广东省江门市新会区陈经纶中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份广东省江门市新会区陈经纶中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，则（ ）
A.B.C.3D.4
4.已知a，且，则的最小值为（ ）
A.4B.6C.D.8
5.命题，，则“”是“p为真命题”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.函数的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知为等比数列的前n项积，若，，且，（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A.B.3C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.与的夹角余弦值为D.在方向上的投影向量为
10.若函数，的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ）
A.B.点是函数的对称中心
C.函数在上单调递增D.直线是函数图象的对称轴
11.已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则______.
13.已知向量与的夹角为，，，则______.
14.已知函数，若，，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
16.（15分）
已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
17.（15分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，，求c.
18.（17分）
已知为数列的前n项和，若.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）令，若，求满足条件的最大整数n.
19.（17分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，不相等的实数m，n满足，求证：.
新会陈经纶中学2024—2025学年高三上学期9月月考
数学参考答案
1..故选：A.
2.解不等式可得，
又可得只有当时，的取值分别为，2，5在集合中，所以.故选：
3.因为，，
所以.所以.
故选：A
4.，且，则，当且仅当，即，时取等号，所以当，时，的最小值为8.故选：D
5.因为，，所以，得，因为当时，不一定成立，而当时，一定成立，所以“”是“为真命题”的必要不充分条件.
故选：B
6.，且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，排除A，当时，，排除D.当趋于时，趋于，排除C，经检验B符合题意.故选：B.
7.由等比数列的性质，得，所以，.
故选：B.
8.因为函数为偶函数，则，即，
又因为函数为奇函数，则，即，联立①②可得，所以.故选：D.
9.由，，，则与不平行，故A错误；
，，则，故B正确；
，，，
，，故C正确；
，即在方向上的投影向量为，故D正确.故选：BCD.
10.的两条相邻对称轴距离为.
，..
，，又，则.
.选项A正确：
选项B：由，可得函数对称中心的横坐标，。当时，对称中心为.B正确；
选项C：当时，，，在上不递增，C错误；
选项D：由，.可得对称轴：，.不是对称轴.或验证法把代入得，不是对称轴.错误；
故选：AB.
11.【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数
和的图象，
由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确；
对于B中，因为，，，
且函数关于对称，
由图象得，且，，
所以，可得，则，
所以，其中，
令，当且仅当时，取得最小值，
所以，所以B正确；
对于C中，，是的两个根，
所以，即，所以，
由，是的两个根，所以，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，可得，
令，可得函数在上单调递增，
所以，即，，所以D正确.
故选：ABD.
12.因为，，所以.
故答案为：1
13.由题意，向量与的夹角为，，，
所以，所以，
故答案为：6
14.因，，函数的对称轴为直线，
而由可知其对称轴为直线，故，解得.
故答案为：.
15.（1）由得，（1分）又，（3分）
所以函数在处的切线方程为：，即（6分）
（2）由，令，解得或（7分）
令，解得，（8分）
所以在上单调递减，在上单调递增.（10分）
所以当时，最小，且最小值为，（11分）
因为，，故最大值为（13分）
16.（1）设等差数列的公差为，则，（2分）
解得，.（6分）
.（8分）
（2）由（1）知，，，（11分）
.（15分）
17.（1）变形为：，
所以，（4分）因为，所以，（7分）
（2）因为，且，所以（10分）
由正弦定理得：，即，（12分）
解得：（15分）
18.（1）证明：由可得，
当时，，解得，（1分）
当时，，即，（2分）
则（3分）
，即，（5分）
即，即，（8分）
又，所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.（9分）
（2）由（1）得，则，（10分）
设，则
（13分）
令，得，即，即（15分）
又，，，所以满足条件的最大整数为n为5.（17分）
19.【分析】（1）求导，利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解；
（2）令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性将双变量问题转化为单变量问题，再构造新的函数，利用导数证明即可.
【详解】（1）依题意，，则，（1分）
令，解得，（2分）
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，（4分）
故函数的极小值为，无极大值；（6分）
（2）令，则，（8分）
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以在上单调递增，（11分）
，即，
因为，所以，（12分）
要证，即证，只需证，
即，即，（13分）
令函数，
则，（14分）
令，则，
所以为上的增函数，（15分）
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，（16分）
所以对任意，都有，从而原命题得证.（17分）
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
C
A
D
B
B
B
D
BCD
题号
10
11
答案
AB
ABD