广西大学附属中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份广西大学附属中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
2. 下列事件中是随机事件的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C. 平面内不共线的三点确定一个圆
D. 任意画一个三角形，其内角和是
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；
C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
3. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，本题关键是熟练掌握旋转图形的性质．根据旋转的性质可得，可得是等边三角形．可得的长．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
故选：A．
4. 如图，在中，若，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的求法，解题关键是理解三角函数的意义，明确是直角三角形中哪两条边的比．
根据三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
故选：C．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了位似变换问题，掌握性质及正确把握规律是解题的关键．直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标．
【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得．
故选：D．
6. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
解得：，
故选C．
7. 已知是关于的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
则关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 有最小值B. 当时，随的增大而减小
C. 图象对称轴是直线D. 图象开口向上
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据与的对应值得出二次函数的对称轴直线．由表可得当时，，当时，，推出对称轴直线为，且开口向上，逐一分析判断即可．
【详解】解：当时，，当时，，
对称轴直线，
故C选项错误，符合题意；
时，，
函数有最小值，开口向上，故A、D正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小，故B正确，不符合题意；
故选：C．
8. 如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即围成的圆锥的底面圆的半径为．
故选：B．
9. 如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键．连接，由圆周角定理可得，，从而可求得，再由圆的内接四边形对角互补得到即可．
【详解】解：如图，连接，
∵同弧所对的圆周角相等，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴．
故选C
10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选A．
12. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值．
【详解】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，
，，
，
，
，
，
则的最小值为，
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是____．
【答案】相交
【解析】
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交．
故答案是：相交．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系．
14. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为．
故答案为：．
15. 如果是关于的一元二次方程的两个实数根，则=______．
【答案】##1.5##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．先利用根与系数的关系求出和的值，然后把通分后代入计算即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为____________海里．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可．
【详解】解：如图，
设，在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
17. 如图，是的弦，半径于点C，，则线段的长为 ____________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的值，根据圆周角定理得到，再由勾股定理可得，然后在中，由勾股定理可求出．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
设的半径为r，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
∴；
∵是直径，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键
18. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，掌握乘方及算术平方根是解决本题的关键．先计算算术平方根，乘方，再计算乘法，最后加减即可．
【详解】解：原式
20. 用适当的方法解下列方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：公式法．用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，，，
，
，
，．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点的中心对称图形．
（2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出．
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点的位置．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点即为旋转中心，
∴，
故答案为：．
22. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是多少？
（2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）直接根据概率公式求解即可；
（）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；
本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
【小问1详解】
小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是；
【小问2详解】
画树状图，
共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色，共种结果，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率．
23. 戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
（1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为___________盒，每盒口罩的利润为___________元．
（2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
【答案】（1），
（2）60 （3）当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元
【解析】
【分析】（1）利用日销售量降低的价格，每盒口罩的利润=售价-进价，即可求出结论；
（2）根据日利润=日销售量×每盒口罩利润解答即可；
（3）根据二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒，
∴降低x元，销售量增加盒，
那么日销售量为盒，每盒口罩利润为元，
故答案为：，；
【小问2详解】
设每盒售价降低x元，根据题意可知：
，
解得：（舍去），，
∴售价应定为元，
答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元；
【小问3详解】
设当每盒售价定为x元时，商家获得的利润为W元，
由题意可知：，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，W有最大值，即元，
∴售价应定为元，
答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，熟练掌握题干中的等量关系是解答本题的关键．
24. 如图，在中，，点是边的中点，点在边上，以点为圆心，为半径画，与边相切于点，过点作．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）连接，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，进而得出，再利用平行的性质得到，从而得到，推出平分，最后利用角平分线的性质得到，即可证明结论；
（2）根据，可设，则，利用勾股定理求出，得到，，设的半径为，则，，根据得到，即可求出的半径．由勾股定理求出长，继而求出长，由勾股定理即可求出长．
【小问1详解】
证明：连接，过点作交于点，
，点是边的中点，
，
，
，
，
，
平分，
点在边上，，，
，
是的半径，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
设，则，
，
在中，
，
，
，，
设的半径为，则，，
，，
，
，
，
．
如图连接，
，
，
，
点是边的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关键．
25. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务：；任务2：不会触碰到最边侧的同学；任务：方案能解决同学反映的问题
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，
任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；
任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解；
任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解．
【详解】解：任务：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：．
经过点．
．
解得：．
长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：；
任务2：最右侧同学所在的横坐标为：．
当时，．
长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
最右侧同学屈膝后的身高为：．
．
绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
任务当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为．
出手高度降低至．
抛物线下降．
下移后的抛物线解析式为：．
当时，．
，
方案能解决同学反映的问题．
26. 在中，，，．
（1）问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
（2）类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）一致；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论；
（2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论；
（3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出．
【小问1详解】
解：延长交于点H，如图所示：
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长交于点H，如图所示：
∵将绕点旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过点C作于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，
∵中，，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
根据解析（2）可知：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
…
…
…
…
试种数量
发芽的频率
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图；
（2）9名跳绳同学身高如右表．

身高
人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线解析式．
任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图．
请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．