安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题（解析版）

这是一份安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围， 已知，则．， 当时，曲线与的交点个数是， 已知函数，则下列命题正确的是， 设，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：集合与逻辑､不等式､函数与导数､三角函数､解三角形.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则的子集个数为（）
A. 2B. 3C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出，进而求出子集个数.
依题意，集合，集合，
于是，所以的子集个数为.
故选：D
2. 已知是定义域为的函数，则“，使”是“是上的增函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.
“，使”不能推出“是上的增函数”，
如，满足，使，但不是上的增函数.
反之，若是上的增函数，由增函数的定义，可知一定，使.
所以“，使”是“是上的增函数”的必要不充分条件.
故选：C.
3. 设实数满足，则关于的不等式的解集为（）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次不等式与二次函数的关系，给合题意，可得答案.
因为，所以不等式的解集为或.
故选：A.
4. 已知，则（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化即可得到答案.
故选:A
5. 当时，曲线与的交点个数是（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数与的图象，结合图象，即可求解.
作出函数与的图象，如图所示，
观察在上的两个函数的图象，共有5个交点.
故选：C.
6. 设函数在上单调递减，则的范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性列式求解即得.
由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，
且，，而函数的图象开口向下，对称轴方程为，
因此，解得.
故选：D
7. 已知函数，则下列命题正确的是（）
A. 是以为周期的函数
B. 直线是曲线的一条对称轴
C. 函数的最大值为，最小值为
D. 函数在上恰有2024个零点
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，用周期性定义验证即可；对于B,用对称性定义验证即可；对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.结合换元和二次函数，正弦函数最值问题求解即可；对于D,先研究函数在上的零点个数，再用周期性拓广即可.
对于A,因为与不恒相等，所以不是的周期，故A错误；
对于B,又与不恒相等，故B错误；
对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.
①当时，，令，
则，易知在区间上的最大值为，最小值为，
②当时，,令，
则，知在区间上的最大值为，最小值为，
综上所述函数的最大值为，最小值为，故C正确；
对于D,先研究函数在上的零点个数，由C可知,当时，令得，
又因，在只有唯一解，即此时函数只有唯一零点.
同理可得当时函数也只有唯一零点.所以函数在上恰有2025个零点.故D错误.
故选:C.
8. 设，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小.
由题意得，.
令，则，
令，则，
令，则，当时，，
∴在上是减函数，且，，
∴，使得，
∴当时，，当时，，
∴在上为增函数，在为减函数.
∵，，
∴当时，，
∴在上为增函数.
∵，
∴，
∴.
②令，
则，
∴在上为增函数.
∵,
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下：
①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字，
②将看成变量，构造函数，
③分析包含的某个区域的函数单调性，
④根据函数单调性比较大小.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）
A. 若，则有两解
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理、余弦函数的单调性对选项逐一分析即可.
由正弦定理，得，
则，此时无解，故错误；
函数在上单调递减，则时，，故正确；
因为，角为内角，
所以，知均为锐角，则为锐角三角形，故正确；
，
由余弦定理，得，
整理得或，
即或为等腰三角形或直角三角形，故错误.
故选：.
10. 已知实数，且，则下列说法正确的是（）
A. 的最小值为1
B. 的最小值为18
C. 的最大值是
D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用对数运算、指数幂的运算结合基本不等式及配凑法对选项逐一分析即可判断.
，
当且仅当时等号成立，故正确；
，当且仅当即时，等号成立，
与0矛盾，故错误；
，当且仅当时，等号成立，
则，故正确；
，
当且仅当时，等号成立，故正确.
故选：.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 函数与的图象有相同的切线
B. 函数有两个单调区间
C. 存在实数，使得函数和有相同的最小值
D. 已知直线与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右三个交点的横坐标分别为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，由相同切线建立方程判断A；求出函数的单调区间判断B；取，求出函数的最小值判断C；确定曲线有交点，数形结合求出判断D.
对于A，设直线与曲线分别相切于点，，
则直线或，即或，
则有，消去得，令，
而，函数在R上的图象连续不断，
则函数有零点，即曲线有相同的切线，A正确；
对于B，函数的定义域为，，
令，则在和上单调递增，又，，
于是使得，当时，，；
当时，，则，函数有三个单调区间，B错误；
对于C，当时，令，，，，
由，得，由，得，在上递减，在上递增，，
由，得，由，得，在上递减，在递增，，C正确；
对于D，由选项C知，，，作出的大致图象：
令二图象交点，，当直线与曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，即，而，，
即，令，得，
解得或，由，得，
因此当直线与曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，则，
而，因此，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题D选项，作出函数图象，数形结合求出直线与两条曲线交点的横坐标是解题的关键.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，集合，若，则__________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据确定的值，对函数求导，代入计算即得.
因为，故或，则或，
因时，，不满足，故.
又因，故.
故答案为：5.
13. 设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质解不等式即可.
x∈0,π，则，
在区间0,π恰有三个极值点，两个零点，则，
解得.
故答案为：.
14. 已知定义在上的可导函数为奇函数，为奇函数且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据为奇函数，可得的图象关于中心对称，在上的可导函数，根据复合函数求导可得的图象关于轴对称，可得是为周期函数，即可求解.
因为为奇函数，所以，
则的图象关于中心对称，则，
因为奇函数，所以，
即，得，
设为常数，令，得，
则，所以的图象关于轴对称，
又因的图象关于中心对称,
可得，
则，故函数是周期为4的函数，
因为，所以，，
所以，所以.
故答案为：
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知集合，集合，且：
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）；
（2）极小值1，无极大值.
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用并集的结果求出的值.
（2）由（1）的结论，利用导数求出函数的极值.
【小问1】
由，得，解得，则，
而，，于是，
解得，此时，符合题意，
所以.
【小问2】
由（1）知，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
16. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及函数的对称中心；
（2）设，若对任意的都有，求实数的取值范围.
【答案】（1），对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的公式化简及图象性质易得结果；
（2）将题干不等式转化为，分别求出和的相应最值，可得参数的范围.
【小问1】
，
因为的最小正周期为，所以，故.
所以，
令，解得.
所以的对称中心为.
【小问2】
因为对任意的都有，
所以.
因为，
令，当时，，
得函数.
则；
当时，，则，
所以，即
即解得，
故实数的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）证明：时，在恒成立.
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）计算，根据、求函数的单调区间；
（2）把不等式等价变形，根据、得，转化不等式，构造函数，通过求导分析单调性证明不等式.
【小问1】
当时，，
由得, ，故，
由得, ，故，
所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.
【小问2】
要证明不等式恒成立，只需证明在上恒成立，
∵，
∴，
∴要证，只需证.
令，
则.
∵,
∴,
∴,
∴在上为减函数，
∵，
∴在上恒成立，
∴时，在恒成立.
18. 在中，角的对边分别为.且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，内切圆的半径为，求；
（3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得；
（2）由等面积得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边；
（3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而即得三角形面积最小值.
【小问1】
由，
可得，所以，即，
因，则.
【小问2】
由等面积法可得：，即：，
所以①，②，
在中，由余弦定理得，即③，
由①②③解得：；
小问3】
如图，因平分，故，
在中，设，则，
在中，由正弦定理，得，则，
在中，由正弦定理，得，则，
得，故有（*）.
在中，由正弦定理，得，则，
得代入（*）式，可得，即.
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”.
于是，.即的面积的最小值为.
【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题.
19. 已知函数为自然对数的底数，，曲线与在处的切线的倾斜角互补.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为函数和的“隔离直线”.证明：函数和之间存在唯一的“隔离直线”.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合倾斜角互补即斜率互为相反数即可求解；
（2）对求导分析单调性及最值，利用二次求导分析的单调性及最值，可得的解析式，继而即可求解.
（3）由题意得点为函数的图象的公共点，，可知函数的图象在公共点处有公切线，通过构造函数，分析单调性及最值来证明，，即可得证.
【小问1】
由题得，
所以，
由题意可知，则.
【小问2】
由，得，
所以时，f'x