福建省厦门市思明区双十中学2022-2023学年九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份福建省厦门市思明区双十中学2022-2023学年九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列各点在函数y＝x2﹣1图象上的是（　　）
A．（0，0） B．（1，1） C．（0，﹣1） D．
2．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣2
3．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝2，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
5．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
7．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　）
A．2018 B．﹣2018 C．2020 D．﹣2020
8．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（　　）
A．开口向下
B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）
C．与y 轴相交于点（0，﹣3）
D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小
9．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　）
A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3
10．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
二、填空题（每题4分，共24分）
11．方程x2﹣4＝0的解是 　 　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：
x
……
0
1
2
3
……
y
……
﹣5
﹣5
﹣9
﹣17
……
则该函数的对称轴为 　 　．
13．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 　 　．
14．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　 　m．
15．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　 　．
16．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为 　 　．
三、解答题（9小题，共86分）
17．用你喜欢的方法解方程：x2﹣5x+1＝0．
18．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
19．已知二次函数的图象经过点（0，3），且顶点坐标为（﹣1，4）．
（1）求这个函数解析式；
（2）在直角坐标系，画出它的图象．

20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）我们将平面内的点与三角形的位置关系分为三类：①点在三角形的内部；②点在三角形的边上；③点在三角形的外部．
若，判断抛物线y＝ax2+bx的顶点D与△AOB的位置关系，并说明理由．

22．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是 　 　；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由．
23．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋、小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．从该店店长处获悉：若按下表中价格销售，则该餐饮店平均每天实出的小份装70份．
份量
小份装
大份装
成本（元/份）
40
60
售价（元/份）
60
100
（1）求该店每天销售这款爆款菜品获得的总利润．
（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利 　 　元，此时大份装每天可售出 　 　份．每天能否获利2768元？若能，求出m值；若不能，请说明理由．
24．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根都是整数．x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程mx2+（3m+1）x+3﹣b＝0的两个根，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．
25．已知抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）当m≤x≤m+4时，﹣4≤y≤5，求m的值；
（3）直线y＝kx﹣k﹣2（k＞0）与抛物线C交于M、N两点（点M在点N的左侧），点P（1，﹣6），连接NP交抛物线C于另一点Q，求证：点M与点Q关于直线x＝1对称．


参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列各点在函数y＝x2﹣1图象上的是（　　）
A．（0，0） B．（1，1） C．（0，﹣1） D．
【分析】把所给点的坐标代入函数解析式判断即可．
解：∵y＝x2﹣1，
∴当x＝0时，y＝﹣1≠0，故点（0，0）不在函数图象上，
当x＝1时，y＝﹣12+1＝0≠1，故点（1，1）不在函数图象上，
当x＝0时，y＝﹣1，故点（0，﹣1）在函数图象上，
当x＝时，y＝﹣≠0，故点（0，0）不在函数图象上，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣2
【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0
x1＝0，x2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
3．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝2，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝2代入原方程得到关于k的一元二次方程，然后解此方程即可．
解：把x＝2代入方程x2﹣kx﹣6＝0，得4﹣2k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，从而得出答案．
解：∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴x2﹣6x＝7，
则x2﹣6x+9＝7+9，即（x﹣3）2＝16，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
【分析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．
解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；
B．此方程的解为x＝，不符合题意；
C．此方程的解为x＝，符合题意；
D．此方程的解为x＝，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　）
A．2018 B．﹣2018 C．2020 D．﹣2020
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
解：根据题意得a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，
所以a+b+ab＝﹣1﹣2019＝﹣2020．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（　　）
A．开口向下
B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）
C．与y 轴相交于点（0，﹣3）
D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：A、∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），故本小题正确，不合题意；
C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与y轴的交点，掌握其性质是解决此题关键．
9．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　）
A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3
【分析】当p＝0，易得α＝2，β＝3，当p≠0，对于（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0有两不等根，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公共点，利用y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0）得到α＜2，β＞3．
解：当p＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得α＝2，β＝3，
当p≠0，（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公共点，而y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），直线y＝p2在x轴上方，所以α＜2，β＞3，
综上所述，α≤2且β≥3．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了二次函数与x轴的交点问题．
10．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，
可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c＝＝5，此时c2﹣16＞0．故A错误．
B、正确．
理由：∵M1＝1，M2＝0，
∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，
∵a，b，c是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴c＝b2，
对于y3＝x2+cx+4，
则有△＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
C、错误．由M1＝0，M2＝2，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误．
D、由M1＝0，M2＝0，
可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．方程x2﹣4＝0的解是 　x1＝2，x2＝﹣2　．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x1＝2，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：
x
……
0
1
2
3
……
y
……
﹣5
﹣5
﹣9
﹣17
……
则该函数的对称轴为 　直线x＝　．
【分析】根据表格中的数据可以写出该函数的对称轴，本题得以解决．
解：由表格可得，
该函数的对称轴是：直线x＝＝，
故答案为：直线x＝．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 　10（1+x）2＝12.1　．
【分析】利用5月份的参观人数＝3月份的参观人数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：10（1+x）2＝12.1．
故答案为：10（1+x）2＝12.1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　10　m．
【分析】成绩就是当高度y＝0时x的值，所以解方程可求解．
解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
故答案为：10
【点评】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
15．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　4　．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m＝4．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
16．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为 　2　．
【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根据ab的最大值为9，得k＝﹣，即可求出c＝2．
解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣＝9，
解得k＝﹣，
把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，
∴c＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
三、解答题（9小题，共86分）
17．用你喜欢的方法解方程：x2﹣5x+1＝0．
【分析】利用公式法求解即可．
解：x2﹣5x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
18．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用分式的混合运算法则运算即可；
（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论．
解：（1）原式＝
＝
＝
＝1；
（2）不等式2x﹣1＞x+1的解集为：x＞2，
不等式4x﹣1≥x+8的解集为：x≥3，
它们的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为：x≥3．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
19．已知二次函数的图象经过点（0，3），且顶点坐标为（﹣1，4）．
（1）求这个函数解析式；
（2）在直角坐标系，画出它的图象．

【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将（0，3）代入计算即可确定出抛物线解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出抛物线图象即可．
解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
将（0，3）代入得：a+4＝3，即a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图所示；
．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值．
【分析】（1）根据题意可得根的判别式Δ＞0，列出不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝5，把x1＝5代入，求出方程的另一个根．
解：（1）根据题意得，Δ＝9﹣4m＞0，
解得，m＜；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝3，
∵x1＝5，
∴x2＝﹣2．
【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）我们将平面内的点与三角形的位置关系分为三类：①点在三角形的内部；②点在三角形的边上；③点在三角形的外部．
若，判断抛物线y＝ax2+bx的顶点D与△AOB的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求AB的长即可；
（2）先求抛物线的解析式y＝﹣x2+x，从而D点坐标，再确定D点的位置即可．
解：（1）当x＝0时，y＝5，
∴B（0，5），
当y＝0时，x＝10，
∴A（10，0），
∴AB＝5；
（2）∵，
∴y＝﹣x2+bx，
将A（10，0）代入，可得﹣5+10b＝0，
解得b＝，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣5）2+，
∴D（5，），
当x＝5时，﹣5+5＝，
∵＜，
∴顶点D在△AOB的内部．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，三角形与点的位置的判定方法是解题的关键．
22．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是 　x（x+1）　；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由．
【分析】（1）利用第二轮被传染上流感人数＝在每轮的传染中平均一个人传染的人数×（第一轮被传染上流感人数+1），即可用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；
（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，利用经过两轮传染后患病的人数＝1+第一轮被传染上流感人数+第二轮被传染上流感人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由其正值为正整数，可得出第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
解：（1）∵在每轮的传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮被传染上流感人数是x，第二轮被传染上流感人数是x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，理由如下：
依题意得：1+x+x（x+1﹣4）＝81，
整理得：x2﹣2x﹣80＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
∵x1＝10为正整数，
∴第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋、小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．从该店店长处获悉：若按下表中价格销售，则该餐饮店平均每天实出的小份装70份．
份量
小份装
大份装
成本（元/份）
40
60
售价（元/份）
60
100
（1）求该店每天销售这款爆款菜品获得的总利润．
（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利 　（20+m）　元，此时大份装每天可售出 　（30+4m）　份．每天能否获利2768元？若能，求出m值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意直接计算即可；
（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；根据小份装利润+大份装利润＝2768列出一元二次方程，解方程即可．
解：（1）该店总利润为＝30×（100﹣60）+70（60﹣40）＝1200+1400＝2600（元），
∴该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为2600元；
（2）①小份菜售价提高m元之后，售价为（60+m）元，
利润为60+m﹣40＝（20+m）元，
小份菜售价增加m元后，销量减少了4m份，
则目前每天销售小份菜（70﹣4m）份，
因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了4m份，则大份菜会增加4m份，
则大份菜销量为100﹣（70﹣4m）＝（30+4m）份．
∴每售出一份小份菜可获利（20+m）元，大份菜可售出（30+4m）份，
故答案为：（20+m），（30+4m）；
∵大份装多售出4m份，
∴大份装降价＝2m元，
根据题意得：（20+m）×（70﹣4m）+（40﹣2m）×（30+4m）＝﹣12m2+90m+2600＝2678，
解得：m1＝4，m2＝3.5，
∵m为整数，
∴m＝4．
每天能获利2768元，此时m＝4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用和列代数式，关键是找出等量关系列出一元二次方程．
24．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根都是整数．x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程mx2+（3m+1）x+3﹣b＝0的两个根，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．
【分析】（1）利用△求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；
（2）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程x2+4x+3﹣b＝0的两个根，利用根与系数的关系得到x1+x1+n＝﹣4，即x1＝﹣，代入代数式化简即可求出答案．
解：（1）∵由题意可知Δ＝（3m+1）2﹣4m×3＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）设关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根为a，b，
∴a+b＝﹣＝﹣3﹣，ab＝，
∵a与b是整数，
∴与同为整数，
∵m是正整数，
∴m＝1，
∴方程为x2+4x+3＝0，
∴x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程x2+4x+3﹣b＝0的两个根，
∴x1+x1+n＝﹣4，
∴x1＝﹣，
∴原式＝4（﹣）2+12n（﹣）+5n2+16n+8＝24．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系求出x1＝﹣．
25．已知抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）当m≤x≤m+4时，﹣4≤y≤5，求m的值；
（3）直线y＝kx﹣k﹣2（k＞0）与抛物线C交于M、N两点（点M在点N的左侧），点P（1，﹣6），连接NP交抛物线C于另一点Q，求证：点M与点Q关于直线x＝1对称．
【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）先确定函数最小值为y＝﹣4，然后分类讨论x＝m时y取最大值与x＝m+4时y取最大值，进而求解．
（3）将图象先向左平移1个单位，通过一元二次方程根与系数的关系求出M'与Q'关于y轴对称，进而求解．
解：（1）将（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴x＝1时，y＝﹣4，
∵﹣4≤y≤5，
∴m≤1≤m+4，
解得﹣3≤m≤1，
当x＝m，y＝5时，5＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝4（舍）或m＝﹣2．
当m＝﹣2时，m+4＝2，把x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，满足题意．
当x＝m+4，y＝5时，5＝（m+4）2﹣2（m+4）﹣3，
解得m＝0或m＝﹣6（舍）．
当m＝0时，把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，满足题意．
综上所述，m＝﹣2或m＝0．
（3）证明：将直线y＝kx﹣k﹣2（k＞0）与抛物线C与点P（1，﹣6）向左平移一个单位可得：
直线y＝kx﹣2，抛物线y＝x2﹣4，点P'（0，﹣6），
设M'（m，m2﹣4），N'（n，n2﹣4），Q'（q，q2﹣4），
令x2﹣4＝kx﹣2整理得x2﹣kx+﹣2＝0，
∴mn＝﹣2，
∵点P'坐标为（0，﹣6），
∴设直线P'N'解析式为y＝ax﹣6，
令ax﹣6＝x2﹣4，整理得x2﹣ax+2＝0，
∴qn＝2，
∵mn+qn＝（m+q）n＝﹣2+2＝0，且n≠0，
∴m+q＝0，
即点M'，Q'关于y轴对称，
将图象向右平移1个单位可得点M，Q关于直线x＝1对称．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系及一元二次方程根与系数的关系．