.3C.2D.5
9.表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）的图象，在同一坐标系中只可能是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（ ）
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数中，自变量x的取值范围是__________.
12.若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为______.
13.若第四象限内的点到y轴的距离为5，到原点的距离为13，则点P的坐标是______.
14.在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是______.
15.已知是正比例函数.若点，都在该函数图象上，则______.（用“>”“<”或“=”填空）
16.如图所示，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是______.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题10分）
解下列方程组：
（1）；
（2）.
18.（本小题10分）
计算：
（1）；
（2）；
（3）.
19. （本小题10分）
如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、.
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
（3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标.
20. （本小题10分）
如图，在中，，，AD为BC边上的中线，且，过点D作于点.
（1）求证：；
（2）求DE的长.
21. （本小题10分）
某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费11元；超过3千米的部分，每千米收费3元.
（1）写出应收车费，（元）与出租车行驶路程（千米）之间的关系式（其中）；
（2）小明从家到体育馆乘出租车行驶6千米应付多少元？
（3）小明从体育馆到图书馆乘出租车，付车费23元，从体育馆到图书馆出租车行驶了多少千米？
22. （本小题10分）
甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车速度为______km/h，乙车速度为______ km/h；
（2）求乙车行驶过程中，y与x的函数关系式；
（3）在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？
23. （（本小题12分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点.
（1）求m，n的值；
（2）请直接写出在x轴上的点P坐标，使得为等腰三角形；
（3）在线段OA上取一点M，线段AC上取一点N，连接MN，使得轴，在y轴上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无理数，
故选：C.
无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
2.【答案】A
【解析】解：.
故选：A.
依据平方根的定义和性质解答即可.
3.【答案】D
【解析】解：∵，被开方数含有分母，∴A选项不符合题意；
∵中被开方数含有分母，∴B选项不符合题意；
∵，被开方数中含有能开方的因数，
∴C选项的结论不符合题意；
∵是最简二次根式，
∴D选项符合题意，
故选：D.
利用最简二次根式的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论.
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得，，
解得：.
故选：D.
将代入二元一次方程，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求解.
5.【答案】D
【解析】解：∵在x轴上，∴，，
解得，
∴，，
∴所在的象限是第四象限.
故选：D.
根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解.
6.【答案】C
【解析】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义；
B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义；
C、对于x的每一个取值，y有两个确定的值，不符合函数的定义；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义.
故选：
根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可得出答案.
7.【答案】B
【解析】解：A. 时，，说法正确；
B.与y轴交于点，说法不正确；
C.y随x的增大而增大，说法正确；
D. ，，经过第一、四、三象限，说法正确；
故选：B.
利用一次函数图象的性质解答即可.
8.【答案】A
【解析】解：设，由折叠的性质可得，
∵是BC的中点，∴，
在中，，
解得.
即.
故选：A.
设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
9.【答案】A
【解析】解：A、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确；
B、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，，，故，；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确.
故选：A.
根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可.
10.【答案】C
【解析】解：由图象得：
①当时，，错误；
②关于x的方程的解为，正确；
③当时，，正确；
④关于x的方程的解为，正确；
故选：C.
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解.
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：.
故答案是：.
根据二次根式有意义的条件是，即可求解.
12.【答案】5
【解析】解：将直线向上平移3个单位，得到直线，
把点代入，得.
故答案为：5.
先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值.
13.【答案】
【解析】解：由点P到y轴的距离是5，得，∴，
∵点P到原点的距离为13，∴，
由第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得，，
∴点P的坐标是，
故答案为：.
根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案.
14.【答案】4
【解析】【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的特点是解题关键.
直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案.
【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
则.
故答案为：4.
15.【答案】>
【解析】解：∵是正比例函数，
∴，且.
∴.∴.
∴正比例函数的函数值y随x的增大而减小，
又∵点，都在正比例函数的图象上，且-2<1，
∴.
故答案为：>.
依据题意，先由是正比例函数，求出，从而，再利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，最后结合-2<1，即可得出.
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称-最短路线问题，解题的关键是利用对称性找到周长最小时点D、点E的位置.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点.作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，BF，EG，由轴对称的性质，可得，，故当点F，D，E，G在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到FG的长，进而得到周长的最小值.
【解答】
解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，BF，EG，
∵直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，
∴，，
∴，，，
易得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由轴对称的性质，可得，，
当点F，D，E，G在同一直线上时，的周长，
此时周长最小，
∵中，，
∴周长的最小值是.
故答案为.
17.【答案】解：（1）①+②，得，
∴，
把代入①，得，
∴；
（2）①×3+②，得，
∴，
把代入①，得，
∴.
【解析】（1）（2）方程组利用加减消元法求出解即可.
18.【答案】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
【解析】（1）先利用立方根的定义计算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可；
（3）先根据负整数指数幂、绝对值的意义和二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并同类二次根式即可.
19.【答案】（1）解：因为、、，
所以在平面直角坐标系中画出如下图：
4；
（2）；
（3）因为P为x轴上一点，的面积为1，即，
所以，所以，
因为，所以点P的横坐标为：2+2=4或2-2=0，
故P点坐标为：或.
【解答】
（1）解：图见答案；
因为、、，
所以，，，
所以的面积是：；
故答案为：4；
（2）因为点D与点C关于y轴对称，，则点D的坐标为；
故答案为：；
（3）见答案.
20.【答案】（1）证明：∵为BC边上的中线，∴，
∵，
∴，即：；
（2）解：∵，AD为BC边上的中线，
∴，
∴，
即：，
解得：.
【解析】（1）根据勾股定理份逆定理进行证明；
（2）根据三角形的面积公式列方程求解.
21.【答案】解：（1）由题意可得：当时，
；
（2）当时，（元）；
（3）当时，，
解得：；
答：从体育馆到图书馆出租车行驶了7千米.
【解析】（1）由费用等于基础费用加上超过3千米的费用即可；
（2）把代入（1）中的函数式可得答案；
（3）把代入（1）中的函数式可得答案；
22.【答案】10060
【解析】解：（1）由图象可得，
甲车速度为：480÷4.8=100（km/h），乙车的速度为：480÷8=60（km/h），
故答案为：100，60；
（2）设y与x的关系式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（3）由题意可得，
当两车相距80千米时，则或，
解得或，
答：在行驶过程中，两车出发2.5小时或3.5小时时，两车相距80千米.
（1）根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲车速度和乙车速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙车行驶过程中，y与x的函数关系式；
（3）由题意可知：有两种情况，一种情况是两车相遇之前相距80千米，一种情况是两车相遇之后相距80千米，然后列出相应的方程求解即可.
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
23.【答案】解：（1）∵正比例函数的图象过点.
∴，∴
又∵一次函数的图象过点.
∴，∴；
（2）∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴令，则∴，
∴点B坐标为，
∴，
令，则，
∴点C坐标为，
∴，∴，
当时，∵点B坐标为，
∴或，
当时，，
∴，∴，
当时，则点P与点O重合，即点，
综上所述：点P坐标为或或或；
（3）设点M坐标为，则点，
如图1，当，时，则，
∴，∴，
∴点；
如图2，当，时，则，
∴，∴，
∴点；
当如图3，当，时，则，
∴，∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点；
综上所述：点Q坐标为或或.
【解析】（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值.将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值；
（2）先求出点B、点C的坐标，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解.