甘肃省陇南市某中学2024年数学九上开学经典试题【含答案】

这是一份甘肃省陇南市某中学2024年数学九上开学经典试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）有一组数据7、11、12、7、7、8、11，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是7B．平均数是9C．众数是7D．极差为5
2、（4分）下列二次根式中是最简二次根式的为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，是某超市一楼与二楼之间的阶梯式电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为， 则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E是BC边的中点,OE=1,则AB的长为（ ）
A．2B．1
C．D．4
6、（4分）如图，中，，是上一点，且，是上任一点，于点，于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③④C．①④D．①②③④
7、（4分）如果一个等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长为( )
A．17B．22C．17或22D．无法计算
8、（4分）多项式x2m﹣xm提取公因式xm后，另一个因式是（ ）
A．x2﹣1B．xm﹣1C．xmD．x2m﹣1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在平面直角坐标系中，函数（）与（）的图象相交于点M（3,4），N（-4，-3），则不等式的解集为__________.
10、（4分）一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为
11、（4分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝____度．
12、（4分）函数y=–1的自变量x的取值范围是 ．
13、（4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）学校为了更新体育器材，计划购买足球和篮球共100个，经市场调查：购买2个足球和5个篮球共需600元；购买3个足球和1个篮球共需380元。
（1）请分别求出足球和篮球的单价；
（2）学校去采购时恰逢商场做促销活动，所有商品打九折，并且学校要求购买足球的数量不少于篮球数量的3倍，设购买足球a个，购买费用W元。
①写出W关于a的函数关系式，
②设计一种实际购买费用最少的方案，并求出最少费用。
15、（8分）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.
（1）用实线把图①分割成六个全等图形；
（2）用实线把图②分割成四个全等图形.
16、（8分）点 P(－2，4)关于 y 轴的对称点 P'在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上．
(1)求此反比例函数关系式；
(2)当 x 在什么范围取值时，y 是小于 1 的正数？
17、（10分）五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元；购进甲商品2件和乙商品1件共需130元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
18、（10分）如图，线段与相交于点，，，，，且，求线段的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移1个单位长度后与点B重合，则点B的坐标是（________）．
20、（4分）如果一组数据1，3，5，，8的方差是0.7，则另一组数据11，13，15，，18的方差是________.
21、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为____________．
22、（4分）某公司有一名经理和10名雇员共11名员工，他们的月工资情况(单位：元)如下：30000，2350，2350，2250，2250，2250，2250，2150，2050，1950，1850.上述数据的平均数是__________，中位数是________．通过上面得到的结果不难看出：用_________(填“平均数”或“中位数”)更能准确地反映出该公司全体员工的月人均收入水平．
23、（4分）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为___________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝+1．
25、（10分）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,−1)和点B(1,−3).求：
(1)求一次函数的表达式；
(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)请在x轴上找到一点P，使得PA+PB最小，并求出P的坐标.
26、（12分）为传播“绿色出行，低碳生活”的理念，小贾同学的爸爸从家里出发，骑自行车去图书馆看书，图1表达的是小贾的爸爸行驶的路程（米）与行驶时间（分钟）的变化关系
（1）求线段BC所表达的函数关系式；
（2）如果小贾与爸爸同时从家里出发，小贾始终以速度120米/分钟行驶，当小贾与爸爸相距100米是，求小贾的行驶时间；
（3）如果小贾的行驶速度是米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出的取值范围。
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据中位数.平均数.极差.众数的概念求解．
【详解】
这组数据按照从小到大的顺序排列为：，
则中位数为8，平均数为，众数为7，极差为，
故选A．
本题考查了加权平均数，中位数，众数，极差，熟练掌握概念是解题的关键.
2、B
【解析】
根据最简二次根式的定义进行解答即可.
【详解】
解：根据最简二次根式的定义：“满足条件：（1）被开方数中不含开得尽方的因数和因式；（2）被开方数中不含分母.”可知，选项A、C、D中的二次根式都不是最简二次根式，只有B中的二次根式是最简二次根式.
本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义：“满足条件：（1）被开方数中不含开得尽方的因数和因式；（2）被开方数中不含分母.”是解题的关键.
3、C
【解析】
过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据BC=10m，利用三角函数的知识解直角三角形即可．
【详解】
解：过C作CM⊥AB于M，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=180°-150°=30°，
在Rt△CBM中，
∵BC=10m，∠CBM=30°，
∴=sin∠CBM=sin30°=，
∴CM=BC=5m，
即从点B到点C上升的高度h是5m．
故选C．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角建立直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
4、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的意义逐个分析即可.
【详解】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B．
考核知识点：理解轴对称图形和中心对称图形的定义.
5、A
【解析】
首先证明OE是△BCD的中位线，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵BE=EC，
∴OE= CD，
∵OE=1，
∴AB=CD=2，
故答案为:A
此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题关键在于求出OE是△BCD的中位线
6、B
【解析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB＝∠C＋∠DBC，然后求出∠C＝∠DBC，再根据等角对等边可得DC＝DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE＋PF＝AB，判断出③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF＝BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．
【详解】
在△BCD中，∠ADB＝∠C＋∠DBC，
∵∠ADB＝2∠C，
∴∠C＝∠DBC，
∴DC＝DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C＝30°，故②错误；
连接PD，则S△BCD＝BD•PE＋DC•PF＝DC•AB，
∴PE＋PF＝AB，故③正确；
过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，
则∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，
∴∠PBG＝∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF＝BG，
在△BPE和△BPG中，
，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG＝BE，
∴AF＝BE，
在Rt△PBE中，PE2＋BE2＝BP2，
即PE2＋AF2＝BP2，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：B．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键．
7、B
【解析】
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：（1）若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4=1．
故选：B．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
8、B
【解析】
根据多项式提取公因式的方法计算即可.
【详解】
解：x2m﹣xm=xm（xm-1）
所以另一个因式为xm-1
故选B
本题主要考查因式分解，关键在于公因式的提取.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-4＜x＜0或x＞1．
【解析】
先根据已知条件画出在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+b（k≠0）与（m≠0）的图象，再利用图象求解即可．
【详解】
解：如图．
∵函数y=kx+b（k≠0）与（m≠0）的图象相交于点M（1，4），N（-4，-1），
∴不等式kx+b＞的解集为：-4＜x＜0或x＞1．
故答案为-4＜x＜0或x＞1．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，画出图象利用数形结合是解题的关键．
10、7 2°或144°
【解析】
∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以
∴角α=（5-2）•180°÷5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°÷5=108°，180°-72°÷2=144°
11、1
【解析】
首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【详解】
解：∵正五边形的外角为10°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝1°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝1°，
故答案为1．
本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
12、x≥1
【解析】
试题分析：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于1，可知x≥1．
考点：二次根式有意义
13、①②④
【解析】
分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF。
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。∴BE=DF。
∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF。∴CE=CF。∴①说法正确。
∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形。∴∠CEF=45°。
∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°。∴②说法正确。
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF。
∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG。
∴BE+DF≠EF。∴③说法错误。
∵EF=2，∴CE=CF=。
设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，，解得，
∴。
∴。∴④说法正确。
综上所述，正确的序号是①②④。
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）足球每个100元，篮球每个80元；（2）①W=18a+7200；②足球75个，篮球25个，费用最低，最低费用为8550元
【解析】
（1）根据“购买金额=足球数量×足球单价+篮球的数量×篮球单价”，在两种情况下分别列方程，组成方程组，解方程组即可；
（2） ①设购买足球a个 ，则购买篮球的数量为(100-a)个，则总费用（W）=足球数量×足球单价×0.9+篮球的数量×篮球单价×0.9，据此列函数式整理化简即可；
② 根据购买足球的数量不少于篮球数量的3倍， 且足球的数量不超过总数100，分别列一元一次不等式，组成不等式组，解不等式组求出a的范围；由于W和a的一次函数, k=18>0,W随a增大而增大，随a的减小而减小，所以当a取最小值a时，W值也为最小，从而求出W的最小值，即最低费用.
【详解】
（1）解：设足球每个x元，篮球每个y元，由题意得
解得：
答：足球每个100元，篮球每个80元
（2）解：①W=100×0.9a+80×0.9(100-a)=18a+7200，
答：W关于a的函数关系式为W=18a+7200，
②由题意得 ，解得：75≤a≤100
∵W=18a+7200，W随a的增大而增大，
∴a=75时，W最小=18×75+7200=8550元，
此时，足球75个，篮球25个，费用最低，最低费用为8550元.
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意求出函数关系式，熟知一次函数的图像与性质.
15、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，
（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六等腰个直角三角形即可；
（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可．
【详解】
解：如图所示：
本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．
16、（1）y=；（2）x＞1；
【解析】
（1）先求出点P（-2，4）关于y轴的对称点P′的坐标，把点P′的坐标代入反比例函数y=（k≠0）即可求出k的值，进而得出反比例函数的解析式；
（2）根据y是小于1的正数列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】
（1）∵点P（-2，4）与点P′关于y轴对称，
∴P′（2，4），
∵点P′在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴4=，解得k=1，
∴反比例函数的关系式为：y=；
（2）∵y是小于1的正数，
∴0＜＜1，解得x＞1．
此题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题关键在于把已知点代入解析式
17、（1）甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；（2）甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．
【解析】
（1）根据购进甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】
（1）设商品每件进价x元，乙商品每件进价y元，得
解得：，
答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；
（2）设甲商品进a件，乙商品（100﹣a）件，由题意得，
a≥4（100﹣a），
a≥80，
设利润为y元，则，
y＝10 a+20（100﹣a）＝﹣10 a+2000，
∵y随a的增大而减小，
∴要使利润最大，则a取最小值，
∴a＝80，
∴y＝2000﹣10×80＝1200，
答：甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
18、
【解析】
结合BD=CD，AD=ED，以及对顶角∠BDE=∠ADC，可证得△ADC和△EDB全等，再利用全等三角形的性质，易得∠E=∠DAC=90°；
根据∠1=30°，∠E=90°，利用直角三角形30°所对的边的性质，易得BE和AB的关系；结合AB=4cm，即可得到BE的长.
【详解】
在和中，，,
，
在中，
，，
本题主要考查了全等三角形的判定及性质和直角三角形的性质．三角形全等的判定定理有:边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)．全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)、周长、面积相等，以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半．掌握全等三角形的判定和性质及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1 -1
【解析】
让横坐标不变，纵坐标加1可得到所求点的坐标．
【详解】
∵﹣2+1=﹣1，
∴点B的坐标是（1，﹣1），
故答案为1，﹣1．
本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
20、0.1
【解析】
根据题目中的数据和方差的定义，可以求得所求数据的方差．
【详解】
设一组数据1，3，5，a，8的平均数是，另一组数据11，13，15，+10，18的平均数是+10，
∵=0.1，
∴
=
=0.1，
故答案为0.1．
本题考查方差，解答本题的关键是明确题意，利用方差的知识解答．
21、1
【解析】
根据平行四边形的性质，可得出AD∥BC，则∠AEB＝∠CBE，再由∠ABE＝∠CBE，则∠AEB＝∠ABE，则AE＝AB，从而求出DE．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠B的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∵AB＝3，BC＝5，
∴DE＝AD－AE＝BC－AB＝5－3＝1．
故答案为1．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对边相等．
22、4700 2250 中位数
【解析】
分析：
根据“平均数”、“中位数”的定义和计算方法进行计算判断即可.
详解：
（1）这组数据的平均数为：
（30000+2350+2350+2250+2250+2250+2250+2150+2050+1950+1850）÷11
=4700（元）；
（2）由题中数据可知，这组数据按从大到小的顺序排列后，排在最中间的一个数是2250元，
∴这组数据的中位数是：2250；
（3）∵这组数据中多数数据更接近中位数2250，且都与平均数相差较多，
∴用“中位数”更能反映出该公司全体员工的月人均收入水平.
综上所述：本题答案为：（1）4700；（2）2250；（3）中位数.
点睛：熟记“平均数、中位数的定义和计算方法”是正确解答本题的关键.
23、
【解析】
所求方程的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【详解】
解：方程kx+b=0的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=kx+b过B（-1，0），
∴方程kx+b=0的解是x=-1，
故答案为：x=-1．
此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0 （k，b为常数，k≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、.
【解析】
先算括号里面的，再算除法，把分式化为最简公式，把x的值代入进行计算即可
【详解】
原式＝
＝
＝ ，
当x＝ +1时，原式＝．
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
25、（1）y=-x-2；（2）2；（3）P（-）
【解析】
【分析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；
（2）分别令y=0、x=0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；
（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A′，连接BA′，则BA′与x轴的交点即为点P的位置，求出直线BA′的解析式，可得出点P的坐标．
【详解】（1）把A（-1，-1）B(1，-3)分别代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴一次函数表达式为：y=-x-2；
（2）设直线与x轴交于C，与y轴交于D，y=0代入y=-x-2得x=-2，∴OC=2，
x=0代入y=-x-2 得：y=-2，∴OD=2，
∴S △COD =×OC×OD=×2×2=2；
（3）点A关于x的对称点A′，连接BA′交x轴于P，则P即为所求，
由对称知：A′(-1，1)，设直线A′B解析式为y=ax+c，
则有，解得：，
∴y=-2x-1，
令y=0得， -2x-1=0， 得x=- ，∴P（-）.
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握待定系数法的应用是解题的关键．
26、（1）；
（2）小贾的行驶时间为分钟或分钟；
（3）
【解析】
（1）结合图形，运用待定系数法即可得出结论；
（2）设小贾的行驶时间为x分钟，根据题意列方程解答即可；
（3）分别求出当OD过点B、C时，小贾的速度，结合图形，利用数形结合即可得出结论．
【详解】
（1）设线段BC所表达的函数关系式为y=kx+b，
根据题意得，
解得，
∴线段BC所表达的函数关系式为y=200x-1500；
（2）设小贾的行驶时间为x分钟，
根据题意得150x-120x=100或1500-120x=100或120x-1500=100或120x-150（x-5）=100或150（x-5）-120x=100或3000-120x=100，
解得x＝或x＝或x＝或x＝或x=或x＝，
即当小贾与爸爸相距100米时，小贾的行驶时间为分钟或分钟或分钟或分钟或分钟或分钟；
（3）如图：

当线段OD过点B时，小军的速度为1500÷15=100（米/分钟）；
当线段OD过点C时，小贾的速度为3000÷22.5=（米/分钟）．
结合图形可知，当100＜v＜时，小贾在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．
本题考查了一次函数的应用；熟练掌握一次函数的图象和性质是解决问题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分