第05讲 平面向量与复数（2022-2024高考真题）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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一、单项选择题
1．（2024·北京·高考真题）设 a，b是向量，则“a+b·a−b=0”是“a=−b或a=b”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量数量积分析可知a+b⋅a−b=0等价于a=b，结合充分、必要条件分析判断.
【解答过程】因为a+b⋅a−b=a2−b2=0，可得a2=b2，即a=b，
可知a+b⋅a−b=0等价于a=b，
若a=b或a=−b，可得a=b，即a+b⋅a−b=0，可知必要性成立；
若a+b⋅a−b=0，即a=b，无法得出a=b或a=−b，
例如a=1,0,b=0,1，满足a=b，但a≠b且a≠−b，可知充分性不成立；
综上所述，“a+b⋅a−b=0”是“a≠b且a≠−b”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,b=x,2，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件
【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解答过程】对A，当a⊥b时，则a⋅b=0，
所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，即必要性不成立，故A错误；
对C，当x=0时，a=1,0,b=0,2，故a⋅b=0，
所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对B，当a//b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±3，即必要性不成立，故B错误；
对D，当x=−1+3时，不满足2(x+1)=x2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2024·全国·高考真题）已知向量a,b满足a=1,a+2b=2，且b−2a⊥b，则b=（ ）
A．12B．22C．32D．1
【解题思路】由b−2a⊥b得b2=2a⋅b，结合a=1,a+2b=2，得1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4，由此即可得解.
【解答过程】因为b−2a⊥b，所以b−2a⋅b=0，即b2=2a⋅b，
又因为a=1,a+2b=2，
所以1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4，
从而b=22.
故选：B.
4．（2024·全国·高考真题）已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b⊥(b−4a)，则x=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.
【解答过程】因为b⊥b−4a，所以b⋅b−4a=0，
所以b2−4a⋅b=0即4+x2−4x=0，故x=2，
故选：D.
5．（2023·北京·高考真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1)，则|a|2−|b|2=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【解答过程】向量a,b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1)，
所以|a|2−|b|2=(a+b)⋅(a−b)=2×(−2)+3×1=−1.
故选：B.
6．（2024·北京·高考真题）已知zi=−1−i，则z=（ ）
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.
【解答过程】由题意得z=i−1−i=1−i.
故选：C.
7．（2024·全国·高考真题）设z=2i，则z⋅z=（ ）
A．−2B．2C．−2D．2
【解题思路】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.
【解答过程】依题意得，z=−2i，故zz=−2i2=2.
故选：D.
8．（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则iz+z=（ ）
A．10iB．2iC．10D．2
【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【解答过程】由z=5+i⇒z=5−i,z+z=10，则iz+z=10i.
故选：A.
9．（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则z=（ ）
A．0B．1C．2D．2
【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可.
【解答过程】若z=−1−i，则z=−12+−12=2.
故选：C.
10．（2024·全国·高考真题）若zz−1=1+i，则z=（ ）
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【解答过程】因为zz−1=z−1+1z−1=1+1z−1=1+i，所以z=1+1i=1−i.
故选：C.
11．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+3iB．1−3i
C．−1+3iD．−1−3i
【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.
【解答过程】z在复平面对应的点是(−1,3)，根据复数的几何意义，z=−1+3i，
由共轭复数的定义可知，z=−1−3i.
故选：D.
12．（2023·全国·高考真题）已知向量a=3,1,b=2,2，则csa+b,a−b=（ ）
A．117B．1717C．55D．255
【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得a+b,a−b,a+b⋅a−b，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【解答过程】因为a=(3,1),b=(2,2)，所以a+b=5,3,a−b=1,−1，
则a+b=52+32=34,a−b=1+1=2，a+b⋅a−b=5×1+3×−1=2，
所以csa+b,a−b=a+b⋅a−ba+ba−b=234×2=1717.
故选：B.
13．（2023·全国·高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,c=2，且a+b+c=0，则cs〈a−c,b−c〉=（ ）
A．−45B．−25C．25D．45
【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.
【解答过程】因为a+b+c=0,所以a+b=−c,
即a2+b2+2a⋅b=c2,即1+1+2a⋅b=2,所以a⋅b=0.
如图,设OA=a,OB=b,OC=c,
由题知,OA=OB=1,OC=2,△OAB是等腰直角三角形,
AB边上的高OD=22,AD=22,
所以CD=CO+OD=2+22=322,
tan∠ACD=ADCD=13,cs∠ACD=310,
cs〈a−c,b−c〉=cs∠ACB=cs2∠ACD=2cs2∠ACD−1
=2×3102−1=45.
故选:D.
14．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅PD的最大值为（ ）
A．1+22B．1+222
C．1+2D．2+2
【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA⋅PD =12−22sin2α−π4，或PA⋅PD =12+22sin2α+π4然后结合三角函数的性质即可确定PA⋅PD的最大值.
【解答过程】如图所示，OA=1,OP=2，则由题意可知:∠APO=π4，
由勾股定理可得PA=OP2−OA2=1

当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=α,0≤α<π4，
则：PA⋅PD =|PA|⋅|PD|csα+π4
=1×2csαcsα+π4
=2csα22csα−22sinα
=cs2α−sinαcsα
=1+cs2α2−12sin2α
=12−22sin2α−π4
0≤α<π4，则−π4≤2α−π4<π4
∴当2α−π4=−π4时，PA⋅PD有最大值1.

当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPCα,0<α<π4，
则：PA⋅PD =|PA|⋅|PD|csα−π4
=1×2csαcsα−π4
=2csα22csα+22sinα
=cs2α+sinαcsα
=1+cs2α2+12sin2α
=12+22sin2α+π4，
0≤α<π4，则π4≤2α+π4<3π4
∴当2α+π4=π2时，PA⋅PD有最大值1+22.
综上可得，PA⋅PD的最大值为1+22.
故选：A.
15．（2023·全国·高考真题）已知向量a=1,1,b=1,−1，若a+λb⊥a+μb，则（ ）
A．λ+μ=1B．λ+μ=−1
C．λμ=1D．λμ=−1
【解题思路】根据向量的坐标运算求出a+λb，a+μb，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【解答过程】因为a=1,1,b=1,−1，所以a+λb=1+λ,1−λ，a+μb=1+μ,1−μ，
由a+λb⊥a+μb可得，a+λb⋅a+μb=0，
即1+λ1+μ+1−λ1−μ=0，整理得：λμ=−1．
故选：D．
16．（2023·全国·高考真题）2+i2+2i3=（ ）
A．1B．2C．5D．5
【解题思路】由题意首先化简2+i2+2i3，然后计算其模即可.
【解答过程】由题意可得2+i2+2i3=2−1−2i=1−2i，
则2+i2+2i3=1−2i=12+−22=5.
故选：C.
17．（2023·全国·高考真题）51+i32+i2−i=（ ）
A．−1B．1C．1−iD．1+i
【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.
【解答过程】51+i3(2+i)(2−i)=51−i5=1−i
故选：C.
18．（2023·全国·高考真题）设a∈R,a+i1−ai=2,，则a=（ ）
A．-1B．0 C．1D．2
【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【解答过程】因为a+i1−ai=a−a2i+i+a=2a+1−a2i=2，
所以2a=21−a2=0，解得：a=1．
故选：C.
19．（2023·全国·高考真题）设z=2+i1+i2+i5，则z=（ ）
A．1−2iB．1+2iC．2−iD．2+i
【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【解答过程】由题意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1−1+i=i2+ii2=2i−1−1=1−2i，
则z=1+2i.
故选：B.
20．（2023·全国·高考真题）已知z=1−i2+2i，则z−z=（ ）
A．−iB．iC．0D．1
【解题思路】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．
【解答过程】因为z=1−i2+2i=1−i1−i21+i1−i=−2i4=−12i，所以z=12i，即z−z=−i．
故选：A．
21．（2023·全国·高考真题）在复平面内，1+3i3−i对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【解答过程】因为1+3i3−i=3+8i−3i2=6+8i，
则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.
故选：A.
22．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（ ）
A．−6B．−5C．5D．6
【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【解答过程】解：c=3+t,4,csa→,c→=csb,c→,即9+3t+165c=3+tc,解得t=5,
故选：C.
23．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则a−b（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】先求得a−b，然后求得a−b.
【解答过程】因为a−b=2,1−−2,4=4,−3，所以a−b=42+−32=5.
故选：D.
24．（2022·全国·高考真题）已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3，则a⋅b=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【解答过程】解：∵|a−2b|2=|a|2−4a⋅b+4b2，
又∵|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3,
∴9=1−4a⋅b+4×3=13−4a⋅b，
∴a⋅b=1
故选：C.
25．（2022·全国·高考真题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（ ）
A．3m−2nB．−2m+3nC．3m+2nD．2m+3n
【解题思路】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【解答过程】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD−CB=2CA−CD，
所以CB= 3CD−2CA=3n−2m =−2m+3n．
故选：B．
26．（2022·浙江·高考真题）已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（ ）
A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3
【解题思路】利用复数相等的条件可求a,b.
【解答过程】a+3i=−1+bi，而a,b为实数，故a=−1,b=3，
故选：B.
27．（2022·全国·高考真题）(2+2i)(1−2i)=（ ）
A．−2+4iB．−2−4iC．6+2iD．6−2i
【解题思路】利用复数的乘法可求2+2i1−2i.
【解答过程】2+2i1−2i=2+4−4i+2i=6−2i，
故选：D.
28．（2022·全国·高考真题）设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1
【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【解答过程】因为a,b∈R，a+b+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．
故选：A.
29．（2022·全国·高考真题）若z=1+i．则|iz+3z|=（ ）
A．45B．42C．25D．22
【解题思路】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【解答过程】因为z=1+i，所以iz+3z=i1+i+31−i=2−2i，所以iz+3z=4+4=22．
故选：D.
30．（2022·全国·高考真题）若z=−1+3i，则zzz−1=（ ）
A．−1+3iB．−1−3iC．−13+33iD．−13−33i
【解题思路】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【解答过程】z=−1−3i,zz=(−1+3i)(−1−3i)=1+3=4.
zzz−1=−1+3i3=−13+33i
故选 ：C.
31．（2022·北京·高考真题）若复数z满足i⋅z=3−4i，则z=（ ）
A．1B．5C．7D．25
【解题思路】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．
【解答过程】由题意有z=3−4ii=3−4i−ii⋅−i=−4−3i，故|z|=−42+−32=5．
故选：B．
32．（2022·全国·高考真题）若i(1−z)=1，则z+z=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】利用复数的除法可求z，从而可求z+z.
【解答过程】由题设有1−z=1i=ii2=−i，故z=1+i，故z+z=1+i+1−i=2，
故选：D.
二、填空题
33．（2024·上海·高考真题）已知k∈R,a=2,5,b=6,k，且a//b，则k的值为 15 ．
【解题思路】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【解答过程】∵a//b，∴2k=5×6，解得k=15．
故答案为：15．
34．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ= 43 ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF⋅DG的最小值为 −518 ．
【解题思路】解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λ+μ，设BF=kBE，求AF,DG，结合数量积的运算律求AF⋅DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λ+μ，设Fa,−3a,a∈−13,0，求AF,DG，结合数量积的坐标运算求AF⋅DG的最小值.
【解答过程】解法一：因为CE=12DE，即CE⃗=13BA⃗，则BE=BC+CE=13BA+BC，
可得λ=13,μ=1，所以λ+μ=43；
由题意可知：BC=BA=1,BA⋅BC=0，
因为F为线段BE上的动点，设BF=kBE=13kBA+kBC,k∈0,1，
则AF=AB+BF=AB+kBE=13k−1BA+kBC，
又因为G为AF中点，则DG=DA+AG=−BC+12AF=1213k−1BA+12k−1BC，
可得AF⋅DG=13k−1BA+kBC⋅1213k−1BA+12k−1BC
=1213k−12+k12k−1=59k−652−310，
又因为k∈0,1，可知：当k=1时，AF⋅DG取到最小值−518；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A−1,0,B0,0,C0,1,D−1,1,E−13,1，
可得BA=−1,0,BC=0,1,BE=−13,1，
因为BE=λBA+μBC=−λ,μ，则−λ=−13μ=1，所以λ+μ=43；
因为点F在线段BE:y=−3x,x∈−13,0上，设Fa,−3a,a∈−13,0，
且G为AF中点，则Ga−12,−32a，
可得AF=a+1,−3a,DG=a+12,−32a−1，
则AF⋅DG=a+122+−3a−32a−1=5a+252−310，
且a∈−13,0，所以当a=−13时，AF⋅DG取到最小值为−518；
故答案为：43；−518.
35．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且z+2z=mm∈R，则实数m为 2 ．
【解题思路】设z=1+bi,b∈R且b≠0，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【解答过程】设z=1+bi，b∈R且b≠0.
则z+2z=1+bi+21+bi=b2+31+b2+b3−b1+b2i=m，
∵m∈R，∴b2+31+b2=mb3−b1+b2=0，解得m=2，
故答案为：2.
36．（2024·天津·高考真题）已知i是虚数单位，复数5+i⋅5−2i= 7−5i ．
【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【解答过程】5+i⋅5−2i=5+5i−25i+2=7−5i.
故答案为：7−5i.
37．（2023·全国·高考真题）已知向量a，b满足a−b=3，a+b=2a−b，则b= 3 ．
【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令c=a−b，结合数量积的运算律运算求解.
【解答过程】法一：因为a+b=2a−b，即a+b2=2a−b2，
则a2+2a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2，整理得a2−2a⋅b=0，
又因为a−b=3，即a−b2=3，
则a2−2a⋅b+b2=b2=3，所以b=3.
法二：设c=a−b，则c=3,a+b=c+2b,2a−b=2c+b，
由题意可得：c+2b2=2c+b2，则c2+4c⋅b+4b2=4c2+4c⋅b+b2，
整理得：c2=b2，即b=c=3.
故答案为：3.
38．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为 4+i ．
【解题思路】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2−3i，然后计算其运算结果即可.
【解答过程】由题意可得5+14i2+3i=5+14i2−3i2+3i2−3i=52+13i13=4+i.
故答案为：4+i.
39．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a,b表示DE为 32b−12a ，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为 π6 .
【解题思路】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由AB⊥DE可得3b2+a2=4b⋅a，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得点A的轨迹为以M(−1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)2+y2=4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA与⊙M相切时，∠C最大，即求出．
【解答过程】方法一：
DE=CE−CD=32b−12a，AB=CB−CA=b−a,AB⊥DE⇒(3b−a)⋅(b−a)=0，
3b2+a2=4a⋅b ⇒cs∠ACB=a⋅bab=3b2+a24ab≥23ab4ab=32，当且仅当a→=3b→时取等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈(0,π6]．
故答案为：32b−12a；π6．
方法二：如图所示，建立坐标系：
E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(−x+32,−y2),AB=(1−x,−y)，
DE⊥AB⇒(x+32)(x−1)+y22=0 ⇒(x+1)2+y2=4，所以点A的轨迹是以M(−1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，当且仅当CA与⊙M相切时，∠C最大，此时sinC=rCM=24=12,∠C=π6．
故答案为：32b−12a；π6．
40．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1A2上，则PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是 [12+22,16] ．
【解题思路】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA12+PA22+⋯+PA82=8x2+y2+8，然后利用cs22.5∘≤|OP|≤1即可解出．
【解答过程】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A1(0,1),A222,22,A3(1,0),A422,−22,A5(0,−1),A6−22,−22,A7(−1,0),A8−22,22，设P(x,y),于是PA12+PA22+⋯+PA82=8x2+y2+8，
因为cs22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cs45∘2≤x2+y2≤1，故PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是[12+22,16].
故答案为：[12+22,16]．
41．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b，则m= −34 ．
【解题思路】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【解答过程】由题意知：a⋅b=m+3(m+1)=0，解得m=−34.
故答案为：−34.
42．（2022·全国·高考真题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+b⋅b= 11 ．
【解题思路】设a与b的夹角为θ，依题意可得csθ=13，再根据数量积的定义求出a⋅b，最后根据数量积的运算律计算可得．
【解答过程】解：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即csθ=13，
又a=1，b=3，所以a⋅b=a⋅bcsθ=1×3×13=1，
所以2a+b⋅b=2a⋅b+b2=2a⋅b+b2=2×1+32=11．
故答案为：11．
43．（2022·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简11−3i1+2i的结果为 1−5i ．
【解题思路】根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【解答过程】11−3i1+2i=11−3i1−2i1+2i1−2i=11−6−25i5=1−5i．
故答案为：1−5i．