北京市陈经纶中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
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这是一份北京市陈经纶中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.已知集合,,为使得,则实数a可以是( )
A.0B.1C.2D.e
2.如果实数a,b,c满足:,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )
A.B.C.D.
4.函数的部分图象如图所示,则以下说法正确的是( )
A.,B.,C.,D.,
5.已知函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.对于无穷数列,定义,则“为递增数列”是“为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.函数在上有且仅有2个极小值点,且最多有5个零点,则正整数的最大值为( )
A.3B.4C.5D.6
8.如图,在四棱锥中,,其余的六条棱长均为2,则该四棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
9.中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家、天文学家张隧(法号:一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法(又称一行算法,牛顿也创造了此算法,但是比我国张隧晚了上千年):对于函数在,,处的函数值分别为,,,则在区间上可以用二次函数来近似代替,其中,,.若令,,,请依据上述算法,估算的近似值是( )
A.B.C.D.
10.设函数,若,则a的最小值为( )
A.B.C.2D.1
二、填空题(共5题,每小题5分,共25分)
11.已知复数,则复数__________.
12.艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此,某课题小组研究发现,在学习课程A后每经过一个星期,会遗忘掉所记忆内容的.为使得所记忆的内容不低于,最多在个星期之后对所学内容进行复习,则__________;(参考数据:,)
13.已知圆锥的底面面积为,其侧面展开图的圆心角为,则过该圆锥顶点做截面,截面三角形面积最大值为__________.
14.若,,则的最大值是__________;最小值是__________.
15.若数列、均为严格增数列,且对任意正整数n,都存在正整数m,使得,则称数列为数列的“M数列”.已知数列的前n项和为,则下列结论中正确的是__________.
①存在等差数列,使得是的“M数列”
②存在等比数列,使得是的“M数列”
③存在等差数列,使得是的“M数列”
④存在等比数列,使得是的“M数列”
三、解答题(共6题,共85分)
16.在中,已知.
(1)求角A的大小;
(2)若,的面积为,求的周长.
17.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)从条件①,条件②,条件③选择一个作为已知条件,求m的取值范围.
①在有恰有两个极值点;
②在单调递减;
③在恰好有两个零点.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
18.如图在几何体ABCDFE中,底面ABCD为菱形,,,,.
(1)判断AD是否平行于平面CEF,并证明;
(2)若面面ABCD;求:
(ⅰ)平面ABCD与平面CEF所成角的大小;
(ⅱ)求点A到平面CEF的距离.
19.已知函数,.
(1)若,求函数的极值;
(2)试讨论函数的单调性.
20.已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,求曲线与曲线的交点个数.
21.已知整数,数列A:,,…,是递增的整数数列,即,,…,且定义数列A的“相邻数列”为B:,,…,,其中,,或
(1)已知,数列A:2,4,6,8,写出A的所有“相邻数列”;
(2)已知,数列A:,,…,是递增的整数数列,,,且A的所有“相邻数列”均为递增数列,求这样的数列A的个数;
(3)已知,数列A:,,…,是递增的整数数列,,,且存在A的一个“相邻数列”B,对任意的i,,,求的最小值.
参考答案:
11.12.713.214.,6
15.①②④
16.【解】(1)因为,
在中,,即.
(2)由(1)知,,所以,
即,所以,
又,即,
所以的周长为.
17.【解】(1)因为
,
所以的最小正周期为.
(2)因为,所以.
选择①,因为在有恰有两个极值点.
所以.所以.
若选择②,因为当时,函数递增,
所以在不可能单调递减,所以②不符合题意;
选择③,因为在恰好有两个零点.
所以.所以.
18.【解】(1)AD不平行于平面CEF,理由如下:取AE中点G,
因为,,所以,,
则四边形AGFD为平行四边形,所以,
又,所以AD不平行于EF,假设平面CEF,
因为平面平面,平面ADFE,
所以,与AD不平行于EF矛盾,
所以假设不成立,即AD不平行于平面CEF;
(2)取CD中点M,连接AM,
因为菱形ABCD,,所以为正三角形,
又M为CD中点,所以,
由于,所以,
又面面ABCD,面面,面ABCD,所以面EAB,
因为面EAB,所以,
又因为,,AM,面ABCD,
所以面ABCD,而AB,面ABCD,所以,
所以如图,以A为原点,,,所在直线为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,.
(ⅰ)因为面ABCD,所以为平面ABCD的一个法向量,
设平面CEF的法向量为,因为,,
所以,
令,,
设平面ABCD与平面CEF所成角为,
所以,则,
即平面ABCD与平面CEF所成角大小为;
(ⅱ)因为,由(ⅰ)知平面的一个法向量为,
所以点A到平面CEF的距离为.
19.【解】(1)若,,定义域为,
则,
令,可得,
由,可得,所以在上单调递增,
由,可得,所以在上单调递减,
所以在处取得极小值,极小值为,无极大值;
(2)的定义域为,,,
当时,,则在上单调递减,
当时,令,可得或,
因为,所以舍去,
所以当时,,则在上单调递减,
当时,,则在上单调递增,
综上,当时,在上单调递减,
当时,在上单调递减,在上单调递增.
20.【解】(1)由,
则,,则,
所以切线方程为,即;
(2)令,故,
令,,
令,,
当时,,,,
,在上为减函数,即在上为减函数,
又,,
在上有唯一的零点,设为,即,
在上为增函数,在上为减函数,
又,,
,
在上有且只有一个零点,在上无零点,
所以曲线与曲线的交点个数为1.
21.【解】(1)根据“相邻数列”的概念可知,,
或,或,
所以A的所有“相邻数列”有2,3,5,8;2,3,7,8;2,5,5,8;2,5,7,8.
(2)任取A的一个“相邻数列”B:,,…,,
因为或,
或,
所以有且,
对于,,的取值分以下4种情形:
(a),,
(b),,
(c),,
(d),
由数列A是递增的整数数列,前3种情形显然都能得到,所以只需考虑第4种情形,
B递增,,即,
由A是递增的整数数列得,从而,…,是公差为1的等差数列,
于是,则,即满足数列A的有11个.
(3)令,,所以对任意,,
设,,,则且,
先证明与要么是空集,要么是连续自然数构成的集合,
若,,令,则,由得,
所以,即,即是空集,或是连续自然数构成的集合.
若,,令,则,由得,
所以,即,即是空集,或是连续自然数构成的集合,
因此,的分布只可能是如下三种情况:
(ⅰ),,此时,对任意的,,
由得,所以对任意的,,注意到,
所以,
等号当且仅当A:0,2,4,6,…,32,34,36,37时取到;
(ⅱ)存在整数,使得,,
对任意的,,对任意的,,
所以;
(ⅲ),.此时,对任意的,,与情形1类似,
对任意的,,注意到,
所以,
综上,的最小值为37.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
B
D
C
C
A
B
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