广东省广州市重点中学2024-2025学年九上数学开学监测模拟试题【含答案】

这是一份广东省广州市重点中学2024-2025学年九上数学开学监测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2、（4分）如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（ ）
A．①③B．①②C．②④D．③④
3、（4分）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
4、（4分）方程x2+x﹣12=0的两个根为（ ）
A．x1=﹣2，x2=6B．x1=﹣6，x2=2C．x1=﹣3，x2=4D．x1=﹣4，x2=3
5、（4分）若二次根式有意义，则x应满足（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x＞3D．x＞﹣3
6、（4分）数学课上，小明同学在练习本的相互平行的横隔线上先画了直线a，度量出∠1＝112°，接着他准备在点A处画直线b．若要b∥a，则∠2的度数为( )
A．112°B．88°C．78°D．68°
7、（4分）点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜3B．3＜y1＜y2C．y2＜y1＜3D．3＜y2＜y1
8、（4分）如图．在正方形中，为边的中点，为上的一个动点，则的最小值是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若正比例函数的图象过点和点，当时，，则的取值范围为__________．
10、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°，AB＝10，E、F分别为AO、AD的中点，则EF的长是_____．
11、（4分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若，，则AC的长为______．
12、（4分）今年全国高考报考人数是10310000，将10310000科学记数法表示为_____．
13、（4分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝，那么6※3＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，在中，延长到，使得．连结，．
（1）求证：；
（2）请在所给的图中，用直尺和圆规作点（不同于图中已给的任何点），使以，，，为顶点的四边形是平行四边形（只作一个，保留痕迹，不写作法）．
15、（8分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售．设购买个ｘ个A品牌的计算器需要ｙ1元，购买ｘ个B品牌的计算器需要ｙ2元，分别求出ｙ1、ｙ2关于ｘ的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
16、（8分）校团委决定对甲、乙、丙三位候选人进行民主投票、笔试、面试考核，从中推选一名担任学生会主席．已知参加民主投票的学生为200名，每人当且仅当推荐一名候选人，民主投票结果如下扇形统计图所示，笔试和面试的成绩如下统计表所示．
（1）甲、乙、丙的得票数依次是______、______、______；
（2）若民主投票得一票记1分，学校将民主投票、笔试、面试三项得分按3：4：3的比例确定三名候选人的考核成绩，成绩最高当选，请通过计算确定谁当选．
17、（10分）如图,在平面直角坐标系中,直线分别交两轴于点,点的横坐标为4,点在线段上,且.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)在平面内是否存在这样的点,使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标；若不存在,不必说明理由.
18、（10分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在R△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是AB上的一个动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为_____．
20、（4分）已知一个钝角的度数为 ，则x的取值范围是______
21、（4分）超速行驶是交通事故频发的主要原因之一．交警部门统计某天 7:00—9:00 经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到频数分布折线图．若该路段汽车限速为110km/h，则超速行驶的汽车有_________辆．
22、（4分）已知边长为4cm的正方形ABCD中，点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路线运动，则当PQcm时，点C到PQ的距离为______．
23、（4分）不等式 的解集为________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）求证：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形.
（1）根据所给的图形，将已知、求证补充完整：
已知：如图，在四边形中，，_______________________.
求证：____________________.
（2）证明这个命题.
25、（10分）解分式方程：
(1)
(2)
26、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．
求证：AE∥CF．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
解：选项A. ，错误；
选项B. ，正确；
选项C. ，错误；
选项D. ，错误．
故选B．
本题考查；；；；；；灵活应用上述公式的逆用是解题关键．
2、A
【解析】
根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质1，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
【详解】
①根据等式的性质1，等式的两边都乘同一个不为零的整式x﹣1，结果不变；
②根据去括号法则；
③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3﹣x，结果不变；
④根据合并同类项法则．
根据等式基本性质的是①③．
故选A．
本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质1．
3、B
【解析】
根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此，
由得n=1．故选B．
4、D
【解析】
利用因式分解法解方程即可得出结论．
【详解】
解：x2+x-12=0
（x+4）（x-1）=0，
则x+4=0，或x-1=0，
解得：x1=-4，x2=1．
故选：D．
本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5、B
【解析】
根据二次根式有意义的条件得到：x+2≥1．
【详解】
解：由题意知，x+2≥1．
解得x≥﹣2．
故选：B．
本题考查了二次根式有意义的条件．概念：式子（a≥1）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
6、D
【解析】
根据平行线的性质，得出，根据平行线的性质，得出，即可得到，进而得到的度数.
【详解】
练习本的横隔线相互平行，
，
，
，
又，
，
即.
故选：.
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
7、A
【解析】
根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，即可得到答案．
【详解】
抛物线的解析式y=﹣（x+1）2+3可得其对称轴为x=-1，系数a＜0，图像开口下下，
根据抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，-3<-2
所以y1＜y2＜3.
故选A.
8、A
【解析】
根据正方形的性质得到点A和点C关于BD对称，BC=AB=4，由线段的中点得到BE=2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：四边形为正方形
关于的对称点为．
连结交于点，如图：
此时的值最小，即为的长．
∵为中点，BC=4，
∴BE=2，
∴．
故选：A.
本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据点A和点B的坐标关系即可求出正比例函数的增减性，然后根据增减性与比例系数的关系列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】
解：∵正比例函数的图象过点和点，且时，，
∴该正比例函数y随x的增大而减小
∴
解得：
故答案为：
此题考查的是正比例函数的增减性，掌握正比例函数的增减性与比例系数的关系是解决此题的关键．
10、1．
【解析】
根据矩形的性质得出AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，求出DO＝CO＝AO＝BO，求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AO＝OB＝DO＝10，根据三角形的中位线定理求出即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，
∴DO＝CO＝AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝10，
∴AO＝OB＝DO＝10，
∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴EF＝DO＝＝1，
故答案为：1．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识. 矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分.
11、1
【解析】
根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【详解】
解：在矩形ABCD中，，
，
，
，
又，
．
故答案为：1．
此题考查矩形的性质，解题关键在于利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．
12、
【解析】
根据科学计数法的表示方法即可求解.
【详解】
解：将10310000科学记数法表示为．
故答案为：．
此题主要考查科学计数法的表示，解题的关键是熟知科学计数法的表示方法.
13、1.
【解析】
试题解析：6※3=．
考点：算术平方根．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD,AB∥CD，易得BE∥CD，由于BE=AB可得BE=CD，推出四边形BECD是平行四边形，再运用平行四边形的性质解答即可；
（2）分别以C,E为圆心，以BE,BC的长为半径画弧，两弧交于一点F，则点F即为所求．
【详解】
（1）证明：∵中，
∴，．
又，
，，
四边形是平行四边形，
．
（2）如图：
本题考查了平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
15、（1）30元，32元（2）（3）当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
【解析】
（1）根据“购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元”和“购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元”列方程组求解即可.
（2）根据题意分别列出函数关系式.
（3）由、、列式作出判断.
【详解】
解：（1）设A品牌计算机的单价为ｘ元，B品牌计算机的单价为ｙ元，则由题意可知：
，解得.
答：A，B两种品牌计算机的单价分别为30元，32元.
（2）由题意可知：，即.
当时，；
当时，，即.
（3）当购买数量超过5个时，.
①当时，，解得，
即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；
②当时，，解得，
即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；
③当时，，解得，
即当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
16、（1）50、80、70；（2）乙的平均成绩最高，应录用乙．
【解析】
（1）分别用总票数乘以甲，乙，丙各自得票数的百分比即可得出各自的得票数；
（2）按照加权平均数的求法 分别求出甲，乙，丙的成绩，选出成绩最高者即可．
【详解】
（1）甲的得票数为：200×25%=50（票），
乙的得票数为：200×40%=80（票），
丙的得票数为：200×35%=70（票），
（2）甲的平均成绩：
；
乙的平均成绩：
；
丙的平均成绩：
；
∵78.5＞76＞73.8，
∴乙的平均成绩最高，应录用乙．
本题主要考查加权平均数和扇形统计图，掌握加权平均数的求法是解题的关键．
17、（1）点；（2）；（3）点的坐标是，，．
【解析】
（1）首先根据直线y=-x+8分别交两轴于点A、B，可得点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），然后根据点在线段上,且，即可求出点D的坐标；
（2）利用待定系数法可求直线CD的解析式；
（3）设点，分情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式，可求出点F的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线分别交两轴于点，
∴当时，，当时，
∴点，点
∵点在线段上，且．
∴点
（2）∵点的横坐标为4，且在直线上，
∴，
∴点
设直线的解析式
∴，解得：
∴直线解析式为：．
（3）设点
①若以为边，
∵四边形是平行四边形，∴互相平分，
∵点，点，点，点
∴，解得，
∴点
②若以为边
∵四边形是平行四边形，∴互相平分，
∵点，点，点，点
∴，解得，
∴点
③若以为边，
∵四边形是平行四边形，∴互相平分，
∵点，点，点，点
∴，解得，
∴点
综上所述：点的坐标是，，．
此题考查平行四边形的性质，中点坐标公式，求一次函数的解析式，解题关键在于分情况讨论.
18、.
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
（1﹣）÷
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2.1
【解析】
连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得．
故答案为：2.1．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
20、
【解析】
试题分析：根据钝角的范围即可得到关于x的不等式组，解出即可求得结果.
由题意得，解得.
故答案为
考点：不等式组的应用
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握钝角的范围和一元一次不等式组的解法，即可完成．
21、80.
【解析】
根据图中的信息，找到符合条件的数据，进行计算即可.
【详解】
解：读图可知，超过限速110km/h的汽车有60+20=80（辆）.
故答案为80.
本题考查读取频数分布折线图和利用统计图获取信息的能力，对此类问题，必须要认真观察统计图、分析比较，充分利用图中的数据，从而作出正确判断.
22、或．
【解析】
如图1，当P在AB上，Q在AD上时，根据题意得到，连接AC，根据正方形的性质得到，，求得，推出是等腰直角三角形，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论，如图2，当P在BC上，Q在DC上时，则，同理，．
【详解】
∵点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路线运动，
∴如图1，当P在AB上，Q在AD上时，则AQ=AP，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AC⊥BD，
∴ACAB=4．
∵AQ=AP，∴△APQ是等腰直角三角形，
∴∠AQP=∠QAM=45°，∴AM⊥AC，
∵PQcm，∴AMPQ，∴CM=AC=AM；
如图2，当P在BC上，Q在DC上时，则CQ=CP，同理，CM，
综上所述：点C到PQ的距离为或，
故答案为：或．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
23、
【解析】
首先去分母，再系数化成1即可；
【详解】
解：去分母得： -x≥3
系数化成1得： x≤-3
故答案为：x≤-3
本题考查了解一元一次不等式，主要考查学生的计算能力．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，（2）四边形EFGH为菱形.
【解析】
（1）根据所给的图形，将已知、求证补充完整即可；
（2）由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
【详解】
（1）已知：如图，在四边形中，，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
求证：四边形EFGH为菱形.
（2）证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EF为△ABC的中位线，
∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．
25、（1）；（2）无解
【解析】
（1）最简公分母为x（x+6）．方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果需检验
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）
解：方程两边同乘以得
解这个方程得，
检验：当时，
所以原方程的解是
（2）
解：方程两边同乘以得
解这个方程得，
检验：当时，
所以是增根，分式方程无解
此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则
26、证明见解析
【解析】
试题分析：通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应角相等证得∠AED=∠CFB，则由平行线的判定证得结论．
证明：∵平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF．
∵在△ADE与△CBF中，AD=BC，∠ADE=∠CBF， DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴∠AED=∠CFB．
∴AE∥CF．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
笔试
78
80
85
面试
92
75
70