专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版+解析版）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲学案（人教A版2019必修第一册）

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【清单01】四个二次的关系
【清单02】一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
【清单03】分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数）
【解题方法】十字相乘法+分类讨论法
【例1-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数，．
(1)解关于的不等式；
【变式1-1】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数.
(1)求关于的不等式的解集；
【例1-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式.
【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集．
【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参）
【解题方法】十字相乘法+分类讨论法
【例2-1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式.
【变式2-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求的表达式；
(2)解关于x的不等式．
【例2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：．
【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式.
【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法）
【解题方法】法
【例3-1】（2024高三·全国·专题练习）解关于x的不等式.
【变式3-1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式．
【例3-2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大值与最小值；
(2)求不等式的解集.
【变式3-2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)若，求不等式的解集.
【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【解题方法】根与系数的关系
【例4-1】（多选）（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（多选）（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．函数有最大值
B．
C．
D．的解集为
【例4-2】（23-24高三上·上海徐汇）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
【变式4-2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知不等式的解集是，求不等式的解集．
【考点题型五】解分式不等式
【解题方法】转化为一元二次不等式
【例5-1】（23-24高二上·陕西宝鸡）不等式的解集是 .
【变式5-1】（23-24高一上·广东·开学考试）不等式：的解为 ．
【例5-2】（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式5-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立
【解题方法】判别法+分类讨论法
【例6-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【变式6-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）二次函数的图象恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 .
【例6-2】（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为 .
【变式6-2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）关于x的不等式，其中．
(1)当时，求该不等式的解集
(2)若存在，成立，求实数a的取值范围
【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立
【解题方法】变量分离法
【例7-1】（2024高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
【变式7-1】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式.
(1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【例7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数．已知关于的不等式的解集为
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间内有解，求实数m的取值范围.
【考点题型八】一元二次不等式的实际问题
【解题方法】分解因式解不等式
【例8-1】（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【变式8-1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.
【例8-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米．
(1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？
(2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．
【变式8-2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题
【例9-1】（23-24高一上·江苏扬州）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”.
（1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系；
（2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【例9-2】（23-24高一上·北京大兴·期中）对于非空有限整数集X，，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且．
(1)当时求集合B；
(2)证明：；
(3)当且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小?
提升训练
一、单选题
1．（2024高二下·安徽·学业考试）不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．或D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．B．2
C．D．
3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（多选）（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二下·福建南平·期中）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二上·浙江衢州）“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．C．D．
7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ．
12．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
13．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，，求的最小值；
(2)当时，，求关于x的不等式的解集．
14．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数．
(1)对任意函数恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集