2023-2024学年北京市陈经纶中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市陈经纶中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】直线化为，
则斜率为1，故其倾斜角为.
故选：B
2．已知，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据向量数量积运算法则计算即可.
【详解】因为，则，解得.
故选：A
3．已知等差数列中，，公差，如果，，成等比数列，那么等于（ ）
A．2或B．C．2D．3
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式，进行基本量代换，求出公差d即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
因为，所以，解得：d=2（d=0舍去）.
故选：C
4．已知圆的圆心在直线上，且圆经过坐标原点，则圆的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】圆心，半径，即可求解.
【详解】圆的圆心在直线上，且圆经过坐标原点，
则圆心，半径，
对A，圆心为，半径为，A错误；
对B，圆心为，，B错误；
对C，圆心为，半径为，A正确；
对D，圆心为，D错误；
故选：C
5．化简方程的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义求解即可.
【详解】设，，则由已知得，
即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数，又，且，
所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线.
设双曲线方程为：，则，所以，
所以，所以双曲线方程为，
即化简方程的结果是.
故选：D.
6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
7．已知数列的前n项和，若数列中第项最大，则等于（ ）
A．6B．7
C．6或7D．8
【答案】B
【分析】由的关系得出通项公式，再结合二次函数的性质得出最大项.
【详解】当时，，当时，,也满足，故，由可知，当数列中第项最大.
故选：B
8．已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可.
【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则
,
当与重合时，取最小值0.此时有最小值，
故选：A
二、填空题
9．双曲线的渐近方程为 ；若抛物线的焦点是双曲线C的右焦点，则 ．
【答案】
【分析】由条件利用双曲线、抛物线的简单性质，得出结论．
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，
由于双曲线的右焦点为，设此抛物线的标准方程为，
则，，
故答案为：．
10．设数列的首项，且则 .
【答案】/
【分析】直接代入已知条件计算即可
【详解】.
故答案为：
11．若等比数列满足，，则公比 ;前项 .
【答案】2，
【详解】，
由，解得，则，
故.
故答案为：2，
考点定位：本题考查了等比数列的通项公式、前n项公式和数列的性质.
12．直线l过点且被圆C：截得的弦长最短，则直线l的方程为 .
【答案】
【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.
【详解】由圆的方程知圆心，半径为，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与的连线垂直于弦，
由圆心与的连线斜率为，所以直线l的斜率为1，
直线l的方程为即.
故答案为：.
13．已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据条件先确定点坐标和准线方程，然后通过作关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.
【详解】因为，所以，所以，所以，
不妨取，，准线，
作关于准线的对称点，则，
所以的最小值即为，
当且仅当三点共线时取最小值，
所以的最小值为，
故答案为：.
14．心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法：
①曲线关于轴对称；
②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；
③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；
④与圆始终有两个交点.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】
【分析】根据曲线的方程结合图像分析其性质，再逐项验证得出结果.
【详解】根据曲线方程，可画图像，根据曲线的方程结合图形可知，曲线关于轴对称，①错误；
当时，曲线方程可写为
时，或
令，上述方程可化为
结合上图得，的整数取值为0，-1，-2.
时，或；
时，上述曲线方程写为，解得，此时不为整数；
时，.
所以时，曲线上有4个整点 分别为②正确；
由图像可知曲线围成的封闭图形面积随的增大而增大，③正确；
由圆的方程可知，圆心坐标为，半径为，且圆经过原点
所以曲线与圆恒有两个交点，④正确.
故答案为：.
三、解答题
15．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【详解】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d= = = 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q3= = =8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1× = 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
【解析】1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．
16．已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而求出离心率；
（2）由（1）可得椭圆方程为，设直线为，联立直线与椭圆方程，由得到、的关系，再求出，由利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的，从而求出，即可得解.
【详解】（1）依题意，即，
所以离心率.
（2）由（1）可得椭圆方程为，即，
直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线为，
由，消去整理得，
所以，即，
又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时，解得，
所以椭圆方程为，即.