广西大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题(原卷版)
展开一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图,四边形内接于,若,则的度数为( )
A. B. 30°C. D.
4. 若二次函数的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点( )
A. (2,4)B. (-2,-4)C. (-4,2)D. (4,-2)
5. 若是方程的两个根,则( )
A. B. C. D.
6. 将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到的抛物线为( )
A. B.
C. D.
7. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
8. 如图,在中,,,将绕点逆时针旋转得到.当落在上时,的度数为( )
A. B. C. D.
9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值为( )
A. B. 4C. 0D. 16
10. 已知是二次函数的图像上的三个点,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
11. 数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点,连接,作的垂直平分线交于点,交于点,测出,则圆形工件的半径为( )
A. 50cmB. 30cmC. 25cmD. 20cm
12. 如图,抛物线m:y=ax2+b(a0,b0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为( )
A ab=﹣2B. ab=﹣3C. ab=﹣4D. ab=﹣5
二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)
13. 抛物线的顶点坐标是________________________________.
14. 一元二次方程化为一般形式之后,则一次项的系数为______
15. 抛物线部分图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为,对称轴为,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______.
16. 一元二次方程的解为__________.
17. 点F是正五边形边DE的中点,连接并延长与CD延长线交于点G,则的度数为______.
18. 《九章算术》中记载:“今有勾六步,股八步.问勾中容圆径几何?”译文:今有一个直角三角形,勾(短直角边)长为6步,股(长直角边)长为8步,则该直角三角形内切圆的直径是等于______步.
三、解答题(本大题共8小题,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19 计算:.
20. 解一元二次方程:.
21. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别为.
(1)画出关于原点成中心对称的,并写出点的坐标;
(2)将绕原点逆时针旋转得到,画出,并写出点的坐标.
22. 如图,在中,,以为直径的分别交于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
23. 一次足球训练中,小明从球门正前方的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为时,球达到最高点,此时球离地面.已知球门高为2.44m,现以O为原点建立如图所示直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25m处?
24. 如图,内接于,是的直径,点在上,点是的中点,,垂足为点D,的延长线交的延长线于点F.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求线段的长.
25. 课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出,求二次函数的最小值.
①请你写出对应的函数解析式;
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值;
【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表:
注:*为②的计算结果.
【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取,就能得到y的最小值.”
乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式,解释甲同学的说法是否合理?
(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.
26. 如图1,在中,为内部的一动点(不在边上),连接,将线段绕点逆时针旋转,便点到达点的位置;将线段绕点顺时针旋转,便点到达点的位置,连接.
(1)求证:;
(2)当取得最小值时,求证:.
(3)如图2,M,N,P分别是的中点,连接,在点运动的过程中,求的大小.
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y最小值
…
*
…
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