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吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学 Word版含答案
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这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学 Word版含答案，共7页。试卷主要包含了 复数， 设集合，，则， 已知数列满足，若，则， 已知向量，，若，则， 已知锐角，，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 复数（i为虚数单位）复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，若，则（ ）
A. B. C. 12D. 36
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. -6B. 0C. D.
5. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 7C. D.
7. 已知锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 的递减区间是
10. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ）
A. 一定是递增数列B. 可能是递增数列也可能是递减数列
C. 、、仍成等比D. ，
11 已知则（ ）
A. B. C. D.
12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 当时，函数单调递增
C. 当时，的最大值为
D. 当时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 展开式的常数项为______.
14. 国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为________.
15. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是____.
16. 已知正实数满足，则的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到）
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？
参考数据：.附：相关系数.
20. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，是线段上的一点，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角为直二面角，求实数的值.
21. 已知函数，函数与关于点中心对称．
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个不等的实根，，且，求a的值．
22 已知函数.
（1）若，求的极值.
（2）若方程在区间上有解，求实数的取值范围.
DADCC DCB 9AC 10BCD 11BCD 12AD
13 15 14 15 16 2
17（1）因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，
即或（舍去），故．
18（1），
（2），.
19
（1）可以， 解：，，
所以，，
，，
所以，，
所以，与的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系.
（2）方案二更优惠，解：设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元，
由题意可知，（元），
的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
所以，方案二更优惠.
20（1）证明：取的中点，连接、，如下图所示：
因为为的中点，为的中点，则，所以，，
又因为，即，所以，，则，
因为平面，平面，所以，平面，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
21（1）
（2）
22（1）极小值为，无极大值
（2）
1. 复数（i为虚数单位）复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，若，则（ ）
A. B. C. 12D. 36
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. -6B. 0C. D.
5. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 7C. D.
7. 已知锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 的递减区间是
10. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ）
A. 一定是递增数列B. 可能是递增数列也可能是递减数列
C. 、、仍成等比D. ，
11 已知则（ ）
A. B. C. D.
12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 当时，函数单调递增
C. 当时，的最大值为
D. 当时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 展开式的常数项为______.
14. 国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为________.
15. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是____.
16. 已知正实数满足，则的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围．
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到）
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？
参考数据：.附：相关系数.
20. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，是线段上的一点，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角为直二面角，求实数的值.
21. 已知函数，函数与关于点中心对称．
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个不等的实根，，且，求a的值．
22 已知函数.
（1）若，求的极值.
（2）若方程在区间上有解，求实数的取值范围.
DADCC DCB 9AC 10BCD 11BCD 12AD
13 15 14 15 16 2
17（1）因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，
即或（舍去），故．
18（1），
（2），.
19
（1）可以， 解：，，
所以，，
，，
所以，，
所以，与的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系.
（2）方案二更优惠，解：设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元，
由题意可知，（元），
的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
所以，方案二更优惠.
20（1）证明：取的中点，连接、，如下图所示：
因为为的中点，为的中点，则，所以，，
又因为，即，所以，，则，
因为平面，平面，所以，平面，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
21（1）
（2）
22（1）极小值为，无极大值
（2）
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