北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。
1．已知集合 ， 集合 ， 则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求,判断选项.
【详解】根据题意可得，，
故选：A
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数乘法运算可得，得出对应的点为（-1，-1），可得结论.
【详解】因为，所以该复数在复平面内对应的点为（-1，-1），位于第三象限.
故选：C.
3．已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心的圆相交于点则，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义即可求解.
【详解】由题意可得：角的终边与单位圆的交点为，
所以，，
所以，
故选：C.
4．在等差数列中，，则（ ）
A．9B．11C．13D．15
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由题意知，解得，所以，所以.
故选：C.
5．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A．B．y=C．D．
【答案】D
【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】函数，
在区间(0,+∞) 上单调递减，
函数 在区间(0,+∞)上单调递增，故选D.
6．在△ABC中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】根据余弦定理得，，则.
故选：A.
7．已知的展开式中，常数项为60，则的值为（ ）
A．2B．2，-2C．3D．3，
【答案】B
【分析】求出展开式的通项为，合并同类项后令的指数为0可得，可求出展开式中的常数项从而得到.
【详解】展开式的通项为，
令，可得，因此，展开式中的常数项为
.
则，.
故选：B.
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
9．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而可得的周期为，故只需研究前项的值，进而可得解.
【详解】有等差数列可知，，周期，故只需考虑前项的值：，，，，，，
由题意知，这个式子只能取到个不同的值.借助三角函数的定义，
即在单位圆上有个点均分圆周，且这个点的纵坐标只能取到个不同的值（如图所示），于是集合，
即所有元素乘积为，
故选：C.
10．已知是函数的图象上的两个不同的点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.
【详解】如图所示，设Ax1,y1，Bx2,y2，的中点为，
点在的图象上，且轴，则，
由图知点在的左侧，即，
所以.
故选：D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．复数的虚部是 ．
【答案】-2025
【分析】根据复数虚部的定义即可得解
【详解】复数的虚部是-2025.
故答案为：-2025.
12．已知扇形AOB的面积为，圆心角为60°，则该扇形的半径为 ，弧长为 .
【答案】 2
【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，
因为扇形AOB的面积为，圆心角为，
由扇形的面积，可得：，解得：，
可得扇形的弧长.
故答案为：2；．
13．在中，，则最大角的正弦值为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理边角的转化，将正弦值之比转化为边长之比，然后利用余弦定理即可求余弦值，再由平方关系即可求出正弦值.
【详解】∵，
∴由正弦定理化简得：
分别设，则最大角为C，
∴，
所以
故答案为：.
14．已知函数
①当时，的值域为 ；
②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】①当时，分别判断两段的值域，取并集得的值域；
②方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断的取值范围.
【详解】①当时，，
时，，函数单调递减，；
时，，函数单调递增，，
所以的值域为；
②函数
关于的方程恰有个正实数解，
则轴左边的函数图像翻折到右边，与轴右边的图像有两个交点，
分别作出函数的图像，
其中函数与的图像相交于点和

结合图像可知方程恰有个正实数解，为和，需要，
所以的取值范围为.
故答案为：；.
15．已知函数，则下列说法正确的有
①．函数的图象关于直线对称
②．是函数的周期
③．函数在区间上单调递减
④．当时，
【答案】②③④
【分析】经验证，所以的图象不关于直线对称，即①错误，再利用周期函数定义可得②正确，；利用换元法构造函数可得函数在区间上单调递减，即③正确；由选项C中的单调性可得，即④正确.
【详解】因为，，
所以，故①错误；
因为，
所以是函数的周期，故②正确；
设，所以，
所以，当时，可得，
则，
又，所以函数在上单调递减，
又在上单调递增，
所以由复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，故③正确；
当时，可得，则，
又由，在上单调递减，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减，
由复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故④正确.
故选：②③④
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．在中，．
(1)求；
(2)当的面积为，，求a的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；
（2）利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；；
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，
所以.
（2）因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以.
17．已知是等差数列，是等比数列，且，，.
（1）数列和的通项公式；
（2）设，求数列前n项和.
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以．解得d=3．又因为，所以，即可以得出数列和的通项公式；
（2）由（1）知，．因此，由等差数列，等比数列的前n项和即可得出数列前n项和.
试题解析：
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以．解得d=3．又因为，所以．所以．
（2）由（1）知，．
因此
数列前n项和为．
数列的前n项和为．
所以，数列前n项和为．
18．在中，是边上一点，，，，.
(1)求的长；
(2)求的面积.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）中，根据余弦定理求的长；
（2）中，根据余弦定理求，即可求，再根据三角形的面积公式求解.
【详解】（1）因为，
则，，，
中，,
即，解得：或（舍），
所以；
（2），
因为
所以，，
所以.
19．设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
20．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）因为关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点.

由图象可知符合题意的的取值范围为.
21．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、4,+∞，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、4,+∞，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
4,+∞
增
极大值
减
极小值
增