河南省郑州市第二十六中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省郑州市第二十六中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下列各组三条线段长为边，能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 2，3，4C. 5，11，12D. 8，9，10
2.若电影院中“6排10号”的位置记作，小明的电影票是“4排5号”，则下列有序数对表示小明在电影院位置正确的是( )
A. B. C. D.
3.在实数、、、、、、、、…每两个相邻1之间依次多一个中，无理数共有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4.若点与点关于y轴对称，则( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，能表示一次函数的图象是( )
A. B. C. D.
7.成都市龙泉驿区师上学校为了保障即将举行的第二届运动会开幕式的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立的平面直角坐标系而画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知点，都在直线上，则，大小关系是( )
A. B. C. D. 不能比较
9.如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是( )
A.
B. 25cm
C.
D. 16cm
10.在四边形ABCD中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿的方向运动，到达点A后停止.设点P运动的时间为t，的面积为y，如果y与t的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算______.
12.请写出一个经过点，且y随着x增大而增大的一次函数：______.
13.若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖如图所示，则这个被覆盖的数是______.
14.一次函数是刻画现实世界变量间关系的一个重要模型，其应用比比皆是.如：某弹簧的自然长度为10cm，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧长度增加1cm，则与之间的关系可表示为请你在生活中再找一个情境，使得变量x和y之间的关系满足______.
15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为______.
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
计算：
；
17.本小题10分
如图，方格纸上每个小方格的边长均为1，请在方格纸上按照要求设计图形：
在图①中，以线段AB为边画正方形，该正方形的面积为______；
请在图②中画出一个直角三角形顶点均在格点上，其中有两边长度为无理数，第三边长度为有理数.
18.本小题10分
如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点C的坐标为
在图中画出关于x轴对称的图形，并写出点B的对应点的坐标：______；
观察图中对应点的坐标，关于x轴对称的两个点的坐标之间有何关系，请你写出这个关系：______；
如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与全等点C和点D不重合，那么点D的坐标是______.
19.本小题11分
我们知道，，，…，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如与互为有理化因式，与互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化.例如：，
分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______；分母有理化的结果是______.
利用以上知识计算：
20.本小题12分
问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定理；
定理表述：
请你结合图①中的直角三角形，叙述勾股定理可以选择文字语言或符号语言叙述；
勾股定理：______.
尝试证明：
善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选择其中一种进行证明.
解决问题：
如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.请设法求出旗杆的高度.
21.本小题12分
世界上大部分国家都使用摄氏温度，但仍有一些国家和地区使用华氏温度，两种计量之间有如下对应：
根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；
选择适当的函数表示y与x之间的关系，求出相应的函数解析式；
华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有可能相等吗？如果有，请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由.
22.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知，，点D为x轴上一点，坐标为，连接点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒.
连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足≌时，求直线OP的表达式；
连接PC、PD，求点P在整个运动过程中的面积S关于t的函数表达式；
在点P的运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、，故是直角三角形，故本选项符合题意；
B、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足，则三角形ABC是直角三角形．
2.【答案】A
【解析】解：“6排10号”的位置记作，
小明的电影票是“4排5号”，记作
故选：
由题意可得：第一个数字表示“排”，第二个数字表示“号”，据此即可解答问题．
此题考查了坐标确定位置，正确理解数对代表的意义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：，，，
无理数有：、、、、…每两个相邻1之间依次多一个，共5个，
故选：
根据无理数、有理数的定义即可判定．
此题主要考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，零指数幂，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个8之间依次多1个等形式．
4.【答案】C
【解析】解：点与点关于y轴对称，
，
故选：
关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、不能计算了，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、与无意义，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：中的，
该函数图象经过第一、三象限．
又一次函数中的，
该函数图象与y轴交于负半轴．
综上所述，能表示一次函数的图象是C
故选：
根据一次函数中的，来确定该函数图象所经过的象限．
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：
①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
7.【答案】D
【解析】解：如图所示：，故选项A错误；，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：
直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：点，都在直线上，
，
，
故选：
直接把点，代入直线，求出，的值，并比较其大小即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，，，
由勾股定理得：；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，，，
由勾股定理得：；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，，，
由勾股定理得：；
则需要爬行的最短距离是
故选：
求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开-最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，
当P在BC上时，三角形面积增大，结合图2可得，；
当P在CD上时，三角形面积不变，结合图2可得，；
当P在DA上时，三角形面积变小，结合图2可得，；
过D作于E，
，，
四边形DEBC是矩形，
，，
，
，
故选：
根据题意，分析P的运动路线，分3个阶段分别讨论，可得BC，CD，DA的值，过D作于E，根据勾股定理求得AE，进而可得答案．
本题考查了矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，学生读图、分析的能力，能根据图形求得BC，CD，DA的值是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：
故答案为：
如果，那么x叫做a的立方根．记作：，由此即可得到答案．
本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：设一次函数解析式为
随着x增大而增大，
，
一次函数的图象经过点，取，
，
，
一次函数的解析式可以为
故答案为：答案不唯一
设一次函数解析式为，由y随着x增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，取，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出b值，进而可得出一次函数的解析式．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设被覆盖的数是a，根据图形可得
，
，
三个数，，中符合范围的是
故答案为：
根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解．
本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的关键．
14.【答案】小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校10千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时1千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离千米与离开游乐场的时间小时之间的关系可表示为
【解析】解：小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校10千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时1千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离千米与离开游乐场的时间小时之间的关系可表示为
故答案为：小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校10千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时1千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离千米与离开游乐场的时间小时之间的关系可表示为
答案不唯一，设置的情境两个变量之间的关系可用表示即可．
本题考查一次函数的应用，理解函数的意义是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：的面积，
BC交x轴于M，
当D在x轴正半轴上时，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
当D在x轴负半轴上时，
同理求出，
显然，
，，
的坐标是或
故答案为：或
求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标．
本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论．
16.【答案】解：
；

【解析】先化简二次根式，然后再根据二次根式的减法运算计算即可；
先根据二次根式的乘法进行计算，然后再计算加法即可．
本题考查了二次根式的减法运算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的减法运算法则，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
17.【答案】13
【解析】解：如图①，正方形ABCD即为所求．
由勾股定理得，，
该正方形的面积为
故答案为：
如图②，即为所求答案不唯一
根据正方形的判定画图即可；利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形的面积公式计算即可．
借助网格，结合勾股定理、勾股定理的逆定理、无理数的定义画图即可．
本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、无理数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】横坐标相等，纵坐标互为相反数 或或
【解析】解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
故答案为：
关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系为：横坐标相等，纵坐标互为相反数．
故答案为：横坐标相等，纵坐标互为相反数．
如图，点，，均满足题意，
点D的坐标是或或
故答案为：或或
根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
结合全等三角形的性质确定点D的位置，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：，，；
利用分母有理化的定义进行计算；
先分母有理化，然后合并计算．
本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】
【解析】解：根据勾股定理得：，
故答案为：
证明：方法一：如图②，连接
梯形ACDE面积面积面积
又梯形ACDE面积，
，
方法二：
正方形ABCD面积=正方形HEFG面积面积
又正方形ABCD面积，
解决问题：
解：如图③：
由题意知：，
，
，
，
故旗杆的高度为12米．
根据勾股定理得：
证明：方法一：连接AE，利用梯形面积计算即可．方法二：利用正方形面积计算即可．
解决问题：由题意知：，由勾股定理得，再计算即可．
本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，正确运用勾股定理是解题关键．
21.【答案】解：如图，根据这些数据在给出的坐标系中描点：
根据这些点的分布，可判断该函数为一次函数．
设这个函数表达式为，将坐标和代入，
得，解得
与x之间的函数关系为
有．
当华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，，解得
当摄氏温度为时，华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等．
【解析】将表格中各组数据在给定坐标系中描点即可；
根据这些点的分布，可判断该函数为一次函数．设这个函数表达式为，任选两个点的坐标代入，利用待定系数法求解即可；
令函数表达式中的y等于x，求解该方程．若有解，则说明华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有可能相等；否则，说明不可能相等．
本题考查一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，根据所给数据熟练求出其函数解析式是本题的关键．
22.【答案】解：四边形ABCO是矩形，
，
，
当时，≌，
，
设直线OP的解析式为，
则：，
直线OP的解析式为；
当点P在线段BC上时，如图1中，
，
当点P在线段AB上时，如图2中，
，，
，
综上所述，；
如图3中，
，，
，
①当时，，
②当时，当点在BC上时，点与点C关于直线对称，
当点在AB上时，，
④当时，设，
则：，
解得，
，
综上所述，满足条件的点P坐标为或或或
【解析】由全等三角形的性质可求，利用待定系数法可求解析式；
分两种情形讨论，由三角形的面积公式可解决问题；
分三种情形讨论，由等腰三角形的性质求解即可．
本题是一次函数综合题，考查矩形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用三角形全等分类讨论作答．摄氏温度
0
10
20
30
40
50
华氏温度
32
50
68
86
104
122