广东省广州市第八十六中学2024年数学九上开学考试试题【含答案】

这是一份广东省广州市第八十六中学2024年数学九上开学考试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0B．1C．2D．无数
2、（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是 ( )

A．B．C．D．
3、（4分）若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．–1
4、（4分）已知，顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连接新的矩形各边的中点得到一个新的菱形，如图3；……如此反复操作下去，则第2018个图形中直角三角形的个数有（ ）
A．2018个B．2017个C．4028个D．4036个
5、（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
6、（4分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
8、（4分）下列多项式能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则非正整数k的值是______．
10、（4分）计算的结果为_____．
11、（4分）观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
12、（4分）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，点、旋转后的对应点分别是点和，连接，则的度数是______．
13、（4分）如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E,若AB=6,AD=8,则AE=______
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）2016年是中国工农红军长征胜利80周年，某商家用1200元购进了一批长征胜利主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用2800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．
（1）该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？
（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于640元（不考虑其它因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？
15、（8分）一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戍五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下 表所示：（单位：分）
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分 的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看， 标准分大的考试成绩更好．请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考 得更好？
16、（8分）七年级某班体育委员统计了全班同学 60 秒垫排球次数，并列出下列频数分布表：
（1）全班共有 名同学；
（2）垫排球次数 x 在 20≤x＜40 范围的同学有 名，占全班人数的 %；
（3）若使垫排球次数 x 在 20≤x＜40 范围的同学到九年级毕业时占全班人数的 87.12%，则八、九年级平均每年的垫排球次数增长率为多少？
17、（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=1．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
18、（10分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位： h） ，统计结果如下：
9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，
7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9.
在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：
睡眠时间分组统计表 睡眠时间分布情况
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） m = ， n = ， a = ， b = ；
（2）抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组（填组别） ；
（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于 9 h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）王明在计算一道方差题时写下了如下算式：，则其中的____________.
20、（4分）已知，则_______.
21、（4分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____．
22、（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是_____．
23、（4分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若, 则的度数是______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如果关于x的方程1+=的解，也是不等式组的解，求m的取值范围．
25、（10分）历下区某学校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有，队伍8：00从学校出发。苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，结果同时到达基地.求大巴车与小车的平均速度各是多少？
26、（12分）阅读材料：分解因式：x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-4=（x+1）2-4
=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式x2-2x-3=_______；a2-4ab-5b2=_______；
（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数可列出式子，解出即可.
【详解】
依题意，
又∵，
∴
故x=5，选B.
此题主要考察二次根式的定义，熟知平方数是非负数即可解答.
2、D
【解析】
设平移后的直线解析式为y=-2x+m．根据平行四边形的性质结合点O、A、C的坐标即可求出点B的坐标，再由平移后的直线与边BC有交点，可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：设平移后的直线解析式为y=-2x+m．
∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0），O（0，0），C（1，2），
∴点B（3，2）．
∵平移后的直线与边BC有交点，
∴，
解得：4≤m≤1．
故选：D．
本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是找出关于m的一元一次不等式组．
3、D
【解析】
根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,
【详解】
因为方程是一元二次方程,
所以,,
解得且
所以,
故选D.
本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
4、D
【解析】
写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n，根据此规律求解即可．
【详解】
第1，2个图形各有4个直角三角形；
第3，4个图形各有8个直角三角形；
第5，6个图形各有12个直角三角形……
第2017，2018个图形各有4036个直角三角形，
故选:D．
本题主要考查了中点四边形、图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
5、D
【解析】
∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．
6、A
【解析】
连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．
连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=a，
∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=GF=a，
同理IN=a，
∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故选A．
7、C
【解析】
根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可．
【详解】
解：∵四边形是菱形，，
∵O为BD中点，．
，
∴在中，，
．
．
故选：．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．
8、B
【解析】
直接利用分解因式的基本方法分别分析得出答案．
【详解】
解：A、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
B、x2y-xy2=xy（x-y），故此选项正确；
C、x2+xy+y2，无法分解因式，故此选项错误；
D、x2+4x-4，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
本题考查对分解因式的方法的理解和运用，分解因式的步骤是：第一步，先看看能否提公因式；第二步，再运用公式法，①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；② a2±2ab+b2=（a±b）2，第三步：再考虑用其它方法，如分组分解法等．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】
根据判别式的意义及一元二次方程的定义得到，且，然后解不等式即可求得k的范围，从而得出答案．
【详解】
解：根据题意知，且，
解得：且，
则非正整数k的值是，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
10、x﹣1
【解析】
同分母的分式相加，分母不变分子做加减法，然后再讲答案化简即可
【详解】
，故填x-1
本题考查分式的简单计算，熟练掌握运算法则是解题关键
11、
【解析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
12、35°
【解析】
由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=70°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】
∵将△ABC绕点A顺时针旋转70°，
∴AB=AD，∠BAD=70°, ∠AED=90°
∴∠ABD=55°
∵∠BED=∠AED =90°
∴∠BDE=35°
故答案为35°
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
13、4.8.
【解析】
矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
【详解】
矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD= =10，
∵△ABD的面积S=AB⋅AD=BD⋅AE，
∴AE= =4.8.
故答案为4.8.
此题考查矩形的性质，解题关键在于运用勾股定理进行计算
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）该商家购进第一批纪念衫单价是30元；（2）每件纪念衫的标价至少是40元．
【解析】
（1）设未知量为x，根据所购数量是第一批购进量的2倍得出方程式，解出方程即可得出结论，此题得以解决．
（2）设未知量为y，根据题意列出一元一次不等式，解不等式可得出结论．
【详解】
（1）设该商家购进第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是（x+5）元，
由题意，可得：，
解得：x＝30，
检验：当x＝30时，x（x+5）≠0，
∴原方程的解是x＝30
答：该商家购进第一批纪念衫单价是30元；
（2）由（1）得购进第一批纪念衫的数量为1200÷30＝40（件），则第二批的纪念衫的数量为80（件）
设每件纪念衫标价至少是a元，由题意，可得：
40×（a﹣30）+（80﹣20）×（a﹣35）+20×（0.8a﹣35）≥640，
化简，得：116a≥4640
解得：a≥40，
答：每件纪念衫的标价至少是40元．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解决此类题的关键是要根据题意找出题目中的等量或不等量关系，根据关系列方程或不等式解决问题.
15、（1）70，6；（2）从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好.
【解析】
（1）由平均数、标准差的公式计算即可；
（2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩标准差，再比较即可．
【详解】
（1）数学平均分为=（71+72+69+68+70）÷5=70分，
英语考试成绩的标准差:
＝
=6分
（2）设甲同学数学考试成绩的标准分为P数学，英语考试成绩的标准分为，则
＝(71－70)÷， ＝(88－85)÷6＝ .
∵ ，
∴从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好.
本题考查平均数和标准差的计算，解题关键是熟记公式．
16、（1）50；（2）36，72；（3）.
【解析】
（1）由图可知所有的频数之和即为人数；
（2）由图可知，把20≤x＜40的两组频数相加即可，然后除以总人数即可得到答案；
（3）先计算到九年级20≤x＜40的人数，然后设增长率为m，列出方程，解除m即可.
【详解】
解：（1）全班总人数=1+4+21+15+5+4=50（人），
故答案为：50.
（2）垫排球次数 x 在 20≤x＜40 范围的同学有：21+15=36（人）；
百分比为：；
故答案为：36，72.
（3）根据题意，设平均每年的增长率为m，则

解得：（舍去），
故八、九年级平均每年的垫排球次数增长率为：.
本题考查了一元二次方程的应用和频数分布表，频数分布表能够表示出具体数字，知道频率=频数÷总数和考查根据图表获取信息的能力，以及增长率的计算.解题的关键是在频数分布表中得到正确的信息.
17、 (1) 150°；(2)
【解析】
（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；
（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．
【详解】
（1）连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
DB=4，
∵42+12=（4）2，
∴DB2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=60°+90°=150°；
（2）过B作BE⊥AD，
∵∠A=60°，AB=4，
∴BE=AB•sin60°=4×=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD=×4×2+×4×1=4+2．
18、（1）7，18，17.5%，45%；（2）3；（3）440人.
【解析】
（1）根据40名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；
（2）由中位数的定义即可得出结论；
（3）由学校总人数×该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果．
【详解】
（1）7≤t＜8时，频数为m=7；
9≤t＜10时，频数为n=18；
∴a=×100%=17.5%；b=×100%=45%；
故答案为7，18，17.5%，45%；
（2）由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数，
∴落在第3组；
故答案为3；
（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800×=440（人）；
答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人．
本题考查了统计图的有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.865
【解析】
先计算出4个数据的平均数，再计算出方差即可.
【详解】
∵，
∴
=
=
=
=
=1.865.
故答案为：1.865.
此题主要考查了方差的计算，求出平均数是解决此题的关键.
20、
【解析】
先对变形，得到b=，然后将b=代入化简计算即可.
【详解】
解：由，b=
则
故答案为-2.
本题考查了已知等式，求另一代数式值的问题；其解答关键在于对代数式进行变形，寻找它们之间的联系
21、
【解析】
设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
【详解】
设BG=x，
则BE=x，
∵BE=BC，
∴BC=x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
故答案为：．
本题主要考查正方形的性质，图形相似的的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比.
22、k＞1
【解析】
∵关于x的一元二次方程x1﹣1x+k﹣1=0没有实数根，
∴△＜0，即（﹣1）1﹣4（k﹣1）＜0，
解得k＞1，
故答案为k＞1．
23、40°
【解析】
依据平行线的性质，即可得到，，进而得出，再根据进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，，
，，
由折叠可得，，
，
故答案为：．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、且．
【解析】
先根据分式方程的解法求解方程,再根据分式方程解的情况分类讨论求m的取值,
再解不等式组,根据不等式组的解集和分式方程解的关系即可求解.
【详解】
方程两边同乘,得，,解得,
当时,,,
当时,,,
故当或时有,
方程的解为,其中且,
解不等式组得解集,
由题意得且,解得且,
的取值范围是且.
本题主要考查解含参数的分式方程和解不等式组,解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的分式方程.
25、大巴车的平均速度为/小时，则小车的平均速度为/小时.
【解析】
根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得.
【详解】
设大巴车的平均速度为/小时，则小车的平均速度为/小时.
根据题意，得：
解得：
经检验：是原方程的解，
/小时
答：大巴车的平均速度为/小时，则小车的平均速度为/小时.
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
26、（1）（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）;（2）代数式m2+6m+13的最小值是1
【解析】
（1）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；
（2）利用配方法将代数式m2+6m+13转化为完全平方与和的形，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】
（1）x2-2x-3，
=x2-2x+1-1-3，
=（x-1）2-1，
=（x-1+2）（x-1-2），
=（x-3）（x+1）；
a2-1ab-5b2，
=a2-1ab+1b2-1b2-5b2，
=（a-2b）2-9b2，
=（a-2b-3b）（a-2b+3b），
=（a+b）（a-5b）；
故答案为：（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）；
（2）m2+6m+13=m2+6m+9+1=（m+3）2+1，
因为（m+3）2≥0，
所以代数式m2+6m+13的最小值是1．
本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
戍
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
次数
0≤x＜10
10≤x＜20
20≤x＜30
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
频数
1
4
21
15
5
4
组别
睡眠时间分组
人数（频数）
1
7≤t＜8
m
2
8≤t＜9
11
3
9≤t＜10
n
4
10≤t＜11
4