专题04 直线与圆综合（考题猜想）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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题型大集合直线与圆位置关系判断
直线与圆位置关系求参
直线与“残圆”交点
阿圆与直线
直线与圆交点坐标
直线与圆相交弦
直线与圆相交：韦达定理型
切线：圆上点切线
切线：圆外点切线
切线长最值
切点弦
切点弦最值范围
切点弦面积型
角度最值
中点弦
圆的弦长与定值定圆
圆的动切线
题型大通关
一．直线与圆位置关系判断（共3小题）
1．（24-25高三·四川成都·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
直线过圆内定点，斜率可正可负可为0，
ABD选项都有可能，C选项不可能.
故选：C.
2．（23-24高二上·四川乐山·期中）已知直线，圆，点在圆内，则
A．直线l与圆C相交B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相离D．不确定
【答案】C
【分析】由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即得答案.
【详解】由题意知点在圆内，故，
故圆心到直线的距离，
故直线l与圆C相离，
故选：C
3．（24-25高三上·江苏南通·期中）在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】联立，可得，当时可判断BC；圆心为，由原点与圆的位置关系求出的范围，根据圆心所在象限及的符号即可判断AD.
【详解】联立，可得，解得,
当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误.
化为标准方程为,
其圆心为，半径为.由选项可得，将化为斜截式可得.对于A，圆心在第一象限，则，解得.
由原点在圆外，可得，故.由直线方程可得，矛盾，故A错误.
对于D，圆心在第二象限，则，解得.
由原点在圆外，可得，故，由直线方程可得，故D正确.故选:D.
直线与圆位置求参（共小题）
4．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知直线恒过点，曲线表示圆心，半径为2的半圆，画出图形，由图可知，从而可求出结果.
【详解】直线恒过点，
由，得，
所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示，
由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点，因为，，所以，
因为直线与半圆相切，所以，解得，所以，故选：B
5．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知圆的圆心到直线的距离小于或等于2，进而可得.
【详解】由题意可知，由得，圆心为，半径为
因，故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2，
所以得，
即得，可得，
故选：D
6．（23-24高二上·江苏常州·期中）若存在实数使得直线与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据直线和圆的位置关系求得正确答案.
【分析】圆，即，
由，解得或，
直线，即，
所以直线过，要使直线和圆没有公共点，
则点在圆外，即，
综上所述，的取值范围是.
故选：D
三．直线与“残圆”型交点 （共3小题）
7．（23-24高二上·四川·期中）直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案.
【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，
可得（正根舍去），当直线过、时，，
如图，直线与曲线恰有两个交点，则.故选：C.
8．（23-24高二上·河南商丘·期中）方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，则问题转化为与有两个交点，数形结合即可求出的取值范围.
【详解】由，则，令，
则，所以曲线表示以为圆心，为半径的圆在轴及轴下方的半圆，
因为方程有两相异实根，即与有两个交点，
其中表示过点的直线，作出直线与曲线的图象如图，
其中，且，当时直线与曲线有且只有一个交点，结合图象可知的取值范围是．故选：A．
9．（22-23高二·全国·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简曲线为，再由直线恒过定点，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.
【详解】由曲线，可得，
又由直线，可化为，直线恒过定点，
作出半圆与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得，所以，
当直线与半圆相切时，可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：A.
四．阿圆与直线（共3小题）
10．（23-24高二上·山东临沂·期中）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】C
【分析】根据轨迹方程的求法求出圆的方程，确定圆心坐标，进而可得，再利用基本不等式求解.
【详解】设，
因为，所以，
整理得：，表示以为圆心的圆，
又因为点P的轨迹关于直线对称，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时取得等号，所以的最小值是3，故选:C.
11．（23-24高二上·全国·期中）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹是阿氏圆．直线l：与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，根据直线与圆的位置关系列出不等式，即可求出的取值范围．
【详解】由题意，设点，∵，，∴，即，
所以动点M的轨迹圆C的方程为，圆心，半径，
∵直线l：与圆恒有公共点，∴圆心到直线l的距离，即，解得，
则的取值范围是．故选：A．.
12．（22-23高二上·福建泉州·期中）已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，即，可得，取，则，结合，可得，进而求解.
【详解】由已知过定点，过定点，
因为，，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，
则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内，
又，
即，取，则，又，所以，
所以的最小值为.故选：A.
五．直线与圆交点坐标（共2小题）
13．（22-23高二上·山东烟台·期中）已知直角的斜边长为4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆交直线于M，N两点，则的值为（ ）
A．78B．72C．68D．62
【答案】D
【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可.
【详解】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系

根据题意，图中各点的坐标分别表示为
设点A的坐标为，则.
故选：D.
14．（20-21高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】首先根据图形得到为点到直线的距离，，又根据得到为等腰直角三角形，即，设，根据，解方程即可.
【详解】如图所示：
因为为圆的直径，所以，
所以为点到直线的距离，即.
又因为，所以.
所以为等腰直角三角形，即.
设，且，
所以，解得或（舍去）.
所以点的横坐标为.
故选：B
六．直线与圆相交弦 （共2小题）
15．（2023·江苏淮安·二模）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，由题设可得，若圆为，易求、、，进而可得含参数的圆的方程，要使变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则直线、圆都过相同的两定点，即可确定直线.
【详解】令代入圆得：，若，
∴，
若圆为，由都在圆上，
∴易知，，
∴圆：，整理得，
∵当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，
∴直线一定过圆上的两个定点且与无关，
不妨设，则，解得或，即圆过定点，，
∴所得两点一定在直线上，代入各选项验证可知B正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：要使变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则必有直线、圆都过相同的两定点，将所得圆的方程转化为关于的直线方程形式.
16．（22-23高二上·四川广安·期中）已知圆经过，两点，且在轴上截得的线段的长为，半径小于5.若直线，且与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，则直线的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【解析】先求出圆的方程，设出直线的方程为，，，与圆的方程联立消去可得、用表示，由以线段为直径的圆经过坐标原点，
将、，代入即可求出的值，进而可得直线的方程.
【详解】因为，，所以，所以直线的方程为：，即，设圆心，半径为，直线的垂直平分线为：，即，
所以①，
由于在轴上截得的线段的长为，所以②，
又因为③，
由①②③可得：或（舍），所以圆的方程为：，
设直线的方程为：，，，若以线段为直径的圆经过坐标原点，则，，由 得：，
所以，，所以
，即，解得：或，
所以直线的方程为或，即直线的方程为或，故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用待定系数法求出圆的方程，由以线段为直径的圆经过坐标原点，得出，，将直线的方程与圆的方程联立，即可得、用表示，代入，即可求出的值，进而求解.
直线与圆相交：韦达定理型（共2小题）
17．（22-23高三上·山东菏泽·期中）已知圆的方程为，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，以AB为直径的圆过原点即OA⊥OB，x1x2+y1y2=0，可得关于a的方程，即可求解．
【详解】由直线x+2y﹣4=0与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，消去y，得5x2﹣8x﹣16+4a=0①
设直线l和圆C的交点为A （x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是①的两个根．
∴x1x2=，x1+x2=． ②
由题意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（4﹣x1）（4﹣x2）=0，即x1x2﹣（x1+x2）+4=0③
将②代入③得：a=．故选A．
【点睛】本题综合考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基本知识的考查与应用．
18．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案.
【详解】联立,得，
则，即，所以，
设，则：，，
故选：C
八． 切线：圆上点切线（共2小题）
19．（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆心为，即可求出，从而得到，再由诱导公式及倾斜角的定义判断即可.
【详解】设圆心为，则，依题意，所以，
又，所以直线的倾斜角为3．.故选：A
20．（23-24高三上·全国·期中）已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
【答案】C
【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解．
【详解】易知圆在点处的切线的方程为，
所以，，，
所以，
当且仅当，时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：C.
九．切线：圆外点切线（共2小题）
21．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】根据跟定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】 连接，由切圆于A，B知，，
因为直线AB与l平行，则，，而圆半径为1，于是，
由四边形面积，得，
所以.故选：A.
22．（22-23高三上·河北沧州·期中）已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点M作圆的切线.当的横纵截距相等时，的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，直线经过一、二、四象限，所以，再依据直线与圆相切，且在坐标轴上的截距相等，即可求得直线方程.
【详解】由题意可知，直线的斜率存在，所以设过点的切线方程为，因为的横纵截距相等，
所以，，又因为直线与圆相切，所以，所以，
所以直线方程为.故选：D
十．切线长最值 （共2小题）
23．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值.
【详解】由题得，当时，最小时，最小.
由题得，所以.故选：B.
24．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值.
【详解】如图，设，则，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，故选：C.
十一． 切点弦（共2小题）
25．（2023高三·全国·期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
26．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】连接，由切圆于知，，
因为直线与平行，则，，而圆半径为，
于是，由四边形面积，得，
所以. 故选：C
十二．切点弦最值范围（共2小题）
27．（23-24高三上·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，由圆的切线性质可得点、在以为直径的圆上，联立两个圆的方程可得直线的方程，结合的坐标可得直线过定点，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，点在直线上，设，则，
过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，，
则点、在以为直径的圆上，
又由，则以为直径的圆的方程是，
圆的方程为，
联立两个圆的方程可得：直线的方程为，即，
因为，所以，代入直线的方程，得，即，
当且，即，时该方程恒成立，所以直线过定点，
点到直线距离的最大值即为点，之间的距离加上圆的半径，
即点到直线距离的最大值为．
动点到直线距离的最大值为，
故选：B
28．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知点M作抛物线上运动，圆过点，过点M引直线与圆相切，切点分别为P，Q，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设圆的方程为： ,将点代入求得方程圆的方程为，由题意，得到求解.
【详解】解：设圆的方程为： ,将点代入得，解得，则圆的方程为，即，如图所示：

易知，
又，
所以，
当最小时，最小，
设，则，
当时，，当时，趋近圆的直径，
所以的取值范围为，故选：B
十三．切点弦面积型（共2小题）
29．（23-24高三上·全国·期中）已知圆过点，，，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】C
【分析】求出圆的圆心和半径，再借助切线长定理求出四边形面积关于的函数关系即可得解.
【详解】显然过点，2,0的直线斜率为1，过点，的直线斜率为，
即点，2,0，为顶点的三角形为直角三角形，因此圆的圆心为，半径为2，

点到直线的距离，而点在直线上，则，
由过点作圆的两条切线，切点分别为，得四边形面积：
，
所以四边形面积的最小值为4.
故选：C
30．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，然后得到四边形面积为，利用切线长公式可知，当最短时，四边形面积最小，求解即可得到答案.
【详解】

将化为标准方程为：，
所以圆的圆心为，半径为2，
由题意，四边形面积为，
又因为，
所以当最短时，四边形面积最小，此时.
故选：C
十四．角度最值 （共2小题）
31．（22-23高三上·湖北黄冈·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1B．－7C．1或－7D．2或－7
【答案】A
【分析】根据题意得出满足条件的过三点的圆的方程，由已知当取最大值时，圆必与轴相切于点，得出对应的切点分别为和，并依据定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，舍弃，得到满足条件的，从而得出答案.
【详解】解：，则线段的中点坐标为，易知，
则经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心为，则圆的方程为，
当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），
则此时P的坐标为，代入圆的方程得，解得或，
即对应的切点分别为和，
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以，故点为所求，即点的横坐标为.故选：A
32．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆，对于直线上的任意一点，圆上都不存在两点、使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，考虑、都与圆相切，设，则，分析可知，当时，最大，此时，最大，计算出圆心到直线的距离，分析可得，即可求得实数的取值范围.
【详解】如下图所示：
圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
考虑、都与圆相切，
此时，由切线长定理可知，，
又因为，，则，
设，则，
因为，则，故当时，最大，此时，最大，
因为对于直线上的任意一点，
圆上都不存在两点、使得，则，可得，
则，可得，解得或.
故选：B.
十五．中点弦（共2小题）
33．（2024·湖北·二模）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】结合图形可知，当时AB取得最小值，然后可解.
【详解】将圆化为，
圆心C−2,0，半径，
因为，所以点在圆C内，
记圆心C到直线l的距离为d，则，
由图可知，当，即时，AB取得最小值，
因为，
所以AB的最小值为.
故选：A

34．（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知直线与x，y轴分别交于M，N两点，与圆交于A，B两点，弦的中点为，则（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】C
【分析】由向量同向，则只需求出其模长即可，又题意结合圆中的垂径定理结合勾股定理可得出答案.
【详解】直线与x，y轴分别交于M，N两点,则
所以
又圆心到直线的距离为
由题意, 由，则
向量同向，则
故选：C

十六．圆的弦长与定值定圆（共2小题）
35．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可.
【详解】圆方程为，令，得，
设圆的方程为，令，得，
由题意，圆与圆都经过两点，
∴方程与等价，∴，，
∴圆的方程为，
∵点在圆上，∴，∴，
∴圆：，整理得，
∴圆经过直线与圆的交点，
∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，
故选：C.
36．（21-22高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆，圆随的变化而运动，若存在一条定直线被动圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出动圆所经过的定点，由题意可知直线恒过定点，即可求解
【详解】因为，
所以，
由得或，
则动圆恒过定点，
若存在一条定直线被动圆截得的弦长为定值，
则定直线恒过定点，
所以，
所以此定直线的方程为，即.
故选：A
圆的动切线（共2小题）
37．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可
【详解】由图可知，原点到直线的距离为定值，四个选项中仅有到原点的距离为定值.
故选：C
38．（22-23高二上·广东广州·期中）设直线系，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过某定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
其中真命题的是（ ）
A．（2）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）
【答案】A
【分析】先求出直线 的几何特征，再逐项分析即可.
【详解】原点O 到直线的距离为 ，所以直线M始终是圆O： 的切线；
对于A，由于 的变化，直线M是围绕圆O旋转的，没有定点，错误；
对于B，O点不在直线M上，正确；
对于C，如果圆O是该正多边形的内切圆，则其所在的边必定在M上，正确；
对于D，正 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，错误；
故选：A.