江苏省无锡市南长实验中学2024-2025学年八年级上学期10月自主练习数学试题（解析版）

这是一份江苏省无锡市南长实验中学2024-2025学年八年级上学期10月自主练习数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：100分钟满分分值：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此判定即可．
A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
解：∵图中的两个三角形全等，
∴b与b，c与c分别是对应边，那么它们夹角就是对应角，
∴．
故选：A．
3. 在和中，，，添加下列条件后，不能判定的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据判定定理逐项判断即可．
∵，
∴≌，
可知B不符合题意；
∵，
∴≌，
可知C不符合题意；
∵，
∴≌，
可知D不符合题意；
当，不能判断这两个三角形全等，所以A符合题意．
故选：A．
4. 说法中正确的是（）
A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形
C. 两个等边三角形是全等三角形D. 周长相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误；
面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误；
两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误．
长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确；
故选D．
5. 如图，在中，是的中点，且，，交AB于点，，，则的周长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由是的中点可得，进而由可得BD为的垂直平分线，得到，由三线合一得到，又由得，即得，得到，据此可得的周长，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵是的中点，，
∴，
又∵，
∴BD为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：．
6. 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得继而可得答案．
解：，，
∴为等腰直角三角形，
，
∵，
∴，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：B．
7. 如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C．
解：当为腰时，点C的个数有2个；
当为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
8. 如图，将一个等腰按如图方式折叠，若、，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．其中正确的是（）
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，等腰直角三角形的性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键；
由△ABC为等腰直角三角形，得，，根据折叠可得，，可判定①错误；而，，可判定②正确；由，可判定③正确；又的周长，可判定④正确，即可得到答案．
解：为等腰直角三角形，
∴，，
折叠得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，，
由折叠得到，
，，
，
不平分，
所以①错误；
，，
，
所以②正确；
，
是等腰三角形，
所以③正确；
的周长，
的周长等于的长，
所以④正确．
故答案为：②③④，
故选：B．
9. 如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，根据相关知识点，分别求出各选项中的角度，进行判断即可．
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的值不变；
故选B．
10. 如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, CE是直角边, 所以.即.
解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
在和中，
∵,, 且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在和中
∵平分，
∴，
又∵,，
∴，
，
又由,知，
∴，故③正确；
连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴，
在中，
∵是斜边，是直角边，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
故选：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:.在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点.
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分）
11. 正六边形是轴对称图形，它有______条对称轴．
【答案】6
【解析】
【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义进行求解即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
解：如图所示，，正六边形有6条对称轴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和对称轴的定义．
12. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出，的值是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，的值进而得出答案．
解：一个三角形三边为、、，另一个三角形的三边为、、，
，，
∴．
故答案为：．
13. 将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=_______度．
【答案】52
【解析】
解：由折叠得∠3=64°，
∴∠2=180°-64°-64°=52°
∵a∥b，
∴∠1=∠2=52°
故答案为：52
14. 如图，在中，，，，AB的垂直平分线分别交AB，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
15. 已知，，的面积为，则边上的高为________．
【答案】或10厘米
【解析】
【分析】过A作于M，过D作于N，求出的面积，根据三角形的面积公式求出即可．
解：过A作于M，过D作于N，
∵，
∴面积和的面积相等，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，关键是能根据已知得出的面积．
16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角为__________．
【答案】或．
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可．
解：①如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，，
又∵BM是边上的高，
∴，
∴，
②如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，，
∵是边上的高
∴，
∴，
∴
故顶角为：或．
17. 如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形面积公式．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据题意可得，，可得到，，再由三角形面积公式，即可求解．
解：连接，
∵点关于的对称点，
∴，，
∴，，
∴的面积为．
故答案为：．
18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________．
【答案】4.8
【解析】
【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值．
解：如图所示：
过点作于点，交于点，
过点作于点，
平分，
，
．
中，，，，，，
，
，
．
即的最小值是4.8，
故答案为：4.8
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19. 已知：如图，F、C是上的两点，且，，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；
（1）根据平行线的性质得出，根据证明；
（2）根据三角形的全等的性质，得出，即可证明．
解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定判定方法，“，，，，”．
【小问1】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
∴；
【小问2】
解：∵，
∴，
∴．
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）是过网格线的一条直线．
（1）求的面积；
（2）作关于直线对称的图形；
（3）在边上找一点，连接，使得．
【答案】（1）10（2）作图见解析
（3）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查网格中求三角形面积、对称作图及作线段垂直平分线，涉及三角形面积公式、对称性质、等腰三角形性质等，熟练掌握网格中求图形面积、对称作图及作垂直平分线是解决问题的关键．
（1）如图所示，在网格中得到三角形的底边与高长，根据三角形面积公式，代值求解即可得到答案；
（2）根据点的对称性，作出三个顶点关于直线的对称点，连接三点即可得到；
（3）由题意，在边上找一点，使，根据等腰三角形性质得到，将题目转化为作线段的垂直平分线，如图所示即可得到答案．
【小问1】
解：如图所示：
；
【小问2】
解：如图所示：
即为所求；
【小问3】
解：如图所示：
点即为所求．
21. 如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE,；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：ABE≌DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据对顶角相等再结合已知条件即可利用ASA证明全等；
（2）由（1）中全等可得BE=CE，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明．
（1）在ABE和DCE中，
∴ABE≌DCE（ASA）
（2）由（1）得ABE≌DCE
∴BE=CE
∵EF⊥BC
∴BF=FC
即F为BC边的中点．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，比较基础，理解并熟记等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．
22. 如图，已知：在中，的外角的平分线与的平分线交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析（2）．
【解析】
【分析】（1）因为是的平分线，根据角平分线的定义，得，因为，根据两直线平行，内错角相等，得，等量代换得，根据等角对等边，得；
（2）同理可证得，由图可知，，等量代换得，．
【小问1】
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2】
解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∵．
【点睛】本题目是一道角平分线的综合题，涉及到三角形的内角平分线、外角平分线、平行线的性质、等边对等角等．本题目两次利用“角平分线加平行，出现等腰三角形”模型．
23. 【阅读理解】
（1）如图，在中，，，是的中点，求边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到，使，再证明“”．探究得出AD的取值范围是____________；
【灵活运用】
（2）如图，中，，，AD是中线，，，且，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图，在中，AD平分，且AD交于点，的中点为，过点作平行于AD，交AB于点，交CA的延长线于点．若，，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解．
（2）延长交的延长线于，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解．
（3）利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案．
解：（1）延长到 E ，使 ，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）延长交的延长线于，如图：
∵AD是的中线，
∴，
∵，，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
，
，
；
（3）延长到，使，连接，如图所示：
，
，，
平分，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题
的关键．
24. （动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且．
（1）求线段的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）证明即可得到线段长；
（2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出的取值范围；
（3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值．
【小问1】
、是的高，
，
，，
，
，
在和中
，
，
；
【小问2】
，，
，，
设，，
①如图1，当点线段上时，，
，
的取值范围是，
②如图2，当点在射线上时，，
，
的取值范围是；
综上，
【小问3】
存在；
①如图3中，当时，
，，
，
，
，
解得：；
②如图4中，当时，
，，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，或时，．
【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质，三角形面积，灵活运用相关知识是解题关键．
25. 已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
（3）当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
【答案】（1）见解析（2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由，得，根据余角的性质可证，根据证明即可；
（2）作交的延长线于点F，先证明，得，再证明可证结论成立；
（3）分当点D在的延长线上时和当点D在线段上时两种情况求解即可．
【小问1】
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2】
如图，作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵．
【小问3】
当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴的值为；
当点D在线段上时，作于点G，
同理可证：，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．