专题03 圆的方程（考题猜想）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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题型大集合 三角形外接圆方程
过两点半径最小圆
含参圆求参
“残圆”型
元的对称型求参范围
两圆位置关系
圆过定点
圆上点到圆外点距离最值
圆的“将军饮马”型
圆上点到直线距离最值型
两圆上点距离最值型
弦长最值
与圆围成的图形面积
题型大通关
一．三角形外接圆方程（共2小题）
1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可．
【详解】由题
得是直角三角形，且，
所以圆的半径为，圆心为，
所以外接圆的方程为.
故选：B.
2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知，则外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】A
【分析】求和的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解.
【详解】依题意可得，线段的垂直平分线方程为，
又的中点为，直线的斜率，
所以线段的垂直平分线斜率为，得方程为，即，
解方程组得，即圆心坐标为，
所以半径．
故选：A

过两点半径最小圆（共2小题）
3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项.
【详解】
设过和两点的圆的圆心为，半径为，
则，
故，当且仅当为中点时等号成立，
故过和两点的圆的面积最小时直径为，
此时圆的圆心为3,−4，故其标准方程为，
故选：C.
4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点，半径最小的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】半径最小的圆即以为直径的圆.
【详解】过点，半径最小的圆,即以为直径，
则圆心为中点，半径为，
则圆方程为：.
故选：A
三．含参圆求参（共2小题）
5．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若方程表示圆，
则，
解得，
又，所以或，
即程表示的圆的个数为.
故选：B
6．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足.
【详解】由，
得，
即,
解得
故选：
四．“残圆”型（共2小题）
7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程（x，y不同时为0）表示的曲线的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程和一般方程求解.
【详解】当时，原方程可化为，
即，表示以为圆心，为半径的圆的第一象限部分；
当时，原方程可化为，
即，表示以为圆心，为半径的圆的第四象限部分；
当时，原方程可化为，
即，表示以为圆心，为半径的圆的第二象限部分；
当时，原方程可化为，
即，表示以为圆心，为半径的圆的第一象限部分；
综上所述，原曲线为4个半圆组成，曲线长度为，
故选：B.
8．（22-23高二上·广西贵港·期中）方程表示的曲线为（ ）
A．圆B．圆的右半部分
C．圆D．圆的上半部分
【答案】D
【分析】平方后可判断曲线的形状.
【详解】因为，所以，
即，
故方程表示的曲线为圆的上半部分.
故选：D.
五．圆的对称性求参范围（共2小题）
9．（21-22高一下·江西宜春·期中）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．20
【答案】D
【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值.
【详解】圆的圆心坐标为，
圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有，
，
当时，有最小值20.
故选：D
10．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由题意，直线过圆心，进而有，又，从而利用均值不等式即可求解的最大值.
【详解】解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，
所以直线过圆心，
所以，又，
所以即当取最大值为，
故选：A.
六． 两圆位置关系（共2小题）
11．（20-21高二上·北京丰台·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【答案】D
【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆，故圆心，半径为，
则，
所以圆与圆的位置关系是外切.
故选：D
12．（23-24高二上·江西南昌·期中）设圆，圆，则圆的位置关系（ ）
A．内含B．外切C．相交D．相离
【答案】C
【分析】根据两圆的一般方程化为标准方程得出其圆心与半径，根据两圆圆心距离与两半径和与差的比较即可得出答案.
【详解】圆，化为，
圆心为，半径为；
圆，化为，
圆心为，半径为；
两圆心距离为：，
因为，所以圆与相交.
故选：C.
圆过定点（共2小题）
13．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】D
【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
14．（23-24高二上·湖北荆州·期中）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
八． 圆上点到圆外点距离最值（共3小题）
15．（23-24高二上·山西大同·期中）已知满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可.
【详解】由题知，
设为圆上一动点，
设，
因为，所以在圆外，
则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方，
因为，圆半径，
所以，即
所以.
故选：D
16．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】先由判断点在圆外，则最大值为.
【详解】圆 ，即，
则圆心，半径，由点，
则，
即点在圆外，则.
故选：C.
17．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点在曲线上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解.
【详解】因为整理得，
表示以为圆心，半径的上半圆，
设，则，如图所示：

当三点共线时，取到最小值，
当为半圆的右端点时，取到最大值，
即，则，
所以的取值范围是.
故选：C.
九．圆的“将军饮马”型最值（共2小题）
18．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出点的轨迹方程为，设，整理可得，从而将所求转化为点到点和点的距离之和的一半，再结合图象进行求解即可.
【详解】设，
由，
得，化简整理得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
设，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.

【点睛】关键点点睛：设，得出，将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键.
19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，当三点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值.
【详解】取，连接，
则，又，
所以，
又，故∽，
故，从而，
所以，
当三点共线时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
十．圆上点到直线距离最值型 （共3小题）
20．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
则点到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：B
21．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.
【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方，
易知圆心，半径，点C到直线的距离，则.

故选：B
22．（23-24高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，当，变化时，点到直线的距离最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】求出直线过定点坐标，以及点的轨迹方程，再求出定点到圆心的距离，即可得解.
【详解】直线，即，令，解得，
所以直线恒过点，
又点为圆上的点，圆心为，半径，
则，
所以点到直线的距离最大值为.
故选：D
十一．两圆上点距离最值型（共3小题）
23．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点P为圆：上一动点，点Q为圆：上一动点，点R在直线l：上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据圆的几何性质，结合对称的性质、两点间线段最短、两点间距离公式进行求解即可.
【详解】圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，

设圆：关于直线对称的圆为圆，
设的坐标为，
于是有，
设P点关于直线对称的点为，
显然有，
于是求的最小值，转化为求的最小值，
由圆的性质可知，当点在同一条直线上时，最小，
最小值为，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是求出圆关于直线对称的圆的圆心坐标.
24．（23-24高二上·湖北·期中）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线过定点，直线过定点，且，得到的轨迹是以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的圆心，半径，得到的最大值是，得到答案.
【详解】因为直线，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，
半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是．
故选：C
25．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：B.
十二．弦长最值（共3小题）
26．（23-24高二上·云南昆明·期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【答案】C
【分析】根据题意，可先判断点在圆的内部，可知最长弦为圆的直径，此时最长弦的弦长为，最短弦为过且与最长弦垂直的弦，此时最短弦的弦长为，再根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，即可求得答案.
【详解】依题意，把圆的方程化为标准方程是，
则圆心，半径，
点与圆心的距离，
则点在圆内，如图：

则过点及圆心的直线与圆相交，可得最长弦为圆的直径，
即，
当时，最短，
可得过点的最短的弦长，
所以四边形的面积.
故选：C.
27．（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知圆经过两点，且圆心在直线上，则过点的直线与圆相交所截最短弦长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】设圆心为，半径为，代点求得圆方程，当直线与垂直时，弦长最短.
【详解】设圆的圆心为，半径为，
代入两点有，
解得圆，
圆心，设圆心到直线的距离为，
，
则弦长为，当直线与垂直时，弦长最短为.
故选：B.
28．（22-23高二上·辽宁大连·期中）当直线被圆截得的弦最短时，实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先求得直线所过定点的坐标，根据求得的值.
【详解】依题意直线，
整理得，
所以，解得，故直线过定点，
圆的圆心为，半径为，
，所以在圆内.
所以当时，直线被圆截得的弦最短，
直线的方程为，即，
所以，解得.
故选：A
十三．与圆围成的图形面积（共2小题）
29．（21-22高二·全国·期中）的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中分别作出图象和圆的图形，即可求解.
【详解】的图象和圆在轴上方所围成的图形，如图所示：
由上得：所求面积是圆面积的，
又圆的半径为，
所以的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是，
故选：D.
30．（22-23高二上·重庆南岸·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论将曲线中的绝对值去掉可得四段关系式，从而作出曲线的图象，根据图像即可计算出其面积.
【详解】由可得，
当时，，即，表示圆心为，半径的半圆；
当时，，即，表示圆心为，半径的半圆；
当时，，即，表示圆心为，半径的半圆；
当时，，即，表示圆心为，半径的半圆；
所以曲线的图象如下图所示：
因此曲线围成的图形的面积为；
故选：B