黑龙江省哈尔滨市巴彦县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市巴彦县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，计30分．每题只有一个正确的答案）
1．−5的相反数是（ ）
A．−5B．5C．−55D．55
2．下列计算中正确的是（ ）
A．2a3−a2=aB．a3⋅a2=a5C．a3÷a2=1D．(a3)2=a5
3．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．若反比例函数y=kx的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，那么csA的值为（ ）
A．12B．2C．55D．255
7．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1372万辆．则这两年新能源汽车销售量年平均增长率为（ ）
A．55%B．50%C．45%D．40%
8．将抛物线y=2(x−1)2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2x2 B．y=2x2+6 C．y=2(x−2)2 D．y=2(x−2)2+6
9．如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE=24cm，EF=40cm，BC=50cm，则AB长为（ ）cm．
A．803B．1003C．50D．30
10． 如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM=CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．“多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕．”伟人通过这首《满江红·和郭沫若同志》告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒；努力工作，努力学习．一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是 。
12．函数y=x+92x+6中，自变量x的取值范围是 。
13．一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0 的根是 。
14．如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90∘ ， CD⊥AB ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 。
15．如图，在⊙O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若∠A=20°，则∠BPD的度数为 。
16．如图，在▱ABCD中，∠D=60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为 。
17．已知扇形的圆心角度数为120°，面积为12π，则该扇形的弧长为 。
18．某校冬季选修课深受学生喜欢，小冰和小城从“滑冰、冰壶、雪地足球、冰尜”中任选一门学习，两人恰好都选到“冰尜”的概率的是 。
19．已知在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点P为直线BC上一点，PA交EF于点G，若BC=13，CP=1．则线段EG的长为 。
20．如图，在矩形ABCD中，AB=10，点O是对角线的交点，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=6，点G为EF的中点，连接OE，OG，OG=5，∠AEO−∠EOG=2∠EFB．则线段EF的长度为 。
三、解答题：（共60分）
21．先化简，再求值：(1−4x+1)÷x2−9x+3，其中x=2sin60°−tan45°。
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上。
（1）在图中画出以点A为旋转中心，把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，得到的△AB'C'；（点B的对应点为B'，点C的对应点为C'）。
（2）在图中画出以DE为边的四边形DEFG，四边形DEFG为中心对称图形且一边长为10，连接C'G，请直接写出线段C'G的长。
23．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示。
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β。
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=20m，求气球A离地面的高度AD。（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．如图1，已知四边形ABCD是菱形，点E，F在对角线BD上，BE=DF。
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）如图2，若AF⊥BA，点E为BF的中点，连接AC交BD于点O，连接CF并延长交AD于点G，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段OE的3倍的四条线段。
25．2023年12月18日，以“龙腾冰雪逐梦亚冬”为主题的第二十五届哈尔滨冰雪大世界开园，某商场购置A，B两种冰雪大世界纪念玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元。
（1）求A，B玩具的单价？
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
26．如图1，△ABC内接于⊙O，BC为直径，点D为⊙O上一点，连接CD交AB于点G，AE⊥CD于点F交⊙O于点E。
（1）求证：∠FAG=∠FCA；
（2）如图2，连接BF、BE，若BF=BE，求证：DG=FG；
（3）在（2）的条件下，如图3，点H是CD上一点，连接EH，∠FEH=12∠ABC，BC−FH=4DG，若S△BCF=332，求线段BF的长。
27．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点A(3，0)，交y轴于点C，连接AC，tan∠OAC=1。
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接PB，PO，若设△POB的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点P作PE⊥x轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接BK交PE于点F，点D为AK上一点，BF=DK，连接DF，若∠EBF−∠DFK=45°，求点P的坐标。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数为5.
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3、a2不是同类项，所以不能合并，故此选项不符合题意；
B、a3·a2=a5，此选项符合题意；
C、a3÷a2=a≠1，故此选项不符合题意；
D、（a3）2=a6≠a5，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同类型定义“同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项”可知a3、a2不是同类项，所以不能合并；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可得原式=a5；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得原式=a；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可得原式=a6.
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，第一层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形.
故答案为：C.
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，观察几何体即可求解.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵y=kx的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入y=kx得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故答案为：B．
【分析】将点（3，-5）代入y=kx求出k的值，再利用函数图象与系数的关系求解即可。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=12+22=5，
∴csA=ACAB=15=55，
故答案为：C．
【分析】由勾股定理求出AB的乘，根据csA=ACAB即可求解.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x，
依题意得：700(1+x)2=1372，
解得：x1=0.4=20%，x2=−2.4(不符合题意，舍去)，
∴这款新能源汽车销售量的年平均增长率为40%．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的应用之增长率问题求解。设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x，利用这款新能源汽车2024年的销售量=这款新能源汽车2022年的销售量×(1+这款新能源汽车销售量的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2(x-1)2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，
∴平移后所得抛物线的解析式为：y=2(x-1+1)2+3-3=2x2
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得出平移后的抛物线的解析式.
9．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴DEEF=ABBC，
∵DE=24，EF=40，BC=50，
∴2440=AB50，
解得；AB=30cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例”可得比例式DEEF=ABBC，从而代值计算可求解.
10．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，由题意得两个机器人最初的距离是MA+NC+r，
∵两个机器人沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，
∴它们同时到达A，C，
∴两个机器人之间的距离y逐渐减小，A、C不符合题意；
当两个机器人延C-B-A，A-D-C运动时，两个机器人之间的距离保持不变，当两个机器人延C-N，A-M运动式，两个机器人之间的距离越来越大，B不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据机器人的运动规律结合题意即可求解。
11．【答案】8.64×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 86400=8.64×104.
故答案为：8.64×104.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．【答案】x≠−3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使函数y=x+92x+6有意义，只需使2x+6≠0，
解得：x≠-3.
故答案为：x≠-3.
【分析】根据分式有意义的条件“分母不等于0”可得关于x的不等式，解之即可求解.
13．【答案】x1=1+52，x2=1−52
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2﹣x﹣1＝0 ，
a=1，b=－1，c=－1，
Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5>0 ，
x=1±52×1 ，
所以 x1=1+52，x2=1−52 ，
故答案为： x1=1+52，x2=1−52 .
【分析】首先算出根的判别式的值，由该值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式就可算出方程的解.
14．【答案】22
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 Rt△ACB 中， ∠ACB=90∘ ， CD⊥AB ，
∴ ∠ACD=∠B=90∘−∠A ，
又 ∵ ∠ACD=∠CDB=90∘ ，
∴ △ACD∼△CBD ，
∴ CD2=AD⋅BD=8 ，即 CD=22 .
故答案为： 22
【分析】由题意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD∼△CBD，可得比例式CDAD=BDCD，结合已知条件可求得CD的长。
15．【答案】65°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=12∠AOC=12×90°=45°，
∵∠A=20°，
∴∠BPD=∠A+∠ADC=20°+45°=65°.
故答案为：65°.
【分析】由垂直定义得∠AOC=90°，根据圆周角定理可得∠ADC=12∠AOC，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
16．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： 在▱ABCD中，∠D=60° ，AD∥BC，
∴∠ABC=∠D=60°，
由作图知AB=BE，BP平分∠ABE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABO=∠EBO=30°，
∴AO=BO，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBO=30°，
在Rt△FAO中，∠AFO=30°，
∴tan∠AFO=tan30°=AOOF=33，
∴OF：OE=OF：OA=3；
故答案为：3.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠D=60°，AD∥BC，结合作图可得∠ABO=∠EBO=30°，AO=BO，由平行线的性质可得∠AFB=∠EBO=30°，根据tan∠AFO=tan30°=AOOF=33即可求解.
17．【答案】4π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，
∵扇形的面积为12π，圆心角为120°，
∴12π=120πR2360，解得：R=6，
∴扇形的弧长=120π×6180=4π.
故答案为：4π.
【分析】设扇形的半径为R，根据扇形的面积公式S=nπR2360求出半径R的值，然后根据扇形的弧长=nπR180计算可求解.
18．【答案】116
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图为（用A、B、C、D分别表示滑冰、 冰壶、雪地足球、冰尜 ）：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好都选到“冰尜”的结果数为1，
∴两人恰好选中同一门课程的概率=116.
故答案为：116.
【分析】由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知共有16种等可能的结果，其中两人恰好都选到“冰尜”的结果数为1，然后根据概率公式计算即可求解.
19．【答案】6或7
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当点P在线段BC上时，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=BE=CF=12AB=12CD，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EG∥BC，
∴△AEG∽△ABP，
∴EGBP=AEAB=12，
∴EG=12BP=12（BC-CP）=12×12=6；
当点P在线段BC的延长线上时，如图：
同理可证：EG∥BC，
∴△AEG∽△ABP，
∴EGBP=AEAB=12，
∴EG=12BP=12（BC+CP）=12×14=7.
故答案为：6或7.
【分析】由题意分两种情况：①当点P在线段BC上时，②当点P在线段BC的延长线上时，结合已知证△AEG∽△ABP，可得比例式EGBP=AEAB=12求解.
20．【答案】45
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，
∵∠AEO-∠EOG=2∠EFB，即∠1-∠2=2∠3，
而∠1+∠4=∠B+∠3=90°+∠3，
∴∠2+2∠3+∠4=90°+∠3，即∠2+∠4=90°-∠3，
∵∠5=∠2+∠4，∠6=90°-∠3，
∴∠5=∠6，
取BC的中点P，连接EP，取EP的中点Q，
由题意可得点O是AC的中点，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP∥AB，OP=12AB=5，
∴∠OPE=∠BEP，
∵∠OQP=∠BEP，
∴OQ=OP=5，
∵OG=5，
∴点G与点Q重合，则点P与点F重合，延长FO交AD于H，连接EH，
∵AD∥BC，O是AC的中点，
∴△AHO∽△CFO，
∴OHOF=AOCO=AHCF=1，
∴点O是FH的中点，
∵点G是Fh的中点，
∴OG是△FEH的中位线，
∴EH=2OG=10，
∵AE=6，
∴BE=4，
∴CF=BF=AH=102−62=8，
∴EF=BE2+BF2=42+82=45.
故答案为：45.
【分析】如图，由角的构成易得∠5=∠6，取BC的中点P，连接EP，取EP的中点Q，结合已知可证点G与点Q重合，则点P与点F重合，延长FO交AD于H，连接EH，证明OG是△FEH的中位线，然后由三角形的中位线定理和勾股定理可求解.
21．【答案】解：原式=(x+1x+1−4x+1)÷x2−9x+3
=(x+1x+1−4x+1)⋅x+3x2−9
=x−3x+1⋅x+3(x+3)（x−3）
=1x+1
∵x=2sin60°−tan45°
=2×32−1=3−1
∴原式=1x+1=13−1+1=33
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，根据特殊锐角三角函数值，将x的值化简后代入化简后的分式计算可求解.
22．【答案】（1）解：如图所示，△AB'C'即为所求；
（2）解：如下图所示，四边形DEFG即为所求；
C'G=32
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）根据网格图的特征可知，四边形DEFG是平行四边形，
EF=12+32=10，
∴C'G=12+32=10或C'G=32+32=32
故答案为：32.
【分析】（1）根据方格纸的特点及旋转的性质，分别找到点B、C绕着点A逆时针旋转90°后的对称点B'、C'，然后顺次连接AB'、B'C'、AC'即可；
（2）根据中心对称图形定义结合方格纸的特点画出平行四边形DEFG，且EF=10，再用勾股定理计算即可求出C'G的值.
23．【答案】（1）解：如图所示：
由题意知OD⊥PD，
在Rt△POD中，∠D=90°，则∠P+∠POD=90°，即α+β=90°，
∴β=90°−α；
（2）解：如图所示：
∴AD⊥BD，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，由等腰直角三角形性质得到CD=AD，
在Rt△ABD中，∠ABD=37°，
由tan∠ABD=tan37°=ADBD=ADCD+20=ADAD+20，
即0.75=ADAD+20，
解得AD=60m，
∴气球A离地面的高度AD=60m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知可得到∠D=90°，利用三角形的内角和定理可得到α与β的数量关系.
（2）利用等腰直角三角形的性质可知CD=AD，在Rt△ABD中，利用解直角三角形求出AD的长.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABD=∠ADB，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE=∠DAF
（2）解：图2中等于线段OE的3倍的四条线段分别是AO、CO、AG、DG．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）∵△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，
∵AF⊥BA，
∴△ABF是直角三角形，
∵点E为BF的中点，
∴AE=EF=BE，
∴AE=EF=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=∠AFE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
∴∠EAO=∠FAO=12∠EAF=30°，
∴AE=2OE，
∴AO=AE2−OE2=(2OE)2−OE2=3OE，
∴CO=AO=3OE，
∴AF=BE=DF，
∴∠FAD=∠ADF=12∠AFE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=2∠ADF=60°，AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=DC，AD=AC=2AO，
又∵AF=DF，
∴CG垂直平分AD，
∴AD=2AG=2DG，
∴AG=DG=AO=3OE，
综上可知，图2中等于线段OE的3倍的四条线段分别是AO、CO、AG、DG．
【分析】（1）由菱形的性质并结合已知条件用边角边可证△ABE≌△ADF，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）中的全等三角形并结合已知易证三角形ABF是直角三角形、三角形ACD是等边三角形，可得∠EAF=∠AFE=60°，由菱形的性质用勾股定理求出AO的值，易得∠DAF=∠ADF=12∠AFE=30°，在等边三角形ACD中，由等边三角形的性质可求解.
25．【答案】（1）解：设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为y元．
根据题意得∶y−x=25x+2y=200
解得∶x=50y=75
答：每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；
（2）解：设商场可以购置A玩具a个，
根据题意得∶50a+75×2a≤20000
解得∶a≤100
答：最多可以购置A玩具100个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为y元，根据“ B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元 ”可列关于x、y的方程组求解；
（2）设商场可以购置A玩具a个，根据题中的不等关系“a个A玩具的费用+2a个B玩具的费用≤20000”可列关于a的不等式，解这个不等式即可求解.
26．【答案】（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AFC=90°，
∴∠FAC+∠FCA=90°，
∵∠FAG+∠FAC=90°，
∴∠FAG=∠FCA；
（2）证明：∵BF=BE，
∴∠BFE=∠BEF，
∵∠BEA=∠ACB，
∴∠BFE=∠ACB，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，∠ACB=∠ACF+∠BCF，
∴∠ABF=∠FCB，
连接AD，BD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠ABF，
∴AD∥BF，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠AFC，
∴BD∥AF，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∴DG=FG；
（3）解：延长EB、CD交于点K，连接CE，
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∵∠FEC+∠FEK=90°，∠FEK+∠K=90°，
∴∠FEC=∠K，
∵AC=AC，
∴∠ABC=∠AEC，
∵∠FEH=12∠ABC，
∴∠FEH=12∠K，
设∠FEH=α，则∠K=2α，
∴∠KHE=90°−α，
∴∠KEH=90°−α，
∴KE=KH，
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE=90°−2α，
∴∠K=∠KFB=2α，
∴KB=FB=BE，
∵BD⊥CD，
∴DK=DF，
∴KF=4DG，
∵BC−FH=4DG，
∴BC−FH=KF，
∴BC=KH=KE，
∴BC=2BE，
∴sin∠BCE=12，
∴∠BCE=30°，
∴∠BAE=∠ACF=30°，
设AF=m，
∴AC=2m，
tan30°=AFFC=33，
∴CF=3m，
∴DB=m，
∵S△BCF=12CF⋅BD=12×3m⋅m=332，
∴m=3，
∴AF=3，
∴DG=FG=1，
∴BF=7．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC=90°，结合已知根据同角的余角相等可求解；
（2）连接AD、BD，由等边对等角以及角的构成可得∠ABF=∠FCB，结合已知可得∠BAD=∠ABF，由平行线的判定可得AD∥BF，由圆周角定理可得∠BDC=∠AFC=90°，则BD∥AF，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADBF是平行四边形，由平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可得DG=FG；
（3）延长EB、CD交于点K，连接CE，由同角的余角相等可得∠FEC=∠K，由同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠AEC，结合已知可得∠FEH=∠K，设∠FEH=α，则∠K=2α，易求得BC=2BE，根据锐角三角函数可得∠BCE=30°，然后根据三角形的面积公式求得m=3，于是BF的值可求解.
27．【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴正半轴于点A(3，0)，
∴OA=3，
∵在Rt△AOC中， tan∠OAC=OCOA=1，
∴OC=OA=3，
∴C(0，−3)
把点A(3，0)、C(0，−3)代入y=x2+bx+c得：
9+3b+c=0c=−3
解得b=−2c=−3
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）解：当x2−2x−3=0时，
解得：x1=3，x2=−1，
∴B(−1，0)，
∴OB=1，
∵点P在抛物线上，点P的横坐标为t，
∴P(t，t2−2t−3)，
过点P作PL⊥x轴于点L，
∴PL=−t2+2t+3，
∴S=12OB⋅PL=12×1×(−t2+2t+3)=−12t2+t+32；
（3）解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴K(1，4)，
过点K作KM⊥AB于点M，交DF于点N，作FG⊥AK于点G，
根据对称性可知：BM=AM，BK=AK，∠BKM=∠AKM ，
∵PE⊥AB，
∴PE∥KM，
∴∠BFE=∠BKM，
设∠BFE=∠BKM=α，
∴∠EBF=90°−α，
∵∠EBF−∠DFK=45°，
∴∠DFK=45°−α，
∴∠DFG=90°−∠DFK−∠FKM−∠AKM
=90°−(45°−α)−α−α
=45°−α，
∴∠DFK=∠DFG，
∴∠FNM=∠DFK+∠FKM=45−α+α=45°，
过点D作DH⊥KM，
∵BF=DK，∠DHK=∠BEF=90°，∠BFE=∠DKH，
∴△DHK≌△BEF，
∴DH=BE，HK=EF，
过点F作FT⊥KM于T，
∵∠DNH=∠FNT=45°，
∴△FTN与△HND都是等腰直角三角形，
∴DH=HN，FT=EM=TN，EF=MT=HK，
∵BM=2，MK=4，
∴tan∠BKM=12
∵点P的横坐标为t，
∴BE=DH=HN=1+t，
∴FE=MT=HK=2+2t，
∴EM=FT=TN=1−t，
∴MK=HK+HN+TN+MT=2+2t+1+t+1−t+2+2t=6+4t=4，
解得：t=−12，
t2−2t−3=(−12)2−2×(−12)−3=−74，
∴P(−12，−74)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；等腰直角三角形；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据已知的锐角三角函数可求出点C的坐标，然后用待定系数法可求解；
（2）令解析式中的y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求出点B的坐标，过点P作Pl⊥x轴于点L，用含t的代数式将PL表示出来，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）由题意将所求出的二次函数的解析式配成顶点式可得顶点K的坐标，过点K作KM⊥AB于点M，交DF于点N，作FG⊥AK于点G，结合轴对称的性质可证△DHK≌△BEF，则可得DH=BE，HK=EF，过点F作FT⊥KM于T，易证△FTN和△HND是等腰直角三角形，于是可得DH=HN，FT=EM=TN，EF=MT=HK，根据线段的构成Mk=HK+HN+TN+MT可得关于t的方程，解方程即可求出t的值，于是点P的坐标可求解..