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吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. 或x>2B. 或
C. D.
2. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C D.
3. 椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的一段图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是
D. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
5. 用一个边长为4正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ）
①，②，③，④．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 在区间的值域为
10. 已知点为抛物线焦点，为上不重合的两个动点，为坐标原点，若直线（直线斜率存在且不为0）与仅有唯一交点，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 若线段与的交点恰好为中点，则
C. 直线与直线垂直
D. 若，则
11. 如图所示曲线被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（为坐标原点）动点到点的距离满足：，则（ ）
A. OP的最大值是
B. 若是曲线上一点，且在第一象限，则
C. 与有1个交点
D. 面积的最大值是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则___________．
13. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则________．
14. 某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．
四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且．
（1）求角A的大小；
（2）求面积的最大值．
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
17. 在中，角的对边分别为的面积为，已知.
（1）求角；
（2）若的周长为，求的最大值.
18. 正四棱柱中，点分别在上，且四点共面.
（1）若，记平面与底面的交线为，证明：；
（2）已知，若，求四边形面积的最大值.
19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．
（1）若这个人开始时位于点处，且．
（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；
（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率；
（ⅲ）已知，若，求；
（2）已知是关于的连续函数．
（ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）；
（ⅱ）求关于的表达式．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. 或x>2B. 或
C. D.
2. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C D.
3. 椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的一段图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是
D. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
5. 用一个边长为4正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ）
①，②，③，④．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 在区间的值域为
10. 已知点为抛物线焦点，为上不重合的两个动点，为坐标原点，若直线（直线斜率存在且不为0）与仅有唯一交点，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 若线段与的交点恰好为中点，则
C. 直线与直线垂直
D. 若，则
11. 如图所示曲线被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（为坐标原点）动点到点的距离满足：，则（ ）
A. OP的最大值是
B. 若是曲线上一点，且在第一象限，则
C. 与有1个交点
D. 面积的最大值是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则___________．
13. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则________．
14. 某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．
四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且．
（1）求角A的大小；
（2）求面积的最大值．
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
17. 在中，角的对边分别为的面积为，已知.
（1）求角；
（2）若的周长为，求的最大值.
18. 正四棱柱中，点分别在上，且四点共面.
（1）若，记平面与底面的交线为，证明：；
（2）已知，若，求四边形面积的最大值.
19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．
（1）若这个人开始时位于点处，且．
（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；
（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率；
（ⅲ）已知，若，求；
（2）已知是关于的连续函数．
（ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）；
（ⅱ）求关于的表达式．
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