广东省中学山纪念中学2024年数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份广东省中学山纪念中学2024年数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各式中的最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）甲和乙一起练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示．设他们这10次射击成绩的方差为S甲2、S乙2，下列关系正确的是（ ）
A．S甲2＜S乙2B．S甲2＞S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定
3、（4分）下列说法中：①样本中的方差越小，波动越小，说明样本稳定性越好；②一组数据的众数只有一个；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据；④数据3，3，3，3，2，5中的众数为4；⑤一组数据的方差一定是正数．其中正确的个数为( )
A．0B．1C．2D．4
4、（4分）一次函数y=ax+b，b＞0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是( )
A．5，13，12B．，1，2C．6，7，10D．3，4，5
6、（4分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是
A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形
B．当M，N，P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为正方形
C．当M，N、P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为菱形
D．当M，N、P、Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为矩形
8、（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。问折高几何？意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远。问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C．x2+6=(10-x)2D．x2+62=(10-x)2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果正比例函数的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于 ▲ ．
10、（4分）计算· (a≥0)的结果是_________.
11、（4分）计算的结果是______．
12、（4分）一次函数y=(m-3)x+5的函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围_______．
13、（4分）已知一次函数的图象过点，那么此一次函数的解析式为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图，图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm）.请你用所学过的有关统计知识，回答下列问题（数据：15，16，16，14，14，15的方差，数据：11，15，18，17，10，19的方差：
（1）分别求甲、乙两段台阶的高度平均数；
（2）哪段台阶走起来更舒服？与哪个数据（平均数、中位数、方差和极差）有关？
（3）为方便游客行走，需要陈欣整修上山的小路，对于这两段台阶路.在总高度及台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
15、（8分）如图,菱形的对角线相交于点,,,相交于点.求证:四边形是矩形.
16、（8分）（1）计算
（2）解方程
17、（10分）如图，点的纵坐标为，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点.
（1）求该一次函数的解析式.
（2）若该一次函数的图象与轴交于点，求的面积.
18、（10分）某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程。已知若甲队单独做需要10个月可以完成。
（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知直线与直线平行，那么_______．
20、（4分）已知点M（-1，），N（，-2）关于x轴对称，则=_____
21、（4分）已知关于X的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________________
22、（4分）平面直角坐标系中,点A在函数 (x>0)的图象上,点B在 (x<0)的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b，当|a|=|b|=5时，求△OAB的面积为____；
23、（4分）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费，如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．
（1）若该城市某户6月份用水18吨，该户6月份水费是多少？
（2）设某户某月用水量为x吨（x＞20），应缴水费为y元，求y关于x的函数关系式．
25、（10分）现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形 纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图①、图②、图③)．
图②矩形(正方形)
,
分别在图①、图②、图③中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．
要求：
(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．
(2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙．
(3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
26、（12分）请把下列证明过程补充完整：
已知：如图，DE∥BC，BE平分∠ABC．求证：∠1=∠1．
证明：因为BE平分∠ABC（已知），
所以∠1=______ （ ）．
又因为DE∥BC（已知），
所以∠2=_____（ ）．
所以∠1=∠1（ ）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；②被开方数中不含分母；由此可知选项A、B、D都不符合要求，只有C选项符合.故选C.
2、A
【解析】
结合图形，成绩波动比较大的方差就大．
【详解】
解：从图看出：甲选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定，其方差较小，所以S甲2＜S乙2.
故选A.
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3、B
【解析】
①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，故①正确；
②一组数据的众数不只有一个，有时有好几个，故②错误；
③一组数据的中位数不一定是这组数据中的某一数，若这组数据有偶数个即是将一组数据从小到大重新排列后最中间两个数的平均数，故③错误；
④数据：2，2，3，2，2，5的众数为2，故④错误；
⑤一组数据的方差不一定是正数，也可能为零，故⑤错误．
所以说法正确的个数是1个．
故选B.
4、C
【解析】
根据题意，判断a<0,b>0,由一次函数图象的性质可得到直线的大概位置.
【详解】
因为，一次函数y=ax+b，b＞0，且y随x的增大而减小，
所以，a<0,
所以，直线经过第一、二、四象限.
故选：C
本题考核知识点：一次函数的图象. 解题关键点：熟记一次函数的图象.
5、C
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、52+122=132，故不是直角三角形，故选项正确；
B、2+12=22，故是直角三角形，故选项错误；
C、62+72≠102，故是直角三角形，故选项错误；
D、32+42=52，故是直角三角形，故选项错误．
故选：C．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6、C
【解析】
根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
7、B
【解析】
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】
解：连接AC、BD交于点O，
，N，P，Q是各边中点，
，，，，
，，
四边MNPQ一定为平行四边形，A说法正确，不符合题意；
时，四边形MNPQ不一定为正方形，B说法错误，符合题意；
时，，
四边形MNPQ为菱形，C说法正确，不符合题意；
时，，
四边形MNPQ为矩形，D说法正确，不符合题意.
故选B．
本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．
8、D
【解析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即x1+61=（10-x）1．
故选：D．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-2
【解析】
将（1，－2）代入得，—2=1×k，解得k=－2
10、4a
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.
【详解】
=
=
=4a，
故答案为4a.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.
11、1
【解析】
利用二次根式的计算法则正确计算即可．
【详解】
解：
=
=
=1
故答案为：1．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握计算法则是解题关键．
12、m<1
【解析】
一次函数y=kx+b（k≠2）的k＜2时，y的值随x的增大而减小,据此可解答.
【详解】
∵一次函数y=（m-1）x+5，y随着自变量x的增大而减小，
∴m-1＜2，
解得:m＜1,
故答案是：m＜1．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞2，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜2，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=2．函数值y随x的增大而减小⇔k＜2；函数值y随x的增大而增大⇔k＞2.
13、
【解析】
用待定系数法即可得到答案.
【详解】
解：把代入得，解得，
所以一次函数解析式为．
故答案为
本题考查求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）甲台阶高度的平均数15，乙台阶高度的平均数15；（2）甲段路走起来更舒服一些；（3）每个台阶高度均为15cm，游客行走更舒服．
【解析】
分析：（1）根据图中所给的数据，利用平均数公式求解即可；
（2）根据平均数、中位数、方差和极差的特征回答即可；
（3）结合方差，要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小，据此提出合理性的整修建议.
详解：（1）甲台阶高度的平均数：（15+16+16+14+14+15）÷6=15，
乙台阶高度的平均数：（11+15+18+17+10+19）÷6=15.
（2）甲段路走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．
（3）每个台阶高度均为15cm（原平均数）使得方差为0，游客行走更舒服．
点睛：本题主要考查中位数的概念、平均数计算公式以及方差的计算.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定.反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.在本题中，根据题意求出方差，进而利用方差的意义进行分析即可.
15、见解析.
【解析】
首先判定四边形OAEB是平行四边形，再由菱形的性质得出∠AOB=90°，从而判定四边形OAEB是矩形．
【详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形.
∴四边形是矩形
本题考查了矩形的判定，菱形的性质, 掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键.
16、（1）原式=；（2）x1=-1，x2=2.5；
【解析】
（1）根据负整数指数幂的意义与二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）整理后直接利用公式法或十字相乘法解方程．
【详解】
解：（1）原式=
=
= ；
（2）
整理得：
（x+1）（2x-5）=0
∴ ， ．
故答案为：1）原式=；（2） ， ．
本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法和二次根式的性质．
17、（1）；（2）．
【解析】
（1）利用正比例函数，求得点B坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）利用一次函数解析式求得点D坐标，即可求的面积.
【详解】
（1）把代入中，得，
所以点的坐标为，
设一次函数的解析式为，
把和代入，得，解得，
所以一次函数的解析式是；
（2）在中，令，则，
解得，则的坐标是，
所以．
本题为考查一次函数基础题，考点涉及利用待定系数法求一次函数解析式以及求一次函数与坐标轴交点坐标,熟练掌握一次函数相关知识点是解答本题的关键.
18、（1）15（2）方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；方案二：甲队作2个月，乙队作1个月
【解析】
(1)设完成本项工程的工作总量为1,由题意可知,从而得出x=15. 即单独完成这项工程需要15个月.
(2)根据题目关键信息：该工程总费用不超过141万元、采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工可以列出关于a、b方程组，从而得出a、b的取值范围，根据a、b的取值范围及a、b均为整数的关系得出b为3的倍数，则b=9或b=1．从而得出a的取值.确定工程方案.
【详解】
（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：
经检验x=15是原方程的根
答：乙队需要15个月完成；
（2）根据题意得：，解得：a≤4 b≥9
∵a≤1，b≤1且a，b都为正整数，
∴9≤b≤1又a=10﹣b，
∴b为3的倍数，∴b=9或b=1．
当b=9时，a=4；
当b=1时，a=2
∴a=4，b=9或a=2，b=1．
方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；
方案二：甲队作2个月，乙队作1个月；
本题主要考查列方程解决工程问题，工程问题是中考常考知识点.根据 a、b的取值范围及a、b均为整数的关系得出b为3的倍数是本题的难点.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解．
【详解】
解：直线与直线平行，
，
故答案为：1．
本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等．
20、1
【解析】
若P的坐标为（x，y），则点P关于x轴的对称点的坐标P′是（x，-y）由此可求出a和b的值，问题得解．
【详解】
根据题意，得b=-1，a=2,
则ba=（-1）2=1，
故答案是：1.
考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
21、m≤3且m≠2
【解析】
试题解析：∵一元二次方程有实数根
∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0
解得：m≤3且m≠2.
22、2
【解析】
根据已知条件可以得到点A、B的横坐标，则由反比例函数图象上点的坐标特征易求点O到直线AB的距离，所以根据三角形的面积公式进行解答即可；
【详解】
)∵a>0,b<0,当|a|=|b|=5时,
可得A(5, ),B(−5, )，
∴S△OAB=×10×=2；
此题考查反比例函数，解题关键在于得到点A、B的横坐标
23、（，0）
【解析】
【分析】根据一次函数解析式求出点A、点B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、点D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0求出x的值，从而得到点P的坐标.
【详解】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
如图，
令y=x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4），
令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0），
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（-3，2），D′（0，-2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y=-x-2，
令y=0，则0=-x-2，解得：x=-，
∴点P的坐标为（-，0），
故答案为（-，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法、一次函数以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式，解决此类问题时找点的坐标，常利用待定系数法求出函数解析式.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）该户6月份水费是45元；（2）y=3.3x-1．
【解析】
（1）每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费，而该城市某户6月份用水18吨，未超过20吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案；
（2）如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费，设某户某月用水量为x吨，那么超出20吨的水量为（x-20）吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案．
【详解】
解：（1）根据题意：该户用水18吨，按每吨2.5元收费，
2.5×18=45（元），
答：该户6月份水费是45元；
（2）设某户某月用水量为x吨（x＞20），超出20吨的水量为（x-20）吨，
则该户20吨的按每吨2.5元收费，（x-20）吨按每吨3.3元收费，
应缴水费y=2.5×20+3.3×（x-20），
整理后得：y=3.3x-1，
答：y关于x的函数关系式为y=3.3x-1．
本题考查的是一次函数的应用，理清题意，找出各数量间的数量关系，正确得出函数关系式是解题关键．
25、 (1)、答案见解析；(2)、答案见解析；(3)、答案见解析
【解析】
试题分析：(1)、剪出一个非正方形的矩形，过平行四边形的一个定点作垂线即可；(2)、链接平行四边形的对角线即可得出答案；(3)、找到一边的中点，然后连接其中一个顶点和对边的中点即可.
试题解析：如图所示．
考点：四边形的性质
26、∠2；角平分线的定义；∠1；两直线平行，同位角相等；等量代换.
【解析】
利用角平分线的定义和平行线的性质填空
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人