第五章 平面向量与复数综合测试卷（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·北京大兴·三模）设a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（5分）（2024·西藏·模拟预测）已知复数z=2−i，则zz−z=（ ）
A．−12+iB．12−iC．12+iD．−12−i
3．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量a,b为单位向量，|c|=3且a+b+c=0，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
4．（5分）（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈R为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限内B．第二象限内
C．第三象限内D．第四象限内
5．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，E为AC中点.F为线段AD上靠近点A的四等分点，设AB=a，AD=b，则EF=（ ）
A．−14a−12bB．−34a−12b
C．−12a−14bD．−12a−34b
6．（5分）（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2r1,r2>0，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2.设z=−12−32i，则z2024的虚部为（ ）
A．−32B．32C．1D．0
7．（5分）（2024·北京大兴·三模）已知平面向量a=1,m，b=2,−2m，则下列结论一定错误的是（ ）
A．a//bB．a⊥bC．b=2aD．a−b=1,−3m
8．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）在矩形ABCD中，AB=5,AD=4，点E是线段AB上一点，且满足AE=4EB.在平面ABCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．41+4B．41−6C．213+4D．213−6
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·山东·模拟预测）已知向量a=1,3，b=−2,0，则下列说法正确的是（ ）
A．a⋅b=2B．a与b的夹角为π3
C．a⊥a+2bD．a+b在b上的投影向量为12b
10．（6分）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数z=a+bia,b∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则a+b=0
B．若z是1+i1−3i的共轭复数，则a+b=−25
C．若z=1+i1−3i，则a+b=2
D．若z−i=1，则z取最大值时，a+b=2
11．（6分）（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．DE=AF−12AD
B．AC⋅BD=34
C．若P为EF的中点，则CP在EC上的投影向量为−3EC
D．FE+FP的最大值为7
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数z=11−i−i（i为虚数单位），则z的虚部为 .
13．（5分）（2024·湖南长沙·三模）平面向量 a,b,c 满足：a⊥c， a,b=π3，b,c=π6，且 a=c=3，b=2，则 a+b+c= .
14．（5分）（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，记AB=a，AD=b，用a和b表示AE= ；若AE=2，AF=6，则AC⋅DB值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·天津河北·模拟预测）已知向量a=3,4，b=1,x，c=1,2．
(1)若a⊥b，求b的值；
(2)若c∥a−2b，求向量a−2b与a的夹角的余弦值．
16．（15分）（23-24高一下·上海松江·期末）已知i为虚数单位，复数z=m2−3m−4+m2+mi．
(1)当实数m取何值时，z是纯虚数；
(2)当m=1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p与q的值．
17．（15分）（2023·黑龙江大庆·二模）已知a=sin2x+1,cs2x，b=−1,2，x∈0,π2．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)求fx=a⋅b的最大值及取得最大值时相应的x的值．
18．（17分）（2024·湖南邵阳·一模）在△ABC中，内角A满足3sin2A−cs2A=2.
(1)求角A的大小；
(2)若DC=2BD，求ADBD的最大值.
19．（17分）（2024·陕西·模拟预测）等边△ABC外接圆圆心为O，半径为2,⊙O上有点M,BM=xBA+yBC．
(1)若M为弧AC中点，求x+y；
(2)求AM⋅AB最大值．